版块7 数列-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 七 数 题 1 等差、等比数 的 断 母题179. 已知数列 an 中, a1= 2,an+1= an+ 2n+ 2 ,证明数列 an-2n 为等差数列,并求数列 an 的通项公式; 【答案】an= 2n+ 2 n-1  【解析】 因为 an+1-2n+1 - an-2n = 2 ,且 a1- 21= 0 ,所以数列 an-2n 为首项为 0,公差为 2的 等差数列. 所以 an- 2n= 0+ 2 n-1 ,即 an= 2n+ 2 n-1 . 母题180. 在正项数列 an 中,已知 a1= 1,an+1- an= 2an+1+an 且 a2n= bn- 2 . 证明:数列 bn  是等差数列; 【解析】∵ an+1- an= 2an+1+an ∴ a2n+1- a2n= 2, ∴数列 a2n 是公差为 2的等差数列. ∵ a1= 1∴ a21= 1,a2n= 1+ 2 n-1 , ∴ a2n= 2n- 1, ∴ a2n= bn- 2, ∴ bn= a2n+ 2, ∴ bn= 2n+ 1 , ∴ bn+1- bn= 2n+ 3- 2n+1 = 1, ∴数列 bn 是等差数列. 母题181. 已知数列 an 满足 an= 2an-1+ 1 n∈N *,n≥2 ,且 a1= 1,bn= an+ 1 . 证明:数列 bn 是等比数列; 【答案】见解析 【解析】证明: ∵当 n≥ 2时, an= 2an-1+ 1, ∴ an+ 1= 2an-1+ 2= 2 an-1+1 .∴ bn bn-1 = 2,b1= a1+ 1 = 2 . ∴数列 bn 是以 2为首项,公比为 2的等比数列. 母题182. 在数列 an 中, a1= 1,a2= 3 ,且对任意的 n∈N * ,都有 an+2= 3an+1- 2an . 证明数列 an+1-an 是等比数列; 【答案】见证明; 【解析】由 an+2= 3an+1- 2an 可得 an+2- an+1= 2 an+1-an . 又 a1= 1,a2= 3 ,所以 a2- a1= 2≠ 0 ,故 an+2-an+1 an+1-an = 2 . 所以 an+1-an 是首项为 2,公比为 2的等比数列 题 2 等差数 的基 计算 母题183. 已知等差数列 an 前 9项的和为 27,a10= 8 ,则 a100= ( ) A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 【解析】∵等差数列 an 前 9项的和为 27,S9= 9 a1+a9  2 = 9×2a5 2 = 9a5 . ∴ 9a5= 27,a5= 3 , 又 ∵ a10= 8 , ∴ d= 1 , ∴ a100= a5+ 95d= 98 , 故选: C . 母题184. 已知数列 an 为等差数列, Sn 为其前 n项和, a6+ a3- a5= 3 ,则 S7= 【答案】21 【解析】由等差数列的性质可得 a6+ a3- a5= a4+ a5- a5= 3, ∴ S7= 7 a1+a7  2 = 7×2a4 2 = 7× 3= 21. 题 3 等比数 的基 计算 母题185. 已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn,S4= 1,S8= 3 ,则 a9+ a10+ a11+ a12= ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】解: ∵等比数列 an 的前 n项和为 Sn,S4= 1,S8= 3 , 由等比数列的性质得 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列, ∴ 1,3- 1= 2,S12-S8= a9+ a10+ a11+ a12 成等比数列, ∴ a9+ a10+ a11+ a12= 4 . 故选: C . 母题186. 已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列,且 a1+ a2+ a3+ a4= ln a1+a2+a3 ,若 a1> 1 ,则 ( ) A. a1< a3,a2< a4 B. a1> a3,a2< a4 C. a1< a3,a2> a4 D. a1> a3,a2> a4 【解析】解: a1,a2,a3,a4 成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相 同, a1> 1 ,设公比为 q , 当 q> 0时,令 a1+ a2+ a3= t, -a4= t- lnt≥ 1 ,即 -a4≥ 1 ,故 q< 0 ,不成立, 即: a1> a3,a2> a4,a1< a3,a2< a4 ,不成立,排除 A、D . 当 q=-1时, a1+ a2+ a3+ a4= 0,ln a1+a2+a3 > 0 ,等式不成立,所以 q≠-1； 当 q<-1时, a1+ a2+ a3+ a4< 0 , ln a1+a2+a3 > 0 , a1+ a2+ a3+ a4= ln a1+a2+a3 不 成立, 当 q∈ -1,0 时, a1> a3> 0 , a2< a4< 0 ,并且 a1+ a2+ a3+ a4= ln a1+a2+a3 ,能够成立, 故选: B . 母题187. 已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4项和为 15,且 a6= 3a4+ 4a2 ,则 a3= ( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【解析】解:根据题意,设等比数列 an 的公比为 q , 若 a6= 3a4+ 4a2 ,则 q≠ 1 , 则有 a1 1-q4  1-q =15 a1q5=3a1q3+4a1q  ,解可得 a1=1 q=2  , 则 a3= a1× q2= 4 , 故选: C . 题 4 公式法 项公式 母题188. 设 an 是等差数列, bn 是等比数列,公比大于 0 . 已知 a1= b1= 3,b2= a3,b3= 4a2+ 3 . 求 an 和 bn 的通项公式； 【解析】 an 是等差数列, bn 是等比数列,公比大于 0 . 设等差数列 an 的公差为 d ,等比数列 bn 的公比为 q,q> 0 . 由题意可得: 3q= 3+ 2d①; 3q2= 15+ 4d② 解得: d= 3,q= 3 , 故 an= 3+ 3 n-1 = 3n,b= 3× 3n-1= 3n 母题189. 设 an 是等差数列, a5= 10 ,且 a1+ 10,a2+ 8,a3+ 6成等比数列. 求 an 的通项公式; 【解析】设等差数列 an 的公差为 d , ∵ a5= 10 ,且 a1+ 10,a2+ 8,a3+ 6成等比数列 ∴ 18-3d 2= 20-4d  16-2d ,整理得 d-2 2= 0 , ∴ d= 2 , ∴ an= a5+ n-5 d= 10+ 2 n-5 = 2n ; 题 5 法 项公式 母题190. 设数列 an 的前 n项和为 Sn ,已知 Sn= 2an- 4,n∈N * . 求通项公式 an ； 【解析】Sn= 2an- 4,Sn-1= 2an-1- 4 相减得: an= 2an- 2an-1an= 2an-1 an an-1 = 2, 又 a1=S1= 2a1- 4, ∴ a1= 4∴ an= 4× 2n-1= 2n+1 母题191. 已知各项均为正数的无穷数列 an 的前 n项和为 Sn ,且 a1= 1,nSn+1= n+1 Sn+ n n+1  2 (n∈ N * . 求出 an 的通项公式; 【解析】nSn+1= n+1 Sn+ n n+1  2 n∈N * . 整理得 Sn+1 n+1 - Sn n = 1 2 (常数), 所以数列 Sn n  是以 1为首项, 1 2 为公比的等比数列; 所以 Sn n = 1+ 1 2 n-1 = 1 2 n+ 1 2 , 整理得 Sn= 12 n 2+n , 故 an=Sn-Sn-1= n 2+n 2 - n-1 2+ n-1  2 =n ; 当 n= 1时, a1= 1 (首项符合通项), 故 an=n . 题 6 ( 乘)法 项公式 母题192. 数列 an 满足 a1= 2,an+1= an+ 2n+ 2 ,则 an= 【答案】an=n n+1  【解析】∵ an+1= an+ 2n+ 2 , ∴ an+1- an= 2 n+1 ,则当 n≥ 2时, an- an-1= 2n , ∴ an= a1 + a2-a1 + a3-a2 +⋯+ an-an-1 = 2+ 2× 2+ 2× 3+⋯+2n= n 2+2n  2 = n n+1 。 母题193. 已知 an 中, a1= 1 , n+1 an= 2nan+1 ,则数列 an 的通项公式是 【答案】an= n2n-1 【解析】已知 an 中, a1= 1 , n+1 an= 2nan+1 化简整理可得 an+1 an = n+1  2n 所以递推可得 an an-1 = n 2 n-1  an-1 an-2 = n-1 2 n-2  ...... a3 a2 = 32×2 a2 a1 = 22×1 等式两边分别相乘可得 an an-1 ⋅ an-1an-2 ⋅ an-2an-3 ⋯ a3a2 × a2a1 = n 2 n-1  ⋅ n-1 2 n-2  ⋅ n-2 2 n-3  ⋯ 32×2 × 2 2×1 即 an a1 = n 2n-1 所以 an= a1 ⋅ n2n-1 = n 2n-1 题 7 项法 项公式 母题194. 已知数列 an 满足 a1+ 3a2+ 5a3+⋯+ 2n-1 an= 2n . 求 an 的通项公式； 【解析】当 n= 1时, a1= 2 , 当 n≥ 2时,有 a1+ 3a2+ 5a3+⋯+ 2n-3 an-1= 2n- 2 , a1+ 3a2+ 5a3+⋯+ 2n-1 an= 2n. 相减得 2n-1 an= 2 ,即 an= 22n-1 n≥2 , 经检验: a1= 2满足 an= 22n-1 , 所以 an= 22n-1 n∈N * ; 母题195. 已知数列 an 满足 a1= 2,2na1+ 2n-1a2+⋯+2an=nan+1 n∈N * . 求 an : 【解析】由 2na1+ 2n-1a2+⋯+2an=nan+1 可得 a1+ a2 2 + a3 22 +⋯+ an 2n-1 = nan+1 2n , 所以当 n≥ 2时, a1+ a2 2 + a3 22 +⋯+ an-1 2n-1 = n-1 an 2n-1 , 因此,有 an 2n-1 = nan-1 2n - n-1 an 2n-1 n≥2 , 即 2an=nan+1- 2 n-1 an , 整理得 an+1= 2an n≥2 , 又 a1= 2,a2= 2a1 , 所以数列 an 是首项为 2,公比为 2的等比数列,求得 an= 2n . 题 8 待定系数法 项公式 母题196. 已知数列 an 中, a1= 3 ,且点 Pn an,an+1 n∈N * 在直线 4x- y+ 1= 0上,则数列 an 的通项公式为 . 【解析】∵点 an,an+1 都在直线 4x- y+ 1= 0上, ∴ 4an- an+1+ 1= 0 , ∴ 4 an+ 13 = an+1+ 1 3 ,所以 an+ 1 3  是以 10 3 为首项,4为公比的等比数列, 所以: an+ 13 = 10 3 ⋅ 4 n-1 ∴ an= 103 ⋅ 4 n-1- 13 . 故答案为: an= 103 ⋅ 4 n-1- 13 . 母题197. 已知数列 an 满足 a1= 5,a2= 5,an+1= an+ 6an-1 n≥2 ,求数列 an 的通项公式. 【解析】由 an+1= an+ 6an-1 n≥2 ,得 an+1+ 2an= 3 an+2an-1 n≥2 , ∵ a1= 5,a2= 5, ∴ a2+ 2a1= 15≠ 0 , ∴ an+1+2anan+2an-1 = 3 an+1+2anan+2an-1 = 2 ,即数列 an+1+2an 是首项为 15,公比为 3的等比数列; 得 an+1+ 2an= 15× 3n-1⋯①, 又由 an+1= an+ 6an-1 n≥2 ,得 an+1- 3an=-2 an-3an-1 n≥2 , 则 a2- 3a1=-10 , ∴数列 an-3an-1 是首项为 -10,公比为 -2的等比数列. 则 an+1- 3an=-10× -2 n-1⋯②, ①-② 得 an= 3n- -2 n . 题 9 等差等比 项公式 母题198. 数列 an 中, a1= 13 ,2an+1an+ an+1- an= 0 . 求 an 的通项公式;. 【解析】∵ 2an+1an+ an+1- an= 0 . ∴ 1an+1 - 1an = 2 ,又 1a1 = 3 , ∴数列 1an  是以 3为首项,2为公差的等差数列, ∴ 1an = 2n+ 1, ∴ an= 12n+1 ; 母题199. 已知数列 an 满足 a1= 13 ,an= 2n ⋅an-1 2an-1+n-1 n≥2,n∈N * ,则 an= 【答案】 n ⋅2 n-1 1+2n 【解析】由 a n = 2n ⋅an-1 2an-1+n-1 n≥2,n∈N *  , 可得 nan = n-12an-1 + 12 , 于是 n an - 1 = 1 2 n-1 an-1 -1 , 又 1a1 - 1= 3- 1= 2 , ∴数列 n an -1 是以 2 为首项, 1 2 为公比的等比数 列,故 nan - 1= 2 ⋅ 12  n-1 ∴ an= n ⋅2 n-1 1+2n n∈N * . 故答案为 n ⋅2 n-1 1+2n . 题 10 公式法 n 项 母题200. 已知 Sn 是等差数列 an 的前 n项和, S2= 2,S3=-6 . 求数列 an 的前 n项和 Sn ; 【解析】∵S2= 2,S3=-6 , ∴ 2a1+d=2, 3a1+ 3×22 d=-6,  解得 a1=4, d=-6,  ∴ an= 4+ n-1 × -6 =-6n+ 10 , ∴Sn= 4n+ n,n-1. 2 × -6 =-3n 2+ 7n . 母题201. 已知公差不为零的等差数列 an 的前 4项和为 10,且 a2,a3,a7 成等比数列. 设 bn= 2an ,求数列 bn 的前 n项和 Sn . 【解析】由题意可得, 4a1+6d=10 a1+2d 2= a1+d a1+6d   ∵ d≠ 0 ∴ a1=-2 d=3  ∴ an= 3n- 5 ∵ bn= 2an= 23n-5= 14 ⋅ 8 n-1 ∴数列 bn 是以 14 为首项,以 8为公比的等比数列 ∴Sn= 1 4 1-8 n  1-8 = 8n-1 28 母题202. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn ,且满足 2Sn=-an+n n∈N * . ( 1 )求证:数列 an- 12  为等比数列； (2)求数列 an-1 的前 n项和 Tn . 【解析】(1)证明 2Sn=-an+n , 当 n≥ 2时, 2Sn-1=-an-1+n- 1 , 两式相减,得 2an=-an+ an-1+ 1 ,即 an= 13 an-1+ 1 3 . ∴ an- 12 = 1 3 an-1- 1 2 , ∴数列 an- 12  为等比数列. (2)解由 2S1=-a1+ 1 ,得 a1= 13 , 由 (1)知,数列 an- 12  是以 - 1 6 为首项, 1 3 为公比的等比数列. ∴ an- 12 =- 1 6 1 3  n-1 =- 12 1 3  n , ∴ an=- 12 1 3  n + 12 , ∴ an- 1=- 12 1 3  n - 12 , ∴Tn= - 16 1- 1 3  n    1- 13 - n2 = 1 4 1 3  n -1 - n 2 . 题 11 裂项相 法 n 项 母题203. 已知数列 an= 2n-1 ;数列 bn 满足 b2= 3,a1b1+ a2b2+ a3b3+⋯+anbn= 3+ 2n-3 ⋅ 2n . 求 1 bnbn+1  的前 n项和 Tn . 【解析】)当 n≥ 2时, a1b1+ a2b2+ a3b3+⋯+an-1bn-1= 3+ 2n-5 2n-1 ,① 又 a1b1+ a2b2+ a3b3+⋯+anbn= 3+ 2n-3 2n ,② ② -① 得 anbn= 3+ 2n-3 2n- 3+ 2n-5 2n-1 = 2n-1 2n-1 , 所以 bn= 2n- 1,b1= 1 ,满足 bn= 2n- 1 , 故 bn= 2n- 1 , 1 bnbn+1 = 12n-1.2n+1. = 1 2 1 2n-1 - 1 2n+1 , 所以 Tn= 12 1- 1 3 + 1 2 1 3 - 1 5 +⋯+ 1 2 1 2n-1 - 1 2n+1  = 12 1- 1 3 + 1 3 - 1 5 +⋯+ 1 2n-1 - 1 2n+1  = 12 1- 1 2n+1 = n 2n+1 . 母题204. 设数列 bn 的各项都为正数,且 bn+1= bn bn+1 . ( 1 )证明数列 1 bn  为等差数列； (2)设 b1= 1 ,求数列 bnbn+1 的前 n项和 Sn . 【解析】解: (1)证明:数列 bn 的各项都为正数,且 bn+1= bn bn+1 , 两边取倒数得 1 bn+1 = bn+1 bn = 1+ 1 bn , 故数列 1 bn  为等差数列,其公差为 1,首项为 1 b1 ; (2)由 (1)得, 1 b1 = 1, 1 bn = 1 b1 + n-1 =n , 故 bn= 1n ,所以 bnbn+1= 1 n n+1  = 1n - 1 n+1 , 因此 Sn= 1- 12 + 1 2 - 1 3 +⋯+ 1 n - 1 n+1 = n n+1 . 题型 12错位相减法求前 n项和 母题205. 已知 an= -2 n-1 ,求数列 nan 的前 n项和. 【解析】设 nan 的前 n项和为 Sn,a1= 1,an= -2 n-1 , Sn= 1× 1+ 2× -2 + 3× -2 2+⋯+n -2 n-1 ,① -2Sn= 1× -2 + 2× -2 2+ 3× -2 3+⋯+ n-1 ⋅ -2 n-1+n -2 n ,② ①-② 得, 3Sn= 1+ -2 + -2 2+⋯+ -2 n-1-n -2 n = 1-2-2 n 1-2-2 -n -2  n= 1-1+3n-2- ​ n 3 , ∴Sn= 1-1+3n-2. ​ n 9 ,n∈N *. 母题206. 已知 an= 4n- 2 ,设 bn= 3nan ,求数列 bn 的前 n项和. 【答案】Sn= 2 n-1 3n+1+ 6 【解析】bn= an3n= 4n-2 3n 所以 Sn= 2× 3+ 6× 32+ 10× 33+⋯+ 4n-2 3n 所以 3Sn= 2× 32+ 6× 33+ 10× 34+⋯+ 4n-6 3n+ 4n-2 3n+1 两式相减得: -2Sn= 6+ 4 32+33+⋯+3n - 4n-2 3n+1 = 6+ 4×32 1-3n-1  1-3 - 4n-2 3 n+1 = 4 1-n 3n+1- 12 所以 Sn= 2 n-1 3n+1+ 6 . 题 12 组 法 n 项 母题207. 已知 an= 4n-1 ,求 an+n-1 的前 n项和 Tn . 【答案】Tn= 4 n-1 3 + n n-1  2 . 【解析】∵ an+n- 1= 4n-1+n- 1 , ∴Tn= a1+ a2+⋯+an+ 1+ 2+⋯+n- 1 = 1+ 4+ 42+⋯+4n-1+ 1+ 2+ 3+⋯+n- 1 = 4 n-1 3 + n n-1  2 . 母题208. 已知 bn= 13n + 1 n n+1  ,求数列 bn 的前 n项和. 【答案】 32 - 1 2 ⋅3n - 1n+1 . 【解析】bn= 13n + 1 n n+1  = 1 3n + 1n - 1 n+1 , 设 Tn 为数列 bn 的前 n项和, Tn= 13 + 1 32 +⋯+ 1 3n + 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +⋯+ 1 n - 1 n+1  = 1 3 1- 1 3n  1- 13 + 1- 1n+1 = 3 2 - 1 2 ⋅3n - 1n+1 . 题 13 数 的 大 ( )项 母题209. 已知数列 an 通项 an= n- 98n- 99 n∈N * ,则数列 an 的前 30项中 大的项为 ( ) A. a30 B. a10 C. a9 D. a1 【解析】解: ∵ an= n- 98n- 99 = 1+ 99- 98 n- 99 , 记函数 f x = 1+ 99- 98 x- 99 ,函数 f x 的大致图象如右图所示, ∴当 n= 10时, a10 大, 当 n= 9时, a9 小. 故选: B . 母题210. 已知数列 an 的通项公式为 an= 3n+7 × 0.9n ,则数列 an 的 大项是 ( ) A. a5 B. a6 C. a7 D. a8 【解析】解: an+1- an= 3n+10 × 0.9n+1- 3n+7 × 0.9n= 0.9n 20-3n10 ≤ 0 , 解得: n≥ 203 .可得 大项为 a7 . 故选: C . 题 14 数 中 值问题 母题211. 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,若 a2=-3 , S5=-10 ,, Sn 的 小值为 . 【解析】解:设等差数列 an 的前 n项和为 Sn,a2=-3,S5=-10 , ∴ a1+d=-3 5a1+ 5×42 d=-10  , 解得 a1=-4,d= 1 , Sn=na1+ n n-1  2 d=-4n+ n n-1  2 = 1 2 n- 9 2  2 - 818 , ∴n= 4或 n= 5时, Sn 取 小值为 S4=S5=-10 . 故答案为: -10 . 母题212. 已知递增等差数列 an 中, a1a2=-2 ,则 a3 的 ( ) A. 大值为 -4 B. 小值为 4 C. 小值为 -4 D. 大值为 4 【解析】解: ∵递增等差数列 an 中, a1a2=-2 , ∴ a1 a1+d =-2 ,且 d> 0 , ∴ d=- 2a1 - a1, ∴ a1< 0 , ∴ a3= a1+ 2d=-a1- 4a1 ≥ 2 -a1 ⋅ - 4a1 = 4 , 当且仅当 a1=-2时,等号成立, ∴ a3 有 小值 4 . 故选: B . 母题213. 在等差数列 an 中, a1=-9,a5=-1 . 记 Tn= a1a2⋯ an n=1,2,⋯ ,则数列 Tn  ( ) A. T5=T6 B. 有 大项 T4 C. 无 大项 D. 无 小项 【解析】解:由题意,设等差数列 an 的公差为 d ,则 a5= a1+ 4d=-9+ 4d=-1, 解得 d= 2 , ∴ an=-9+ 2 n-1 = 2n- 11,n∈N * , ∴T1= a1=-9 , T2=T1a2=-9× 2×2-11 = 63, T3=T2a3= 63× 2×3-11 =-315, T4=T3a4=-315× 2×4-11 = 945, T5=T4a5= 945× 2×5-11 =-945, T6=T5a6=-945× 2×6-11 =-945, ∴T5=T6 ,故选项 A正确, ∵当 n≥ 7时, an= 2n- 11> 0 ,且数列 an 单 递增, 而 T6=-945< 0 , ∴当 n≥ 7时,数列 Tn 均小于 0,且单 递减, ∴当 n∈N * 时,数列 Tn 的 大项为 T4= 945 , 故选项 B正确,故选项 C 错误, 当 n→∞时,数列 Tn 越来越小,但无 小项, 故选项 D正确. 母题214. 设等比数列 an 满足 a1+ a3= 10,a2+ a4= 5 ,记Mn= 2a1a2⋯ an ,求Mn 的 大值 = . 【解析】解:等比数列 an 满足 a1+ a3= 10,a2+ a4= 5 , 可得 q a1+a3 = 5 ,解得 q= 12 . a1+ q2a1= 10 ,解得 a1= 8 . 则 a1a2⋯ an= an1 ⋅ q1+2+3+⋯+ n-1 = 8n ⋅ 12  n n+1  2 = 23n- n2-n 2 = 2 7n-n2 2 , 当 n= 3或 4时,Mn 的 大值 = 2 12 2 = 64 . 故答案是: 64 . 母题215. 已知等差数列 an 的首项及公差均为正数,令 bn= an+ a2020-n n∈N *,n<2020 , 当 bk 是数列 bn 的 大项时, k= . 【解析】解:设 an= x, a2020-n= y , ∵ bn= an+ a2020-n n∈N *,n<2020 , ∴根据基本不等式 x+y 2= x2+ y2+ 2xy≤ x2+ y2+ x2+ y2= 2 x2+y2 , 得 b2n= an+ a2020-n 2≤ 2 an+a2020-n = 2 2a1010 = 4a1010 , 当且仅当 an= a2020-n 时, bn 取到 大值, 此时 n= 1010, ∴ k= 1010 . 故答案为: 1010 . 题 15 数 与函数 母题216. 已知数列 an 是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an= 2n2+ λn+ 3恒成立,则实数 λ 的取值范围是 . 【解析】解: ∵ an 是递增数列,且对于任意的 n∈N * ,都有 an= 2n2+ λn+ 3成立, 数列 an 是递增数列, ∴对于任意 n∈N *,an+1> an , ∴ 2 n+1 2+ λ n+1 + 3> 2n2+ λn+ 3 ,化为: λ>-4n- 2 ,恒成立. ∵数列单 递减, ∴ λ>-6恒成立. 故答案为: λ>-6 . 题 16 数 与不等式 母题217. 已知正项数列 an 的首项 a1=m ,其中 0<m< 1 ,函数 f x = x1+x . ( 1 )若正项数列 an 满足 an+1= f an n≥1且n∈N ,证明 1an  是等差数列,并求出数列 an 的通项公式; ( 2 )若正项数列 an 满足 an+1≤ f an n≥1且n∈N ,数列 bn 满足 bn= an n+1 ,试证明: b1+ b2+⋯ +bn< 1 . 【解析】解: (1)依题目条件有 an+1= an an+1 ∴ 1an+1 - 1an = 1 n≥1,n∈N  所以数列 1an  是以 1 a1 = 1m 为首项,1为公差的等差数列, 所以 1an = 1m + n-1 × 1 ,即 an= m 1+ n-1 m .⋯ 4分  (2)由条件可知, an+1≤ an 1+an ,an> 0 n≥1且n∈N ∴ 1ak ≥ 1ak-1 + 1 , 即 ∴ 1ak - 1ak-1 ≥ 1,k= 2,3,⋯ ,n, ∴ 1a2 - 1a1 ≥ 1, 1a3 - 1a2 ≥ 1,⋯ 1an - 1an-1 ≥ 1 , 叠加可得 1an - 1a1 ≥n- 1 ,而 a1=m,an≤ m1+ n-1 m n≥1,n∈N  ∵ 0<m< 1, ∴ 1m > 1∴ ak≤ 1 1 m +k-1 < 1 k ,k= 1,2,⋯ ,n , ∴ bk= ak k+1 < 1 k k+1  = 1 k - 1 k+1 ,k= 1,2,⋯ ,n , ∴ b1+ b2+⋯+bn< 1- 12 + 1 2 - 1 3 +⋯+ 1 n - 1 n-1 = 1- 1 n < 1 ,得证⋯ 16分 . 母题218. 已知数列 an 满足 a1= 1 ,且点 an,an+1 n∈N * 在直线 y= x+ 1上；数列 bn 的前 n项和 Sn= 3n -1 . ( 1 )求数列 an , bn 的通项公式； ( 2 )若数列 an⋅bn 的前 n项和为 Tn ,求使 Tn< 8Sn+ 172 成立的 大数 n的值. 【解析】解: (1)由题意可得 an+1= an+ 1 , 可得 an= a1+n- 1= 1+n- 1=n ; 由数列 bn 的前 n项和 Sn= 3n- 1 , 可得 b1=S1= 2； bn=Sn-Sn-1= 3n- 1- 3n-1-1 = 2 ⋅ 3n-1, 上式对 n= 1也成立. 则 bn= 2 ⋅ 3n-1 ; (2) an ⋅ bn= 2n ⋅ 3n-1 , 前 n项和为 Tn= 2 1 ⋅30+2 ⋅31+3 ⋅32+⋯+n ⋅3n-1 , 即有 3Tn= 2 1 ⋅3+2 ⋅32+3 ⋅33+⋯+n ⋅3n , 相减可得, -2Tn= 2 1+3+32+⋯+3n-1-n ⋅3n  = 2 1-3 n 1-3 -n ⋅3 n , 化简可得 Tn= 2n-1 ⋅3n+1 2 , Tn< 8Sn+ 172 即为 2n-1 ⋅3n+1 2 < 8 3 n-1 + 172 , 化简为 2n- 1< 16 ,解得 n< 8.5 , 则 n的 大值为 8 . 母题219. 数列 an 中, a1= 13 ,2an+1an+ an+1- an= 0 . ( 1 )求 an 的通项公式； ( 2 )求满足 a1a2+ a2a3+⋯+an-1an< 17 的 n的 大值. 【解析】解: 1 ∵ 2an+1an+ an+1- an= 0 . ∴ 1an+1 - 1an = 2 ,又 1a1 = 3 , ∴数列 1an  是以 3为首项,2为公差的等差数列, ∴ 1an = 2n+ 1, ∴ an= 12n+1 ; (2)由 (1)知, an-1an= 12n-1  2n+1  = 12 1 2n-1 - 1 2n+1 n≥2 , ∴ a 1 a 2 + a 2 a 3 +⋯+ a n-1 a n = 12 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +⋯+ 1 2n-1 - 1 2n+1  = 1 2 1 3 - 1 2n+1 , ∵ a1a2+ a2a3+⋯+an-1an< 17 , ∴ 1 2 1 3 - 1 2n+1 < 1 7 , ∴ 4n+ 2< 42, ∴n< 10, ∵n∈N * , ∴n的 大值为 9 . 题 17 项 绝对值的数 母题220. 已知等差数列 an 满足 a1= 32,a2+ a3= 40 ,则 an  前 12项之和为 ( ) A. - 144 B. 80 C. 144 D. 304 【解析】解:因为 a2+ a3= 2a1+ 3d= 64+ 3d= 40⇒ d=-8 ,所以 an= 40- 8n . 所以 an  = 40-8n  = 40-8n, n≤5 8n-40, n>5  , 所以前 12 项之和为 5× 32+0  2 + 7× 8+56  2 = 80+ 224= 304 . 故选: D . 母题221. 设数列 an 的前 n项和为 Sn , 已知 S2= 4,an+1= 2Sn+ 1,n∈N * . (I)求通项公式 an ; (II)求数列 an-n-2  的前 n项和. 【解析】 I ∵S2= 4,an+1= 2Sn+ 1,n∈N * . ∴ a1+ a2= 4,a2= 2S1+ 1= 2a1+ 1 , 解得 a1= 1,a2= 3 ,当 n≥ 2时, an+1= 2Sn+ 1,an= 2Sn-1+ 1 , 两式相减得 an+1- an= 2 Sn-Sn-1 = 2an , 即 an+1= 3an ,当 n= 1时, a1= 1,a2= 3 , 满足 an+1= 3an , ∴ an+1an = 3 ,则数列 an 是公比 q= 3的等比数列, 则通项公式 an= 3n-1 . ( II ) an-n- 2= 3n-1-n- 2 , 设 bn= an-n-2 = 3n-1-n-2  , 则 b1= 30-1-2 = 2,b2= 3-2-2 = 1 , 当 n≥ 3时, 3n-1-n- 2> 0 , 则 bn= an-n-2 = 3n-1-n- 2 , 此 时 数 列 an-n-2   的 前 n 项 和 Tn = 3 + 9 1-3n-2  1-3 - 5+n+2 n-2  2 = 3n-n2-5n+11 2 , 则 Tn= 2, n=1 3, n=2 3n-n2-5n+11 2 , n≥3 = 2, n=1 3n-n2-5n+11 2 , n≥2       . 母题222. 已知数列 an 满足 a1= 5,a2= 5,an+1= an+ 6an-1 n≥2  ( 1 )求证: an+1+2an 是等比数列 (2)求数列 an 的通项公式 (3)设 3nbn=n 3n-an ,求 b1 + b2 +⋯+ bn <m对于 n∈N * 恒成立,求m的取值范围. 【解析】(1)证明: ∵ an+1= an+ 6an-1 n≥2 , ∴ an+1+ 2an= 3 an+2an-1 ,又 a2+ 2a1= 15 , ∴ an+1+2an 是等比数列,首项为 15,公比为 3 . (2)解:由 (1)可得: an+1+ 2an= 15× 3n-1= 5× 3n ,变形为 an+1- 3n+1=-2 an-3n , ∴数列 an-3n 是等比数列,首项为 2,公比为-2, ∴ an- 3n= 2× -2 n-1, ∴ an= 3n- -2 n . (3)解: 3nbn=n 3n-an , ∴ 3nbn=n ⋅ -2 n, ∴ bn=n ⋅ - 23  n . ∴ bn =n ⋅ 23  n . 令 Sn= b1 + b2 +⋯+ bn = 23 + 2× 2 3  2 + 3× 23  3 +⋯+n ⋅ 23  n , ∴ 23 Sn= 2 3  2 + 2× 23  3 +⋯+ n-1 ⋅ 23  n +n ⋅ 23  n+1 , 两式相减可得: 1 3 Sn= 2 3 + 2 3  2 +⋯+ 23  n -n ⋅ 23  n+1 = 2 3 1- 2 3  n    1- 23 -n ⋅ 23  n+1 = 2- 6+2n3 ⋅ 2 3  n ∴Sn= 6- 6+2n ⋅ 23  n . 要使 b1 + b2 +⋯+ bn <m对于 n∈N * 恒成立,则m≥ 6 . ∴m的取值范围是 [6, +∞) . 题 18 数 中的放 母题223. 已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ,且满足 2S2n- n2+n Sn- n2+n+2 = 0 . (1)求数列 an 的通项公式； (2)设数列 bn= an n2+1 ,证明: b1+ b2+⋯+bn≤ 2 n- 1 . 【解析】(1)解:根据题意,在正项数列 an 中, ∵ 2S2n- n2+n Sn- n2+n+2 = 0⇒ Sn+1 2Sn- n2+n+2  = 0 , ∵Sn+ 1> 0 , ∴ 2Sn- n2+n+2 = 0⇔Sn= n 2+n+2 2 ①, ∴当 n= 1时, a1= 2②; ∴当 n≥ 2时, Sn-1= n-1 2+ n-1 +2 2 ③, ①-③ 得, an=n④, ∵②不满足④, ∴数列 an 的通项公式即为: an= 2, n=1 n, n≥2  . (2)证明:根据题意,由 (1)可得, bn= 1,n=1 n n2+1 ,n≥2  , 则 当 n ≥ 2 时 , b n = nn2+1 = 1 n+ 1n < 1 n = 2 n+ n < 2 n+ n-1 = 2 n- n-1 , ∴ b1+ b2+ b3+⋯+bn≤ 1+ 2 2-1+ 3- 2+⋯+ n- n-1 = 2 n- 1 . 从而得证. 版 七 数 题 1 等差、等比数 的 断 母题179. 已知数列 an 中, a1= 2,an+1= an+ 2n+ 2 ,证明数列 an-2n 为等差数列,并求数列 an 的通项公式; 母题180. 在正项数列 an 中,已知 a1= 1,an+1- an= 2an+1+an 且 a2n= bn- 2 . 证明:数列 bn  是等差数列; 母题181. 已知数列 an 满足 an= 2an-1+ 1 n∈N *,n≥2 ,且 a1= 1,bn= an+ 1 . 证明:数列 bn 是等比数列; 母题182. 在数列 an 中, a1= 1,a2= 3 ,且对任意的 n∈N * ,都有 an+2= 3an+1- 2an . 证明数列 an+1-an 是等比数列; 题 2 等差数 的基 计算 母题183. 已知等差数列 an 前 9项的和为 27,a10= 8 ,则 a100= ( ) A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 母题184. 已知数列 an 为等差数列, Sn 为其前 n项和, a6+ a3- a5= 3 ,则 S7= 题 3 等比数 的基 计算 母题185. 已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn,S4= 1,S8= 3 ,则 a9+ a10+ a11+ a12= ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 母题186. 已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列,且 a1+ a2+ a3+ a4= ln a1+a2+a3 ,若 a1> 1 ,则 ( ) A. a1< a3,a2< a4 B. a1> a3,a2< a4 C. a1< a3,a2> a4 D. a1> a3,a2> a4 母题187. 已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4项和为 15,且 a6= 3a4+ 4a2 ,则 a3= ( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 题 4 公式法 项公式 母题188. 设 an 是等差数列, bn 是等比数列,公比大于 0 . 已知 a1= b1= 3,b2= a3,b3= 4a2+ 3 .求 an 和 bn 的通项公式； 母题189. 设 an 是等差数列, a5= 10 ,且 a1+ 10,a2+ 8,a3+ 6成等比数列. 求 an 的通项公式; 题 5 法 项公式 母题190. 设数列 an 的前 n项和为 Sn ,已知 Sn= 2an- 4,n∈N * . 求通项公式 an ； 母题191. 已知各项均为正数的无穷数列 an 的前 n项和为 Sn ,且 a1= 1,nSn+1= n+1 Sn+ n n+1  2 (n∈ N * . 求出 an 的通项公式; 题 6 ( 乘)法 项公式 母题192. 数列 an 满足 a1= 2,an+1= an+ 2n+ 2 ,则 an= 母题193. 已知 an 中, a1= 1 , n+1 an= 2nan+1 ,则数列 an 的通项公式是 题 7 项法 项公式 母题194. 已知数列 an 满足 a1+ 3a2+ 5a3+⋯+ 2n-1 an= 2n . 求 an 的通项公式； 母题195. 已知数列 an 满足 a1= 2,2na1+ 2n-1a2+⋯+2an=nan+1 n∈N * . 求 an : 题 8 待定系数法 项公式 母题196. 已知数列 an 中, a1= 3 ,且点 Pn an,an+1 n∈N * 在直线 4x- y+ 1= 0上,则数列 an 的通项公式为 . 母题197. 已知数列 an 满足 a1= 5,a2= 5,an+1= an+ 6an-1 n≥2 ,求数列 an 的通项公式. 题 9 等差等比 项公式 母题198. 数列 an 中, a1= 13 ,2an+1an+ an+1- an= 0 . 求 an 的通项公式;. 母题199. 已知数列 an 满足 a1= 13 ,an= 2n ⋅an-1 2an-1+n-1 n≥2,n∈N * ,则 an= 题 10 公式法 n 项 母题200. 已知 Sn 是等差数列 an 的前 n项和, S2= 2,S3=-6 . 求数列 an 的前 n项和 Sn ; 母题201. 已知公差不为零的等差数列 an 的前 4项和为 10,且 a2,a3,a7 成等比数列. 设 bn= 2an ,求数列 bn 的前 n项和 Sn . 母题202. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn ,且满足 2Sn=-an+n n∈N * . ( 1 )求证:数列 an- 12  为等比数列； (2)求数列 an-1 的前 n项和 Tn . 题 11 裂项相 法 n 项 母题203. 已知数列 an= 2n-1 ;数列 bn 满足 b2= 3,a1b1+ a2b2+ a3b3+⋯+anbn= 3+ 2n-3 ⋅ 2n . 求 1 bnbn+1  的前 n项和 Tn . 母题204. 设数列 bn 的各项都为正数,且 bn+1= bn bn+1 . ( 1 )证明数列 1 bn  为等差数列； (2)设 b1= 1 ,求数列 bnbn+1 的前 n项和 Sn . 母题205. 已知 an= -2 n-1 ,求数列 nan 的前 n项和. 母题206. 已知 an= 4n- 2 ,设 bn= 3nan ,求数列 bn 的前 n项和. 题 12 组 法 n 项 母题207. 已知 an= 4n-1 ,求 an+n-1 的前 n项和 Tn . 母题208. 已知 bn= 13n + 1 n n+1  ,求数列 bn 的前 n项和. 题 13 数 的 大 ( )项 母题209. 已知数列 an 通项 an= n- 98n- 99 n∈N * ,则数列 an 的前 30项中最大的项为 ( ) A. a30 B. a10 C. a9 D. a1 母题210. 已知数列 an 的通项公式为 an= 3n+7 × 0.9n ,则数列 an 的最大项是 ( ) A. a5 B. a6 C. a7 D. a8 题 14 数 中 值问题 母题211. 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,若 a2=-3 , S5=-10 ,, Sn 的最小值为 . 母题212. 已知递增等差数列 an 中, a1a2=-2 ,则 a3 的 ( ) A. 最大值为 -4 B. 最小值为 4 C. 最小值为 -4 D. 最大值为 4 母题213. 在等差数列 an 中, a1=-9,a5=-1 . 记 Tn= a1a2⋯ an n=1,2,⋯ ,则数列 Tn  ( ) A. T5=T6 B. 有最大项 T4 C. 无最大项 D. 无最小项 母题214. 设等比数列 an 满足 a1+ a3= 10,a2+ a4= 5 ,记Mn= 2a1a2⋯ an ,求Mn 的最大值 = . 母题215. 已知等差数列 an 的首项及公差均为正数,令 bn= an+ a2020-n n∈N *,n<2020 , 当 bk 是数列 bn 的最大项时, k= . 题 15 数 与函数 母题216. 已知数列 an 是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an= 2n2+ λn+ 3恒成立,则实数 λ 的取值范围是 . 题 16 数 与不等式 母题217. 已知正项数列 an 的首项 a1=m ,其中 0<m< 1 ,函数 f x = x1+x . ( 1 )若正项数列 an 满足 an+1= f an n≥1且n∈N ,证明 1an  是等差数列,并求出数列 an 的通项公式; ( 2 )若正项数列 an 满足 an+1≤ f an n≥1且n∈N ,数列 bn 满足 bn= an n+1 ,试证明: b1+ b2+⋯ +bn< 1 . 母题218. 已知数列 an 满足 a1= 1 ,且点 an,an+1 n∈N * 在直线 y= x+ 1上；数列 bn 的前 n项和 Sn= 3n -1 . ( 1 )求数列 an , bn 的通项公式； ( 2 )若数列 an⋅bn 的前 n项和为 Tn ,求使 Tn< 8Sn+ 172 成立的最大数 n的值. 母题219. 数列 an 中, a1= 13 ,2an+1an+ an+1- an= 0 . ( 1 )求 an 的通项公式； ( 2 )求满足 a1a2+ a2a3+⋯+an-1an< 17 的 n的最大值. 题 17 项 绝对值的数 母题220. 已知等差数列 an 满足 a1= 32,a2+ a3= 40 ,则 an  前 12项之和为 ( ) A. - 144 B. 80 C. 144 D. 304 母题221. 设数列 an 的前 n项和为 Sn , 已知 S2= 4,an+1= 2Sn+ 1,n∈N * . (I)求通项公式 an ; (II)求数列 an-n-2  的前 n项和. 母题222. 已知数列 an 满足 a1= 5,a2= 5,an+1= an+ 6an-1 n≥2  ( 1 )求证: an+1+2an 是等比数列 (2)求数列 an 的通项公式 (3)设 3nbn=n 3n-an ,求 b1 + b2 +⋯+ bn <m对于 n∈N * 恒成立,求m的取值范围. 题 18 数 中的放 母题223. 已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ,且满足 2S2n- n2+n Sn- n2+n+2 = 0 . (1)求数列 an 的通项公式； (2)设数列 bn= an n2+1 ,证明: b1+ b2+⋯+bn≤ 2 n- 1 .