版块5 三角函数与解三角形-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 五 三角函数与解三角形 题 1 角三角函数关系的 用 母题116. 已知 sinα+3cosα3cosα-sinα = 5 . 则 sin 2α- sinαcosα= . 题 2 用诱导公式化简 值 母题117. 已知 cos π6 -α = 3 3 ,则 cos 5π 6 +α - sin 2 α- π6 = . 母题118. 已知 A= sin kπ+α  cos π2 -α  + cos kπ-α  sin π2 +α  ,k∈ Z ,则 A的值构成的集合为 题 3 三角函数式的化简 母题119. 化简求值: 2cos 2x-1 2tan π4 -x sin2 π 4 +x  = 母题120. 3 cos10° - 1 sin170° = 题 4 角的拼凑 母题121. 已知 sin 5π7 -α = 1 3 ,则 sin 2π 7 +α = 母题122. 若 sin π6 -a = 1 3 ,则 cos 2π 3 +2a = 母题123. 已知 sin α+ π6 =- 3 5 ,且 α∈ - 2π 3 ,- π 6 ,则 tan 4π 3 -α = ( ) A. - 43 B. 4 3 C. - 3 4 D. 3 4 题 5: 差化积、积化 差公式 母题124. 已知 x1,x2 是函数 f x = 2sinx+ cosx-m在 0,π 内的两个零点,则 sin x1+x2 =    A. 12 B. 3 5 C. 4 5 D. 3 4 母题125.已知 cosα- cosβ= 12 ，sinα- sinβ=- 1 3 ，则 tan α+β 2 = . 题 6 三角函数的单 性 母题126. 若 f x = cosx- sinx在 -a,a 上是减函数,则 a的最大值是 ( ) A. π8 B. π 4 C. 3π 8 D. 3π 4 题 7 三角函数的 母题127. 在下列四个函数,① y= sinx  ② y= cos2x  ③ y= 2sin 2x- π3 ④ y= 2tan x+ π10 中,最小正周期为 π的所有函数为 题 8 三角函数的奇偶性 母题128. 已知函数 f x = sin 2x+φ ,φ∈ 0,π 是偶函数,则 φ= 母题129. 已知函数 f x = 1+cos2x  1-cos2x ,x∈R ,则 f x 是 ( ) A. 最小正周期为 π的奇函数 B. 最小正周期为 π的偶函数 C. 最小正周期为 π2 的奇函数 D. 最小正周期为 π 2 的偶函数 母题130. 已知 f x = sin 2x+φ , φ∈ - π2 , π 2     ,且 f x- π6 为偶函数,则 φ= 题 9 三角函数的对称性 母题131. 已知函数 f x = sin ωx+φ ω>0, φ < π2 ,其图象相邻两条对称轴之间的距离为 π 4 ,将函数 y= f x 的图象向左平移 3π 16 个单位后,得到的图象关于原点对称,那么函数 y = f x 的图象 ( ) A. 关于点 - π16 ,0 对称 B. 关于点 π 16 ,0 对称 C. 关于直线 x= π4 对称 D. 关于直线 x=- π 4 对称 母题132. 将函数 f x = sin2x+ 3cos2x的图象向左平移 φ φ>0 个单位后,所得到的图象关 于 y轴对称,则 φ的最小值为 . 题 10：三角函数图 绝对值问题 母题133.关于函数 f x = sinx cosx 有下列四个结论： ① f x 的图 关于原点对称；② f x  区间 0, π4 上单 ；③ f x 的一个 为 π；④ f x  -π,π  四个零点；其中所 正 结论的 号 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 题 11 图 解 式 母题134. 已知函数 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0, φ <π 的部分图象如图所示,则 f x 的 解析式为 ( ) A. f x = 2 3sin πx8 + π 4  B. f x = 2 3sin πx 8 + 3π 4  C. f x = 2 3sin πx8 - π 4  D. f x = 2 3sin πx 8 - 3π 4  题 12 三角函数的图 变 母题135. 函数 f x =Acos ωx+φ (A> 0,ω> 0,φ∈ -π,0 的部分图象如图所示,要得到函数 y= Asinωx的图象,只需将函数 f x 的图象 ( ) A. 向右平移 π12 B. 向左平移 π 6 C. 向左平移 π 12 D. 向右平移 π 6 题 13 三角函数的 值 母题136. 函数 y= sin x+ π4 + cos π 4 -x 的最大值为 母题137. 函数 f x = sinx + cos2x的值域为 ( ) A. 0,1  B. 12 ,1     C. 0, 9 8     D. 1, 9 8     母题138. 函数 y= 2+cosx2-cosx x∈R 的最大值为 母题139. 已知函数 f x = 3sin2x- 2sin2x . (I) f x 的 正 ; (II) 若 x∈ - π6 , π 3     , f x 的 大值 值,以及对 的 x 的值. 母题140. 125. 已知函数 f x = sin 2x+ π3 + cos 2x+ π 6 + 2sinxcosx,x∈R . (I)求函数 f x 的最小正周期; (II)当 x∈ 0, π2    时,求函数 f x 的最大值和最小值. 题 14 正、 弦定理解三角形 母题141. 在 △ABC 中, ∠C= π4 ,AB= 2,AC= 6 ,则 cosB的值为 ( ) A. 12 B. - 3 2 C. 1 2 或 - 3 2 D. 1 2 或 - 1 2 母题142. 在 △ABC 中, AC= 3 , 3sinA= 2sinB ,且 cosC= 14 ,则 AB= 题 15 断三角形形状 母题143. 在 △ABC 中,三内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c . 若 4a2= b2+ c2+ 2bc,sin2A = sinB ⋅ sinC ,则 △ABC 的形状的形状为 ( ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 题 16: 断三角形个数 母题144. (2023·广东茂名·三模) (多选)△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.以下结论中正 确的有 ( ) A. 若 a= 40,b= 20,B= 25°，则△ABC必有两解 B. 若 sin2A= sin2B，则△ABC一定为等腰三角形 C. 若 acosB- bcosA= c，则△ABC一定为直角三角形 D. 若B= π3 ,a= 2，且该三角形有两解，则 b的范围是 3,+∞  题 17 解三角形的实 用 母题145.在同一平面上有相距 14公里的A,B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西 偏北 θ方向发射炮弹，B则向东偏北 θ方向发射炮弹，其中 θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北 θ2 方向发射炮弹，弹着点为 18公里外的点M， 则B炮台与弹着点M的距离为 ( ) A. 7公里 B. 8公里 C. 9公里 D. 10公里 母题146.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如 图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度， 称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差” 则海岛的高AB= ( ) A. 表高×表距 表目距的差 +表高 B. 表高×表距 表目距的差 -表高 C. 表高×表距 表目距的差 +表距 D. 表高×表距 表目距的差 -表距 题 18 角的 值 母题147. 在 △ABC 中,若 a:b:c= 4:5:6 ,则其最大内角的余弦值为 ( ) A. 18 B. 1 4 C. 3 10 D. 3 5 母题148. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 a2+ b2≥ 2c2 ,则角 C 的最大值为 ( ) A. π2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 题 19： 积类问题 母题149.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 3a= 2csinA． (1) sinC的值； (2)若 c= 3， △ABC 积S的 大值． 题 20 边问题 母题150. 在 △ABC 中,设 a、b、c分别为角 A、B、C 的对边,记 △ABC 的面积为 S ,且 2S=AB  ⋅AC  . (1)求角 A的大小; (2)若 c= 7,cosB= 45 ,求 a的值. 母题151. 在 △ABC 中, a,b,c分别为角 A,B,C 的对边,且 bcosA= c- 32 a . (1)求角 B ; (2)若 △ABC 的面积为 2 3 ,BC 边上的高 AH= 1 ,求 b,c . 题 21 长 积 母题152. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a sinA-sinB + bsinB= csinC . (1)求角 C ; (2)若 c= 3,a+ b= 6 ,求 △ABC 的面积. 母题153. 已知 a,b,c分别是 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, -2b-ca = cosC cosA . (1)求角 A的大小; ( 2 )若 △ABC 的面积 S= 3 ,求 △ABC 周长的最小值. 题 22 取值 围问题 母题154. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c . 已知 asinA+C2 = bsin ​​A. (1)求 B ; (2)若 △ABC 为锐角三角形,且 c= 1 ,求 △ABC 面积的取值范围. 母题155. 锐角 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a= 2 . (1)若 S△ABC= 3 ,AB  ⋅AC  = 2 ,求 ∠B ; (2)若 B= 2A ,求 b的取值范围. 母题156. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 2bsinA- 3a= 0 . (I)求角 B的大小; (II)求 cosA+ cosB+ cosC 的取值范围. 母题157. 在 △ABC 中,已知 cosC+ cosA- 3sinA cosB= 0 . (I)求角 B的大小; (II)若 a+ c= 1 ,求 b的取值范围; (III)求 sinA ⋅ sinC 的最大值. 题 23 中线角 线 母题158. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 sinA-sinB sinC = a-c a+b . (1)求角 B的大小; (2)若 b= 6 ,且 AC 边上的中线长为 4,求 △ABC 的面积. 母题159. (2020春·湖北期中)在 △ABC 中, ∠ACB= 60° ,且 ∠C 的角平分线 CD与边 AB相交 于点 D . (1)若 CB= 2,CA= 3 ,求 CD的长； (2)若 AB= 3 ,求 CD的取值范围. 版 五 三角函数与解三角形 题 1 角三角函数关系的 用 母题116. 已知 sinα+3cosα3cosα-sinα = 5 . 则 sin 2α- sinαcosα= . 【解析】依题意得: tanα+33-tanα = 5, ∴ tanα= 2 , ∴ sin2α- sinαcosα= sin 2α-sinαcosα sin2α+cos2α = tan 2α-tanα tan2α+1 = 2 2-2 22+1 = 25 . 【答案】 25 题 2 用诱导公式化简 值 母题117. 已知 cos π6 -α = 3 3 ,则 cos 5π 6 +α - sin 2 α- π6 = . 【解析】cos 5π6 +α = cos π- π 6 -α  =-cos π 6 -α =- 3 3 sin2 α- π6 = sin 2 - π6 -α  = 1- cos 2 π 6 -α = 1- - 3 3  2 = 23 ∴ cos 5π6 +α - sin 2 α- π6  =- 33 - 2 3 =- 3+23 . 【答案】- 3+23 母题118. 已知 A= sin kπ+α  cos π2 -α  + cos kπ-α  sin π2 +α  ,k∈ Z ,则 A的值构成的集合为 【解析】当 k为偶数时, A= sin kπ+α  cos π2 -α  + cos kπ-α  sin π2 +α  = sinαsinα + cosα cosα = 2 ; 当 k为奇数时, A= sin kπ+α  cos π2 -α  + cos kπ-α  sin π2 +α  = -sinαsinα + -cosα cosα =-2 . ∴A的值构成的集合为 {-2,2} . 【答案】{-2,2} . 题 3 三角函数式的化简 母题119. 化简求值: 2cos 2x-1 2tan π4 -x sin2 π 4 +x  = 【答案】1 【解析】 2cos 2x-1 2tan π4 -x sin2 π 4 +x  = cos2x 2 sin π4 -x  cos π4 -x  ⋅cos2 π4 -x  = cos2x 2sin π4 -x cos π 4 -x  = cos2x sin π2 -2x  = cos2xcos2x = 1 母题120. 3 cos10° - 1 sin170° = 【答案】-4 【解析】由 题 意 得 3 cos10° - 1 sin170° = 3 cos10° - 1 sin10° = 3sin10°-cos10° sin10°cos10° = 2sin 10°-30°  1 2 sin20° = 4sin -20°  sin20° =-4. 题 4 角的拼凑 母题121. 已知 sin 5π7 -α = 1 3 ,则 sin 2π 7 +α = 【答案】 13 【解析】∵ sin 5π7 -α = 1 3 , ∴ sin 2π 7 -α = sin π- 5π 7 -α  = sin 5π 7 -α = 1 3 . 母题122. 若 sin π6 -a = 1 3 ,则 cos 2π 3 +2a = 【答案】- 79 【解析】由 题 意 , 可 得 cos 2π3 +2a  =- cos π- 2π 3 +2a   =- cos π 3 -2a  = -cos 2 π6 -a  =- 1-2sin 2 π 6 -a  =- 7 9 . 母题123. 已知 sin α+ π6 =- 3 5 ,且 α∈ - 2π 3 ,- π 6 ,则 tan 4π 3 -α = ( ) A. - 43 B. 4 3 C. - 3 4 D. 3 4 【解析】∵ sin α+ π6 =- 3 5 ,且 α∈ - 2π 3 ,- π 6 , ∴ α+ π6 ∈ - π 2 ,0 , ∴ cos α+ π6 = 1-sin 2 α+ π6 = 4 5 , ∴ cot α+ π6 = cos α+ π6  sin α+ π6  =- 43 , 则 tan 4π3 -α = tan π 3 -α = cot α- π 6 =- 4 3 , 【答案】A . 题 5: 差化积、积化 差公式 母题124. 已知 x1,x2 是函数 f x = 2sinx+ cosx-m在 0,π 内的两个零点,则 sin x1+x2 =    A. 12 B. 3 5 C. 4 5 D. 3 4 【解析】∵ x1,x2 是函数 f x = 2sinx+ cosx-m在 0,π 内的两个零点, 即 x1,x2 是方程 2sinx+ cosx=m在 0,π 内的两个解, ∴m= 2sinx1+ cosx1= 2sinx2+ cosx2,  ∴ 2sinx1- 2sinx2= cosx2- cosx1, ∴ 2× 2× cos x1+x22 sin x1-x2 2 =-2sin x1+x2 2 sin x2-x1 2 , ∴ 2cos x1+x2 2 = sin x1+x2 2 , ∴ tan x1+x22 = 2,  ∴ sin x1+x2 = 2tan x1+x2 2  1+tan2 x1+x22 = 45 , 故选: C . 母题125.已知 cosα- cosβ= 12 ，sinα- sinβ=- 1 3 ，则 tan α+β 2 = . 【解析】因为 cosα- cosβ= 12 ，所以-2sin α+β 2 sin α-β 2 = 1 2 .① 因为 sinα- sinβ=- 13 ，所以 2cos α+β 2 sin α-β 2 =- 1 3 .② 因为 sin α-β 2 ≠ 0，cos α+β 2 ≠ 0，所以由 ① ② 得-tan α+β2 =- 3 2 ，即 tan α+β 2 = 3 2 . 故答案为：32 . 题 6 三角函数的单 性 母题126. 若 f x = cosx- sinx在 -a,a 上是减函数,则 a的 大值是 ( ) A. π8 B. π 4 C. 3π 8 D. 3π 4 【解析】 f x = cosx- sinx=- sinx-cosx =- 2sin x- π4 , 令 - π2 + 2kπ≤ x- π 4 ≤ π 2 + 2kπ,k∈ Z ,可得 - π 4 + 2kπ≤ x≤ 3 4 π+ 2kπ,k∈ Z , 当 k= 0时,可得 f x 的一个减区间为 - π4 , 3π 4    , ∵ f x 在 -a,a 上是减函数, ∴ -a≥- π4 a≤ 3π4      ,解得 a≤ π4 , ∴ a的 大值为 π4 . 【答案】B . 题 7 三角函数的 母题127. 在下列四个函数,① y= sinx  ② y= cos2x  ③ y= 2sin 2x- π3 ④ y= 2tan x+ π10 中, 小正周期为 π的所有函数为 【答案】①③④ 【解析】① 函数 y= sinx  的图像是将 y= sinx 的图像在 x 轴下方的全部对称到 x 轴上方, 故函数 y= sinx  的 小正周期为 π ,故①满足题意; ② 函数 y= cos2x  的图像是将 y= cos2x的图像在 x轴下方的全部对称到 x轴上方,而函 数 y= cos2x的周期为 π ,故函数 y= cos2x  的 小正周期为 π2 ,故②不满足题意; ③函数 y= 2sin 2x- π3 的周期为 T= 2π 2 = π ,故③满足题意； ④ 函数 y= 2tan x+ π10 的周期为 T= π ,故④满足题意; 题 8 三角函数的奇偶性 母题128. 已知函数 f x = sin 2x+φ ,φ∈ 0,π 是偶函数,则 φ= 【答案】 π2 【解析】因为 f x 为偶函数,故当 x= 0时, f x 取得 大或 小值. 即 2× 0+ φ= kπ+ π2 ,k ∈ Z . 即 φ= kπ+ π2 ,k∈ Z . 又 φ∈ 0,π ,故 φ= π 2 . 故答案为: π 2 母题129. 已知函数 f x = 1+cos2x  1-cos2x ,x∈R ,则 f x 是 ( ) A. 小正周期为 π的奇函数 B. 小正周期为 π的偶函数 C. 小正周期为 π2 的奇函数 D. 小正周期为 π 2 的偶函数 【答案】D 【解析】 f x = 1+cos2x  1-cos2x = 1+cos2x sin 2 x = 1+cos2x 1-cos2x2 = 1-cos22x 2 = 12 1- 1+cos4x 2 = 1-cos4x 4 . 周期 T= 2π 4 = π 2 ,f -x = f x ,f x 为偶函数. 故选: D 母题130. 已知 f x = sin 2x+φ , φ∈ - π2 , π 2     ,且 f x- π6 为偶函数,则 φ= 【答案】- π6 【解析】∵ f x = sin 2x+φ ∴ f x- π6 = sin 2 x- π 6 +φ = sin 2x+φ- π 3  又因为 f x- π6 为偶函数 ∴ φ- π 3 = kπ+ π 2 ,k∈ Z∴ φ= kπ+ 5π 6 ,k∈ Z ∵ φ∈ - π2 , π 2    ∴ φ=- π 6 故答案为: - π 6 题 9 三角函数的对称性 母题131. 已知函数 f x = sin ωx+φ ω>0, φ < π2 ,其图象相邻两条对称轴之间的距离为 π 4 ,将函数 y= f x 的图象向左平移 3π 16 个单位后,得到的图象关于原点对称,那么函数 y = f x 的图象 ( ) A. 关于点 - π16 ,0 对称 B. 关于点 π 16 ,0 对称 C. 关于直线 x= π4 对称 D. 关于直线 x=- π 4 对称 【解析】∵函数 f x = sin ωx+φ ω>0, φ < π2 , 其图象相邻两条对称轴之间的距离为 12 ⋅ 2π ω = π 4 , ∴ω= 4,f x = sin 4x+φ . 将函数 y= f x 的图象向左平移 3π16 个单位后, 可得 y= sin 4x+ 3π4 +φ 的图象. 若得到的图象关于原点对称,则 3π4 + φ= π ,即 φ= π 4 , 那么函数 y= f x = sin 4x+ π4 . 令 4x+ π4 = kπ ,求得 x= kπ 4 - π 16 , k∈ Z ,故 f x 的图象关于点 kπ 4 - π 16 ,0 对称,故 A对 B不对. 令 4x+ π4 = kπ+ π 2 ,求得 x= kπ 4 + π 16 ,k∈ Z ,故 f x 的图象关于直线 x= kπ 4 + π 16 ,k∈ Z 对称, 故 CD都不对, 【答案】A . 母题132. 将函数 f x = sin2x+ 3cos2x的图象向左平移 φ φ>0 个单位后,所得到的图象关 于 y轴对称,则 φ的 小值为 . 【解析】∵ y= 3cos2x+ sin2x= 2 32 cos2x+ 1 2 sin2x = 2sin 2x+ π 3 , ∴将函数 y= 3cos2x+ sin2x x∈R 的图象向左平移 φ φ>0 个长度单位后, 所得到的图象对应的函数解析式为 y= 2sin 2x+2φ+ π3 . ∵所得到的图象关于 y轴对称, ∴ y= 2sin 2x+2φ+ π3 为偶函数. 即 2φ+ π3 = kπ+ π 2 ,φ= kπ 2 + π 12 ,k∈ Z . 当 k= 0时, φ的 小值为 π12 . 【答案】 π12 . 题 10：三角函数图 绝对值问题 母题133.关于函数 f x = sinx cosx 有下列四个结论： ① f x 的图 关于原点对称；② f x  区间 0, π4 上单 ；③ f x 的一个 为 π；④ f x  -π,π  四个零点；其中所 正 结论的 号 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【解析】解：对于①，函数 f x 的定义域为R，且 f -x = sin -x cos -x  =-sinx cosx = -f x ，所以函数 f x 是奇函数，所以函数 f x 的图象关于原点对称，故①正确；对于②，当 x∈ 0, π4 时，2x∈ 0, π 2 ，cosx> 0，所以 f x = sinxcosx= 1 2 sin2x，又因为 y= sinx在 0，π2 上单 递增，所以 f x = sinxcosx= 1 2 sin2x在 0, π 4 上单 递增，故②正确；对于 ③，因为 f x+π = sin x+π cos x+π  =-sinx cosx ≠ f x ，所以 π不是函数 f x 的周 期，故③不正确；对于④，在 x∈ -π,π 时，令 f x = 0，即 sinx cosx = 0，解得 x= 0,x= π2 , x=- π2 ，共 3个零点，故④不正确；综上得正确命题的编号为：①②，故选：A. 题 11 图 解 式 母题134. 已知函数 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0, φ <π 的部分图象如图所示,则 f x 的 解析式为 ( ) A. f x = 2 3sin πx8 + π 4  B. f x = 2 3sin πx 8 + 3π 4  C. f x = 2 3sin πx8 - π 4  D. f x = 2 3sin πx 8 - 3π 4  【解析】根据函数 f x =Asin ωx+φ A>0,ω>0, φ <π 的部分图象,可得 A= 2 3 , 2πω = 2(6+ 2), ∴ω= π8 . 再根据图象经过点 (6,0),可得 π8 × 6+ φ= 2kπ,k∈ Z, ∴令 k= 0 ,可得 φ=- 3π 4 , ∴ f x = 2 3sin π8 x- 3π 4 , 【答案】D . 题 12 三角函数的图 变 母题135. 函数 f x =Acos ωx+φ (A> 0,ω> 0,φ∈ -π,0 的部分图象如图所示,要得到函数 y= Asinωx的图象,只需将函数 f x 的图象 ( ) A. 向右平移 π12 B. 向左平移 π 6 C. 向左平移 π 12 D. 向右平移 π 6 【解析】函数 f x =Acos ωx+φ (A> 0,ω> 0,φ∈ -π,0 的部分图象如图所示, 由于函数的图象的 大值为 2 , 小值为 -2 , 所以 A= 2 . 当 x= 0时 f 0 = 1 , 所以 2cosφ= 1 , 由于 φ∈ -π,0 所以 φ=- π3 . 当 x= 2π3 时, f 2π 3 = 2cos 2π 3 ω- π 3 =-2 , 解得 ω= 2 , 所以 f x = 2cos 2x- π3 ,把函数的图象向右平移 π 12 个单位,得到 y= 2sin2x的图象, 【答案】A . 题 13 三角函数的 值 母题136. 函数 y= sin x+ π4 + cos π 4 -x 的 大值为 【答案】2 【解析】y= sin x+ π4 + cos π 4 -x = 2 2 sinx+ 2 2 cosx+ 2 2 cosx+ 2 2 sinx= 2 sinx+cosx = 2sin x+ π4 , 因为 -1≤ sin x+ π4 ≤ 1 ,所以 -2≤ 2sin x+ π 4 ≤ 2 ,故函数的 大值为 2, 母题137. 函数 f x = sinx + cos2x的值域为 ( ) A. 0,1  B. 12 ,1     C. 0, 9 8     D. 1, 9 8     【解析】 f x = sinx + cos2x = sinx+cos2x, 0≤sinx≤1 -sinx+cos2x, -1≤sinx<0 , = -2sin2x+sinx+1, 0≤sinx≤1 -2sin2x-sinx+1, -1≤sinx<0 , ① 当 0≤ sinx≤ 1时, f x =-2 sinx- 14  2 + 98 , ∴当 sinx= 14 时, f x max= 9 8 ;当 sinx= 1时, f x min= 0 , ∴ f x ∈ 0, 98    , ② 当 -1≤ sinx< 0时, f x =-2 sinx+ 14  2 + 98 , ∴当 sinx=- 14 时, f x max= 9 8 ;当 sinx=-1时, f x min= 0 , ∴ f x ∈ 0, 98    , 综上, f x 的值域为: 0, 98    . 【答案】C . 母题138. 函数 y= 2+cosx2-cosx x∈R 的 大值为 【答案】3 【解析】由 y= 2+cosx2-cosx = 4 2-cosx - 1 , 因为 cosx∈ -1,1 ,所以 2- cosx∈ 1,3 ,所以 42-cosx - 1∈ 1 3 ,3    , 即函数 y= 2+cosx2-cosx x∈R 的 大值为 3 母题139. 已知函数 f x = 3sin2x- 2sin2x . (I)求 f x 的 小正周期; (II)若 x∈ - π6 , π 3    , 求 f x 的 大值和 小值,以及对应的 x的值. 【解析】( I ) f x = 3sin2x+ cos2x- 1 = 2 32 sin2x+ 1 2 cos2x - 1 = 2 sin2xcos π6 +cos2xsin π 6 - 1= 2sin 2x+ π 6 - 1所以 小正周期为 π (II)因为 x∈ - π6 , π 3    ,所以 - π 6 ≤ 2x+ π 6 ≤ 5π 6 , 当 2x+ π 6 = π 2 ,即 x= π 6 时, f x  的 大值为 1 .当 2x+ π6 =- π 6 ,即 x=- π 6 时, f x 的 小值为 -2 . 母题140. 125. 已知函数 f x = sin 2x+ π3 + cos 2x+ π 6 + 2sinxcosx,x∈R . (I)求函数 f x 的 小正周期; (II)当 x∈ 0, π2    时,求函数 f x 的 大值和 小值. 【解析】( I ) ∵ f x = sin 2x+ π3 + cos 2x+ π 6 + 2sinxcosx = sin2xcos π3 + cos2xsin π 3 + cos2xcos π 6 - sin2xsin π 6 + sin2x = 12 sin2x+ 3 2 cos2x+ 3 2 cos2x- 1 2 sin2x+ sin2x = sin2x+ 3cos2x= 2sin 2x+ π3 . ∴T= 2π2 = π ; (II) ∵ x∈ 0, π2    , ∴ 2x+ π 3 ∈ π 3 , 4π 3    . ∵当 π3 ≤ 2x+ π 3 ≤ π 2 ,即 0≤ x≤ π 12 时,函数 f x 单 递增, 当 π2 ≤ 2x+ π 3 ≤ 4π 3 ,即 π 12 ≤ x≤ π 2 时,函数 f x 单 递减, 且 f 0 = 3 ,f π12 = 2,f π 2 =- 3 . ∴函数 f x 的 大值和 小值分别为 2, - 3 . 题 14 正、 弦定理解三角形 母题141. 在 △ABC 中, ∠C= π4 ,AB= 2,AC= 6 ,则 cosB的值为 ( ) A. 12 B. - 3 2 C. 1 2 或 - 3 2 D. 1 2 或 - 1 2 【解析】由题意: ∠C= π4 ,c=AB= 2,b=AC= 6 , 由正弦定理 bsinB = c sinC ,则有: sinB= 6sin π4 2 = 3 2 . ∵ 0<B< π ∴B= π3 或 2π 3 . 当 B= π3 时,则 cosB= 1 2 当 B= 2π3 时,则 cosB=- 1 2 . 【答案】D . 母题142. 在 △ABC 中, AC= 3 , 3sinA= 2sinB ,且 cosC= 14 ,则 AB= 【解析】∵ 3sinA= 2sinB , ∴由正弦定理可得: 3BC= 2AC , ∴由 AC= 3 ,可得: BC= 2 , ∵ cosC= 14 , ∴由余弦定理可得: 14 = 32+22-AB2 2×3×2 , ∴解得: AB= 10 . 【答案】 10 . 题 15 断三角形形状 母题143. 在 △ABC 中,三内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c . 若 4a2= b2+ c2+ 2bc,sin2A = sinB ⋅ sinC ,则 △ABC 的形状的形状为 ( ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【解析】在 △ABC 中, ∵ sin2A= sinB ⋅ sinC , ∴ a2= bc , ∵ 4a2= b2+ c2+ 2bc, ∴ b2+ c2- 2bc= 0 , 解得 b= c , ∴ a= b= c , ∴△ABC 是等边三角形. 【答案】A . 题 16: 断三角形个数 母题144. (2023·广东茂名·三模) (多选)△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.以下结论中正 确的有 ( ) A. 若 a= 40,b= 20,B= 25°，则△ABC必有两解 B. 若 sin2A= sin2B，则△ABC一定为等腰三角形 C. 若 acosB- bcosA= c，则△ABC一定为直角三角形 D. 若B= π3 ,a= 2，且该三角形有两解，则 b的范围是 3,+∞  【答案】【答案】AC 【分析】根据正弦定理可判断选项A；已知条件得出角A,B的关系，可判断选项B；化边为角可 判断选项C；根据正弦定理可判断选项D，进而可得正确选项. 【解析】解：对于A，若 a= 40,b= 20,B= 25°，则 sinA= asinB b = 40sin25°20 = 2sin25° < 1， 又A>B，所以△ABC必有两解，故A正确； 对于B，若 sin2A= sin2B，则 2A= 2B或 2A= π- 2B， 即A=B或A+B= π2 ，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理得：acosB- bcosA= c⇔ sinAcosB- sinBcosA= sinC， 即 sin A-B = sinC= sin A+B ⇒ sinBcosA= 0，而 sinB≠ 0，故A= π2 ， 所以△ABC一定为直角三角形，故C正确； 对于D，若B= π3 ,a= 2，且该三角形有两解，所以 asinB< b< a， 即 2sin π3 < b< 2，也即 3< b< 2，故D错误. 综上所述，只有AC正确， 故选：AC . 题 17 解三角形的实 用 母题145.在同一平面上有相距 14公里的A,B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向西 偏北 θ方向发射炮弹，B则向东偏北 θ方向发射炮弹，其中 θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18公里外的同一目标，接着A改向向西偏北 θ2 方向发射炮弹，弹着点为 18公里外的点M， 则B炮台与弹着点M的距离为 ( ) A. 7公里 B. 8公里 C. 9公里 D. 10公里 【答案】D 【解析】解：依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB= 14，AC=BC=AM= 18， ∠CBA=∠CAB= θ，∠MAB= θ2 ， 在△ABC中BC2=AC2+AB2- 2AC ⋅ABcosθ， 即 182= 142+ 182- 2× 14× 18cosθ，解得 cosθ= 718 ， 所以 cosθ= 2cos2 θ2 - 1= 7 18 ，又 θ为锐角，解得 cos θ 2 = 5 6 (负值舍去)， 在△ABM中BM 2=AM 2+AB2- 2AM ⋅ABcos θ2 = 182+ 142- 2× 18× 14× 56 = 100， 所以BM= 10，即B炮台与弹着点M的距离为 10公里. 故选：D 母题146.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如 图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度， 称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差” 则海岛的高AB= ( ) A. 表高×表距 表目距的差 +表高 B. 表高×表距 表目距的差 -表高 C. 表高×表距 表目距的差 +表距 D. 表高×表距 表目距的差 -表距 【答案】A 【解析】解：如图所示： 由平面相似可知，DE AB = EH AH , FG AB = CG AC ，而 DE=FG，所以 DE AB = EH AH = CG AC = CG-EH AC-AH = CG-EH CH ，而 CH=CE-EH=CG-EH+EG， 即AB= CG-EH+EG CG-EH ×DE= EG×DE CG-EH +DE= 表高×表距 表目距的差 +表高． 故选：A. 题 18 角的 值 母题147. 在 △ABC 中,若 a:b:c= 4:5:6 ,则其 大内角的余弦值为 ( ) A. 18 B. 1 4 C. 3 10 D. 3 5 【解析】根据题意得: a= 4k,b= 5k,c= 6k,k> 0 ,且 大角为 C , ∴ cosC= a 2+b2-c2 2ab = 16k 2+25k2-36k2 2×4k×5k = 1 8 . 【答案】A . 母题148. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 a2+ b2≥ 2c2 ,则角 C 的 大值为 ( ) A. π2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 【解析】∵ a2+ b2≥ 2c2,a2+ b2≥ 2ab , ∴ cosC= a 2+b2-c2 2ab ≥ a2+b2- 12 a 2+b2  2ab = a 2+b2 4ab ≥ 2ab 4ab = 12 , ∵C 为三角形内角, C∈ 0,π ,且 cosC 在 0,π 上单 递减, 故 C∈ 0, 13 π , ∴角 C 的 大值为 π3 , 【答案】B . 题 19： 积类问题 母题149.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 3a= 2csinA． (1) sinC的值； (2)若 c= 3， △ABC 积S的 大值． 【答案】(1) 32 (2) 9 34 【解析】解：(1)由题意可知， 3a= 2csinA， 由正弦定理得 3sinA= 2sinCsinA， 因为A，C∈ (0,π)，所以 sinA≠ 0， 即 sinC= 32 . (2)由 (1)可知 sinC= 32 ， 所以C= π3 或C= 2π 3 . 在△ABC中，由余弦定理得 AB2=AC2+BC2- 2AC×BCcosC， 当C= π3 时，c= 3， 9= b2+ a2- 2ab ⋅ 12 = b 2+ a2- ab≥ 2ab- ab= ab， 当且仅当 a= b= 3时取等号，即 ab≤ 9， 故△ABC的面积S△ABC= 1 2 absinC= 3 4 ab≤ 9 3 4 . 当C= 2π3 时，c= 3， 9= b2+ a2+ 2ab ⋅ 12 = b 2+ a2+ ab≥ 2ab+ ab= 3ab， 当且仅当 a= b= 3时取等号，即 ab≤ 3， 故△ABC的面积S△ABC= 1 2 absinC= 3 4 ab≤ 3 3 4 . 综上所述，△ABC的面积 大值为 9 34 . 题 20 边问题 母题150. 在 △ABC 中,设 a、b、c分别为角 A、B、C 的对边,记 △ABC 的面积为 S ,且 2S=AB  ⋅AC  . (1)求角 A的大小; (2)若 c= 7,cosB= 45 ,求 a的值. 【解析】(1)由 2S=AB  ⋅AC  ,得 bcsinA= bccosA , 因为 A∈ 0,π , 所以 tanA= 1 , 可得: A= π4 . (2) △ABC 中, cosB= 45 , 所以 sinB= 35 , 所以: sinC= sin A+B = sinAcosB+ cosAsinB= 7 210 , 由正弦定理 a sinA = c sinC ,得 a 2 2 = 7 7 2 10 ,解得 a= 5 母题151. 在 △ABC 中, a,b,c分别为角 A,B,C 的对边,且 bcosA= c- 32 a . (1)求角 B ; (2)若 △ABC 的面积为 2 3 ,BC 边上的高 AH= 1 ,求 b,c . 【解析】(1)因为 bcosA= c- 32 a , 所以由正弦定理可得 sinBcosA= sinC- 32 sinA= sin A+B - 3 2 sinA = sinAcosB+ cosAsinB- 32 sinA , 可得 sinAcosB= 32 sinA , 因为 sinA≠ 0 ,可得 cosB= 32 , 所以由 B∈ 0,π ,可得 B= π6 . (2)因为 △ABC 的面积为 2 3 ,BC 边上的高 AH= 1 , 在 Rt △ABH 中,可得 c= AHsinB = 1 sin π6 = 2 , BH= c2-AH 2= 22-12= 3 , 所以 2 3= 12 acsinB= 1 2 × 3+HC × 2× 1 2 , 解得 HC= 3 3 ,可得 a=BH+HC= 4 3 , 在 △ABC 中,由余弦定理可得 b= a2+c2-2accosB = 4 3 2+22-2×4 3×2× 32 = 2 7 . 题 21 长 积 母题152. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a sinA-sinB + bsinB= csinC . (1)求角 C ; (2)若 c= 3,a+ b= 6 ,求 △ABC 的面积. 【解析】(1)由正弦定理知, a sinA = bsinB = c sinC , ∵ a sinA-sinB + bsinB= csinC , ∴ a a-b + b2= c2 ,即 a2+ b2- c2= ab , 由余弦定理知, cosC= a 2+b2-c2 2ab = ab 2ab = 12 , ∵C∈ 0,π , ∴C= π3 . (2)由 (1)知, a2+ b2- c2= ab ,即 a+b 2- 2ab- c2= ab , ∵ c= 3,a+ b= 6 , ∴ 36- 9= 3ab ,解得 ab= 9 , ∴ a= b= 3 , ∴△ABC 的面积 S= 12 absinC= 1 2 × 3× 3× sin π 3 = 9 3 4 . 母题153. 已知 a,b,c分别是 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, -2b-ca = cosC cosA . (1)求角 A的大小; ( 2 )若 △ABC 的面积 S= 3 ,求 △ABC 周长的 小值. 【解析】(1) △ABC 中, -2b-ca = cosC cosA , 由正弦定理,得: -2sinB-sinC sinA = cosC cosA , 即 -2sinBcosA- sinCcosA= sinAcosC , ∴-2sinBcosA= sin A+C = sinB , ∵ sinB≠ 0 , ∴ cosA=- 12 , 则 A= 2π3 ; ( 2 ) ∵A= 2π3 ,且 S= 1 2 bcsinA= 3 4 bc= 3 , ∴ bc= 4 , 由余弦定理,得 a2= b2+ c2- 2bccosA= b2+ c2+ bc≥ 2bc+ bc= 3bc= 12 , ∴ a≥ 2 3 , 又 b+ c≥ 2 bc= 4 , 当且仅当 b= c= 2时, a的 小值为 2 3 , b+ c的 小值为 4, 则周长 a+ b+ c的 小值为 4+ 2 3 . 题 22 取值 围问题 母题154. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c . 已知 asinA+C2 = bsin ​​A. (1)求 B ; (2)若 △ABC 为锐角三角形,且 c= 1 ,求 △ABC 面积的取值范围. 【解析】(1) asinA+C2 = bsinA ,即为 asin π-B 2 = acos B 2 = bsinA , 可得 sinAcosB2 = sinBsinA= 2sin B 2 cos B 2 sinA , ∵ sinA> 0 , ∴ cosB2 = 2sin B 2 cos B 2 , 若 cosB2 = 0 ,可得 B= 2k+1 π,k∈ Z 不成立, ∴ sinB2 = 1 2 , 由 0<B< π ,可得 B= π3 ; (2)若 △ABC 为锐角三角形,且 c= 1 , 由余弦定理可得 b= a2+1-2a ⋅1 ⋅cos π3 = a 2-a+1 , 由三角形 ABC 为锐角三角形,可得 a2+ a2- a+ 1> 1且 1+ a2- a+ 1> a2 , 且 1+ a2> a2 - a+ 1 , 解得 12 < a< 2 , 可得 △ABC 面积 S= 1 2 a ⋅ sin π 3 = 3 4 a∈ 3 8 , 3 2 . 母题155. 锐角 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a= 2 . (1)若 S△ABC= 3 ,AB  ⋅AC  = 2 ,求 ∠B ; (2)若 B= 2A ,求 b的取值范围. 【解析】(1)依题意得 12 bcsinA= 3 ,bccosA= 2 , 可得 tanA= 3 ,A= π3 , 由余弦定理得 4= b2+ c2- 2bccosA ,得 b2+ c2= 8 , 而 bc= 4 ,解得 b= c= 2 , 故 △ABC 为等边三角形, ∠B= π3 . ( 2 )依题意,由正弦定理得 a sinA = bsinB = b sin2A = b 2sinAcosA , 则 b= 4cosA , 由于是锐角三角形,则 0<A< π2 ,0<B= 2A< π 2 , 0<C= π- 3A< π2 , 得 π6 <A< π 4 , 可得 cosA∈ 22 , 3 2 ,可得 b= 4cosA∈ 2 2,2 3 , 则 b的取值范围为 2 2,2 3 . 母题156. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 2bsinA- 3a= 0 . (I)求角 B的大小; (II)求 cosA+ cosB+ cosC 的取值范围. 【解析】( I ) ∵ 2bsinA= 3a , ∴ 2sinBsinA= 3sinA , ∵ sinA≠ 0 , ∴ sinB= 32 , ∵△ABC 为锐角三角形, ∴B= π3 , (II) ∵△ABC 为锐角三角形, B= π3 , ∴C= 2π3 -A , ∴ cosA+ cosB+ cosC= cosA+ cos 2π3 -A + cos π 3 = cosA- 1 2 cosA+ 3 2 sinA+ 1 2 = 12 cosA+ 3 2 sinA+ 1 2 = sin A+ π 6 + 1 2 , △ABC 为锐角三角形, 0<A< π2 ,0<C< π 2 , 解得 π6 <A< π 2 , ∴ π3 <A+ π 6 < 2π 3 , ∴ 32 < sin A+ π 6 ≤ 1 , ∴ 32 + 1 2 < sin A+ π 6 + 1 2 ≤ 3 2 , ∴ cosA+ cosB+ cosC 的取值范围为 3+12 , 3 2 . 母题157. 在 △ABC 中,已知 cosC+ cosA- 3sinA cosB= 0 . (I)求角 B的大小; (II)若 a+ c= 1 ,求 b的取值范围; (III)求 sinA ⋅ sinC 的 大值. 【解析】( I )由 cosC+ cosA- 3sinA cosB= 0 , 得 cosC+ cosA- 3sinA cosB=-cos A+B + cosA- 3sinA cosB =-cosAcosB+ sinAsinB+ cosAcosB- 3sinAcosB = sinAsinB- 3sinAcosB= 0 . 由 sinA> 0 ,则有 tanB= 3 . ∵B∈ 0,π , ∴B= π3 ; (II)由 (I)得 B= π3 ,又 a+ c= 1 , ∴由余弦定理得, b2= a2+ c2- 2ac ⋅ cosB= a2+ c2- ac = a+c 2- 3ac= 1- 3a 1-a = 3 a- 12  2 + 14 . ∵ 0< a< 1, ∴ 14 ≤ b 2< 1 , 又 b> 0 ,解得 12 ≤ b< 1 . ∴ b的取值范围是 12 ,1   ; (III)由正弦定理可得, a sinA = c sinC = bsinB = 2b 3 , ∴ sinA= 3a 2b ,sinC= 3c 2b , 则 sinAsinC= 3ac 4b2 . 由余弦定理得, b2= a2+ c2- 2ac ⋅ cosB= a2+ c2- ac≥ 2ac- ac= ac . 当且仅当 a= c等号成立. ∴ sinAsinC= 3ac 4b2 ≤ 34 . 即 sinA ⋅ sinC 的 大值为 34 . 题 23 中线角 线 母题158. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 sinA-sinB sinC = a-c a+b . (1)求角 B的大小; (2)若 b= 6 ,且 AC 边上的中线长为 4,求 △ABC 的面积. 【解析】(1)因为 sinA-sinB sinC = a-c a+b = a-b c 所以 a2+ c2- b2= ac , 由余弦定理可得, cosB= a 2+c2-b2 2ac = 1 2 , 所以 B= 13 π； (2)设 AC 的中点 D ,由余弦定理可得, BD2+AD2-AB2 2BD ⋅AD =- BD2+CD2-BC2 2BD ⋅CD , 即 4 2+32-c2 2×3×4 =- 42+32-a2 2×3×4 , 整理可得, a2+ c2= 50 , 因为 a2+ c2- b2= ac,b= 6 , 所以 ac= 14 , 所以 S= 12 acsinB= 1 2 × 14× 3 2 = 7 3 2 母题159. (2020春·湖北期中)在 △ABC 中, ∠ACB= 60° ,且 ∠C 的角平分线 CD与边 AB相交 于点 D . (1)若 CB= 2,CA= 3 ,求 CD的长； (2)若 AB= 3 ,求 CD的取值范围. 【解析】(1)方法一: 因为 AB2=AC2+BC2- 2AC ⋅BCcos∠ACB= 9+ 4- 2× 3× 2× 12 = 7 , 所以 AB= 7 , 因为 BC sinA = AB sinC , 所以 sinA= BCsinC AB = 2× 32 7 = 217 . 所以 cosA= 2 77 , 所以 sin∠ADC= sin π- ∠A+∠ACD  = sin ∠A+ π6  = sinAcos π6 + cosAsin π 6 = 21 7 × 3 2 + 2 7 7 × 1 2 = 5 7 14 , 因为 CD sinA = AC sin∠ADC , 所以 CD= ACsinA sin∠ADC = 3× 217 5 7 14 = 6 35 , 方法二:由 S△ABC=S△ACD+S△BCD , 可得: 12 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ sin60° = 1 2 ⋅ 3 ⋅ CD  ⋅ sin30° + 1 2 ⋅ 2 ⋅ CD  ⋅ sin30° , 于是: CD = 6 35 . (2)设 BC= a,AC= b ,由题意得 S△ABC= 3 4 ab=S△ACD+S△BCD = 14 b ⋅ CD + 1 4 a ⋅ CD , 所以 CD = 3aba+b , 根据余弦定理,可得 a2+ b2= 3+ ab , 所以 a2+ b2= 3+ ab≥ 2ab , 所以 0< ab≤ 3 , 又由 a2+ b2= 3+ ab ,得 ab= a+b 2 3 - 1∈ (0,3] , 所以 a+ b∈ 3,2 3 , 所以 CD = 3aba+b = 3 a+b 2 3 -1       a+b = a+b 2-3 3 a+b  = 3 a+b3 - 1 a+b , 因为函数 y= 3 x3 - 1 x 在 3,2 3 上单 递增, 所以可得 CD = 3 a+b3 - 1 a+b ∈ 0, 3 2 .