版块6 平面向量-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 六 量 题 1 量的表示 母题160. 在 △ABC 中, AD为 BC 边上的中线, E为 AD的中点. 则 EB  = ( ) A. 34 AB  - 14 AC  B. 34 AB  - 34 AC  C. 34 AB  + 14 AC  D. 34 AB  + 34 AC  题 2 量的数量积 母题161. 在四边形 ABCD中, AD⎳BC , AB= 2 3 , AD= 5 , ∠A= 30° ,点 E在线段 CB的 延长线上,且 AE =BE ,则 BD  ⋅AE  = 题 3 量的 行与 直 母题162. 已知平面向量 AB  = 2,1 ,AC  = -3t,3 ,若 AB  ⎳AC  ,则 BC   = ( ) A. 2 5 B. 20 C. 5 D. 2 母题163. 已知向量 a与 b  不共线,且 AB  = a+mb  m≠1 ,AC  =na+ b  . 若 A,B,C 三点共线, 则实数m,n满足的条件为 ( ) A. m+n= 1 B. m+n=-1 C. mn= 1 D. mn=-1 题 4 量的模长与夹角 母题164. 已知向量 a、b  满足 a+b   = a-b    ,且 a = 3 , b   = 1 . 则向量 b  与 a+ b  的夹角为 ( ) A. π3 B. 2π 3 C. π 6 D. 5π 6 母题165. 已知向量 a、b  满足: a = 3 , b   = 4 , a+b   = 41 ,则 a-b   = 题 5 量与三角形“四心” 母题166. 过 △ABC 内一点M 任作一条直线 l ,再分别过顶点 A,B,C 作 l的垂线,垂足分别为 D,E,F ,若 AD  +BE  +CF  = 0  恒成立,则点M 是 △ABC 的 ( ) A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心 题 6 三角形中的 量 用 母题167. 在 △ABC 中,点 D是边 BC 上任意一点,M 是线段 AD的中点,若存在实数 λ和 μ , 使得 BM  = λAB  +μAC  ,则 λ+ μ= ( ) A. 12 B. - 1 2 C. 2 D. - 2 母题168. 在如图的平面图形中,已知 OM= 1,ON= 2,∠MON= 120°,BM  = 2MA  ,CN  = 2NA  , 则 BC  ⋅OM  的值为 ( ) A. - 15 B. - 9 C. - 6 D. 0 题 7 几 意义 量 值 母题169. 已知 a,b  是单位向量, a ⋅ b  = 0 ,若向量 c满足 c-b  -a = 1 ,则 c  的取值范围为 ( ) A. 2-1, 2+1  B. 2-1, 2+2  C. 1, 2+1  D. 1, 2+2  题 8 法 值 母题170. 如图,在平面四边形 ABCD中, AB⊥BC , AD⊥CD , ∠BAD= 120° , AB=AD= 1 . 若点 E为边 CD上的动点,则 AE  ⋅BE  的最小值为 ( ) A. 2116 B. 3 2 C. 25 16 D. 3 题 9 系数 值 母题171. 如图,在 △ABC 中,点 O是 BC 的中点. 过点 O的直线分别交直线 AB , AC 于不同的 两点M , N , 若 AB  =mAM  ,AC  =nAN  ,则m+n的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. - 2 D. 94 母题172. 如图, Rt△ABC 中, P是斜边 BC 上一点,且满足: BP  = 12 PC  ,点M , N 在过点 P的 直线上,若 AM  = λAB  ,AN  = μAC  , λ,μ>0 ,则 λ+ 2μ的最小值为 ( ) A. 2 B. 83 C. 3 D. 10 3 题 10 复数四 运算 母题173. 设 2 z+z + 3 z-z   = 4+ 6i ,则 z= ( ) A. 1- 2i B. 1+ 2i C. 1+ i D. 1- i 母题174. 若 z= 1+ i ,则 z2-2z = ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 题 11 复数几 意义 母题175. 设 z=-3+ 2i ,则在复平面内 z对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 母题176. 已知 z= m+3 + m-1 i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( ) A. (-3,1) B. (-1,3) C. 1,+∞  D. -∞,-3  母题177. 已知复数 z满足等式 z-1 = z+2i (i是虚数单位). 则 z- i  的最小值是 母题178. 已知复数 z满足等式 z- i = 1 ,则 z-1  的最大值为 版 六 量 题 1 量的表示 母题160. 在 △ABC 中, AD为 BC 边上的中线, E为 AD的中点. 则 EB  = ( ) A. 34 AB  - 14 AC  B. 34 AB  - 34 AC  C. 34 AB  + 14 AC  D. 34 AB  + 34 AC  【解析】因为 △ABC 中, AD为 BC 边上的中线, E为 AD的中点, 所以 EB  =EA  +AB  =- 12 AD  +AB  =- 12 × 1 2 AB  +AC   +AB  = 34 AB  - 14 AC  , 【答案】A . 题 2 量的数量积 母题161. 在四边形 ABCD中, AD⎳BC , AB= 2 3 , AD= 5 , ∠A= 30° ,点 E在线段 CB的 延长线上,且 AE =BE ,则 BD  ⋅AE  = 【答案】-1 【解析】方法一在等腰 △ABE 中,易得 ∠BAE=∠ABE= 30° ,故 BE= 2 ,则 BD  ⋅ AE  = AD  -AB   . AB  +BE   =AD  ⋅AB  +AD  ⋅BE  -AB 2-AB  ⋅BE  = 5× 2 3 × cos30° +5× 2 × cos180° -12- 2 3 × 2× cos150° = 15- 10- 12+ 6=-1. 方法二在 △ABD 中,由余弦定理可得 BD= AD2+AB2-2×AD×AB×cos∠BAD = 7 , 所以 cos∠ABD= AB 2+BD2-AD2 2×AB×BD =- 21 14 ,则 sin∠ABD= 5 7 14 . 设 BD  与 AE  的夹角 为 θ , 则 cosθ = cos 180°-∠ABD+30° =- cos ∠ABD-30° =- cos∠ABD ⋅ cos 30 ° -sin∠ABD ⋅ sin30° =- 714 ,在 △ABE 中,易得 AE = BE = 2 ,故 BD  ⋅ AE  = 7 × 2 × - 714 =-1 . 题 3 量的 行与 直 母题162. 已知平面向量 AB  = 2,1 ,AC  = -3t,3 ,若 AB  ⎳AC  ,则 BC   = ( ) A. 2 5 B. 20 C. 5 D. 2 【解析】平面向量 AB  = 2,1 ,AC  = -3t,3 , 若 AB  ⎳AC  ,2× 3- 1× -3t = 0 , 解得 t=-2 ; 则 BC  =AC  -AB  = 4,2 , 所以 BC   = 42+22= 2 5 . 【答案】A . 母题163. 已知向量 a与 b  不共线,且 AB  = a+mb  m≠1 ,AC  =na+ b  . 若 A,B,C 三点共线, 则实数m,n满足的条件为 ( ) A. m+n= 1 B. m+n=-1 C. mn= 1 D. mn=-1 【解析】由题意可得 AB  ⎳AD  ,∴AB  = λ ⋅AD  ,故有 1n = m 1 , ∴mn= 1 , 【答案】C . 题 4 量的模长与夹角 母题164. 已知向量 a、b  满足 a+b   = a-b    ,且 a = 3 , b   = 1 . 则向量 b  与 a+ b  的夹角为 ( ) A. π3 B. 2π 3 C. π 6 D. 5π 6 【解析】∵ a+b   = a-b    , ∴ a+b    2 = a-b    2 , ∴ a ⋅ b  = 0 ,且 a = 3 , b   = 1 , ∴ b  ⋅ a+b   = 1, a+b   = 2 , ∴ cos< b  ,a+ b  >= b  ⋅ a+b    b    a+b    = 12 , 又 0≤< b  ,a+ b  >≤ π , ∴< b  ,a+ b  >= π3 . 【答案】A . 母题165. 已知向量 a、b  满足: a = 3 , b   = 4 , a+b   = 41 ,则 a-b   = 【答案】3. 【解析】∵ a+b    2 = a+b    2 = a2+ 2a ⋅ b  + b  2= a  2 + 2a ⋅ b  + b    2 = 32+ 2a ⋅ b  + 42= 41, ∴ a ⋅ b  = 8 , ∴ a-b   = a-b    2 = a2-2a⋅b  +b  2= a  2 -2a⋅b  + b    2 = 32-2×8+42= 3 , 因此, a-b   = 3 ,故答案为 3 . 题 5 量与三角形“四心” 母题166. 过 △ABC 内一点M 任作一条直线 l ,再分别过顶点 A,B,C 作 l的垂线,垂足分别为 D,E,F ,若 AD  +BE  +CF  = 0  恒成立,则点M 是 △ABC 的 ( ) A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心 【解析】本题采用特殊位置法较为简单. 因为过 △ABC 内一点 M 任作一条直线,可将此直线 特殊为过点 A ,则 AD = 0 ,有 BE  +CF  = 0  . 如图:则有直线 AM 经过 BC 的中点,同理可 得直线 BM 经过 AC的中点,直线 CM 经过 AB的中点,所以点M 是 △ABC 的重心. 【答案】B . 题 6 三角形中的 量 用 母题167. 在 △ABC 中,点 D是边 BC 上任意一点,M 是线段 AD的中点,若存在实数 λ和 μ , 使得 BM  = λAB  +μAC  ,则 λ+ μ= ( ) A. 12 B. - 1 2 C. 2 D. - 2 【解析】设 BD  = kBC  = kAC  - kAB  , ∴BM  = 12 BA  +BD   =- 12 AB  + k2 AC  - k2 AB  = - 12 - k 2 AB  + k2 AC  , ∴ λ=- 12 - k 2 ,μ= k 2 , ∴ λ+ μ=- 12 . 【答案】B . 母题168. 在如图的平面图形中,已知 OM= 1,ON= 2,∠MON= 120°,BM  = 2MA  ,CN  = 2NA  , 则 BC  ⋅OM  的值为 ( ) A. - 15 B. - 9 C. - 6 D. 0 【解析】解法 I ,由题意, BM  = 2MA  ,CN  = 2NA  ,B  ∴ BM MA = CN NA = 2, ∴BC⎳MN ,且 BC= 3MN , 又MN 2=OM 2+ON 2- 2OM ⋅ON ⋅ cos120° = 1+ 4- 2× 1× 2× - 12 = 7 , ∴MN= 7 ; ∴BC= 3 7 , ∴ cos∠OMN= OM 2+MN 2-ON 2 2OM ⋅MN = 1+7-4 2×1× 7 = 2 7 , ∴BC  ⋅OM  = BC    × OM   cos π-∠OMN = 3 7 × 1× - 27 =-6 . 解法 II :不妨设四边形 OMAN 是平行四边形, 由 OM= 1,ON= 2,∠MON= 120°,BM  = 2MA  ,CN  = 2NA  , 知 BC  =AC  -AB  = 3AN  - 3AM  =-3OM  + 3ON  , ∴BC  ⋅OM  = -3OM  +3ON   ⋅OM  =-3OM  2+ 3ON  ⋅OM  =-3× 12+ 3× 2× 1× cos120° =-6 . 【答案】C . 题 7 几 意义 量 值 母题169. 已知 a,b  是单位向量, a ⋅ b  = 0 ,若向量 c满足 c-b  -a = 1 ,则 c  的取值范围为 ( ) A. 2-1, 2+1  B. 2-1, 2+2  C. 1, 2+1  D. 1, 2+2  【解析】令 OA  = a,OB  = b  ,OD  = a+ b  ,OC  = c , 如图所示:则 OD   = 2 , 又 c-b  -a = 1 ,所以点 C 在以点 D为圆心、半径为 1的圆上, 易知点 C 与 O、D共线时 OC    达到 值, 大值为 2+ 1 , 小值为 2- 1 , 所以 c  的取值范围为 2-1, 2+1 . 【答案】A . 题 8 法 值 母题170. 如图,在平面四边形 ABCD中, AB⊥BC , AD⊥CD , ∠BAD= 120° , AB=AD= 1 . 若点 E为边 CD上的动点,则 AE  ⋅BE  的 小值为 ( ) A. 2116 B. 3 2 C. 25 16 D. 3 【解析】如图所示,以 D为原点,以 DA所在的直线为 x轴, 以 DC 所在的直线为 y轴, 过点 B做 BN⊥ x轴,过点 B做 BM⊥ y轴, ∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD= 120°,AB=AD= 1 , ∴AN=ABcos60° = 12 ,BN=ABsin60° = 3 2 , ∴DN= 1+ 12 = 3 2 , ∴BM= 32 , ∴CM=MBtan30° = 32 , ∴DC=DM+MC= 3 , ∴A 1,0 ,B 32 , 3 2 ,C 0, 3 , 设 E 0,m , ∴AE  = -1,m ,BE  = - 32 ,m- 3 2 ,0≤m≤ 3 , ∴AE  ⋅BE  = 32 +m 2- 32 m= m- 3 4  2 + 32 - 3 16 = m- 3 4  2 + 2116 , 当m= 34 时,取得 小值为 21 16 . 【答案】A . 题 9 系数 值 母题171. 如图,在 △ABC 中,点 O是 BC 的中点. 过点 O的直线分别交直线 AB , AC 于不同的 两点M , N , 若 AB  =mAM  ,AC  =nAN  ,则m+n的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. - 2 D. 94 【解析】由已知得 AO  = 12 AB  +AC   , 结合 AB  =mAM  ,AC  =nAN  ,所以 AO  = 12 mAM  + 12 nAN  . 又因为 O,M ,N 三点共线,所以 12 m+ 1 2 n= 1 , 所以m+n= 2 . 【答案】B . 母题172. 如图, Rt△ABC 中, P是斜边 BC 上一点,且满足: BP  = 12 PC  ,点M , N 在过点 P的 直线上,若 AM  = λAB  ,AN  = μAC  , λ,μ>0 ,则 λ+ 2μ的 小值为 ( ) A. 2 B. 83 C. 3 D. 10 3 【解析】若 AM  = λAB  ,AN  = μAC  , λ,μ>0 , MB  =MP  +PB  = 1-λ AB  ; M ,P,N 三点共线, ∴存在实数 k ,使MP  = kMN  = k AN  -AM   =-kλAB  + kμAC  , BP  = 12 PC  ,PB  = 13 CB  = 13 AB  - 13 AC  ; ∴ 13 -kλ AB  + kμ- 13 AC  = 1-λ AB  ; ∴ 1 3 -kλ=1-λ kμ- 13 =0      ; 由②得, k= 13μ 代入①得, 1 3 - λ 3μ = 1- λ； ∴ μ= λ 3λ-2 ; ∴ λ+ 2μ= λ+ 2λ 3λ-2 ; 设 f λ = λ+ 2λ3λ-2 ,λ> 0 ; ∴ f λ = 9λ 2-12λ 3λ-2 2 ,令 f λ = 0得, λ= 0 ,或 43 ； ∴ λ∈ 0, 43 时, f  λ < 0,λ∈ 43 ,+∞ 时, f  λ > 0 ; ∴ λ= 43 时, f λ 取极小值,也是 小值; ∴ f λ 的 小值为 83 ; 即 λ+ 2μ的 小值为 83 . 【答案】B . 题 10 复数四 运算 母题173. 设 2 z+z + 3 z-z   = 4+ 6i ,则 z= ( ) A. 1- 2i B. 1+ 2i C. 1+ i D. 1- i 【答案】C 【解析】设 z= a+ bi ,则 z= a- bi ,则 2 z+z + 3 z-z   = 4a+ 6bi= 4+ 6i , 所以, 4a=4 6b=6  ,解得 a= b= 1 ,因此, z= 1+ i . 故选: C . 母题174. 若 z= 1+ i ,则 z2-2z = ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】由题意可得: z2= 1+ i 2= 2i ,则 z2- 2z= 2i- 2 1+ i =-2 . 故 z2-2z = -2 = 2 . 故选: D . 题 11 复数几 意义 母题175. 设 z=-3+ 2i ,则在复平面内 z对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】∵ z=-3+ 2i, ∴ z=-3- 2i ,对应坐标 (-3, - 2),是第三象限. 母题176. 已知 z= m+3 + m-1 i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( ) A. (-3,1) B. (-1,3) C. 1,+∞  D. -∞,-3  【答案】A 【解析】z= m+3 + m-1 i在复平面内对应的点坐标为: m+3,m-1  又 z= m+3 + m-1 i在复平面内对应的点在第四象限 所以 m+3>0 m-1<0  所以 -3<m< 1故选 A . 母题177. 已知复数 z满足等式 z-1 = z+2i (i是虚数单位). 则 z- i  的 小值是 【答案】 7 510 【解析】设 z= x+ yi x,y∈R , ∵ z-1 = z+2i , ∴ x-1+yi = x+ y+2 i  ,即 x-1 2+y2= x2+ y+2 2 整理得: 2x+ 4y+ 3= 0.∴复数 z的对应点的轨迹是 2x+ 4y+ 3= 0 . ∴ z-1- i  的 小值即为点 (0,1)到直线 2x+ 4y+ 3= 0的距离为: d= 7  20 = 7 510 故答案为 7 510 . 母题178. 已知复数 z满足等式 z- i = 1 ,则 z-1  的 大值为 【答案】 2+ 1 【解析】因为 z- i = 1 ,所以复数 z在复平面内对应的点是以 (0,1)为圆心,半径为 1的圆,如 图所示: 则 z-1  的 大值为圆心 (0,1)到点 A 1,0 的距离加 1,即 0-1 2+ 1-0 2+ 1= 2+ 1 . 故答案为: 2+ 1 .