版块4 导数及其应用-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 四 导数及其 用 题 1 导数的计算 母题79. 求下列函数的导数: (1) y= x7+ x6- 3x5 ; (2) y= x+ x-1 ; (3) y= 3x2+2 x-5 ; (4) y= sinxx ; (5) y= x x2+1 ; (6) y= x+1 x+2 x+3 . 【解析】(1) ∵ y= x7+ x6- 3x5 , ∴ y= 7x6+ 6x5- 15x4 ; 2 ∵ y= x+ x-1, ∴ y= 1- x-2 ; 3 ∵ y= 3x2+2 x-5 , ∴ y= 3x2+2  x-5 + 3x2+2 x-5  = 6x x-5 + 3x2+2  = 9x2- 30x+ 2; (4) ∵ y= sinxx , ∴ y= sinx  ⋅x-sinx ⋅ x  x2 = xcosx-sinx x2 ; (5) ∵ y= x x2+1 , ∴ y= x  ⋅ x2+1 -x ⋅ x2+1  x2+1 2 = 1-x 2 x2+1 2 ; (6) ∵ y= x+1 x+2 x+3 , ∴ y= x+1  x+2 x+3 + x+1 x+2  x+3 + x+1 x+2 x+3  = x+2 x+3 + x+1 x+3 + x+1 x+2  = x2+5x+6 + x2+4x+3 + x2+3x+2  = 3x2+ 12x+ 11 . 母题80. 已知函数 f x = ln 2x-3 + axe-x ,若 f 2 = 1 ,则 a= . 【答案】答案 e2 解析 f x = 12x-3 ⋅ 2x-3  + ae-x+ ax ⋅ e-x  = 22x-3 + ae -x- axe-x, ∴ f 2 = 2+ ae-2- 2ae-2= 2- ae-2= 1 , 则 a= e2 . 题 2 解 式中 导数值的函数 母题81. 已知函数 f x 的导函数为 f x ,f x = 2x2- 3xf 1 + lnx ,则 f 1 = . 【答案】- 74 【解析】∵ f x = 2x2- 3xf 1 + lnx , ∴ f x = 4x- 3f 1 + 1x ,将 x= 1代入, 得 f 1 = 4- 3f 1 + 1 ,得 f 1 = 54 . ∴ f x = 2x2- 154 x+ lnx , ∴ f 1 = 2- 154 =- 7 4 . 题 3 点 母题82. 已知曲线 y= x 2 4 - 3lnx的一条切线的斜率为 - 1 2 ,则切点的横坐标为 【答案】2 【解析】∵ y= x 2 4 - 3lnx x>0 , ∴ y = x2 - 3 x ,再由导数的几何意义, 令 x2 - 3 x =- 1 2 ,解得 x= 2或 x=-3 (舍去)。 题 4 某点的 线方 母题83. 已知曲线 y= aex+ xlnx在点 (1, ae)处的切线方程为 y= 2x+ b ,则 ( ) A. a= e-1,b= 1 B. a= e-1,b=-1 C. a= e,b=-1 D. a= e,b= 1 【解析】∵ y= aex+ xlnx, ∴ y= aex+ lnx+ 1 , 由在点 (1, ae)处的切线方程为 y= 2x+ b , 可得 ae+ 1+ 0= 2 ,解得 a= e-1 , 又切点为 (1,1),可得 1= 2+ b ,即 b=-1 . 【答案】B . 母题84. 已知函数 f x 在 R上满足 f x = 2f 2-x - x2+ 8x- 8 ,则曲线 y= f x 在点 1,f 1  处的切线方程是 ( ) A. y=-2x+ 3 B. y= x C. y= 3x- 2 D. y= 2x- 1 【解析】∵ f x = 2f 2-x - x2+ 8x- 8 , ∴ f 2-x = 2f x - 2-x 2+ 8 2-x - 8 . ∴ f 2-x = 2f x - x2+ 4x- 4+ 16- 8x- 8 . 将 f 2-x 代入 f x = 2f 2-x - x2+ 8x- 8 得 f x = 4f x - 2x2- 8x+ 8- x2+ 8x- 8 . ∴ f x = x2,f x = 2x , ∴ y= f x 在 1,f 1  处的切线斜率为 y= 2 . ∴函数 y= f x 在 1,f 1  处的切线方程为 y- 1= 2 x-1 , 即 y= 2x- 1 . 【答案】D . 题 5 过某点的 线方 母题85. 曲线 y= lnx过点 (0, - 1)的切线方程为 【答案】x- y- 1= 0 【解析】由题, y= 1x ,设切点为 x0,lnx0 ,则在切点处的切线斜率为 1 x0 ,又切线过点 (0, - 1),故 1x0 = lnx0- -1  x0 ⇒ x0= 1 . 故切点为 (1,0). 故切线方程为 y- 0= 11 x-1 ⇒ x- y- 1= 0 . 故答案为: x- y- 1= 0 题 6 公 线问题 母题86. 若直线 y= kx+ b是曲线 y= lnx+ 2的切线,也是曲线 y= ln x+1 的切线,则 b= ( ) A. 1 B. 12 C. 1- ln2 D. 1- 2ln2 【解析】设 y= kx+ b与 y= lnx+ 2 和 y= ln x+1 的切点分别为 x1,kx1+b 、x2,kx2+b  ； 由导数的几何意义可得 k= 1x1 = 1x2+1 ,得 x1= x2+ 1 , 再由切点也在各自的曲线上,可得 kx1+b=lnx1+2 kx2+b=ln x2+1   , 联立上述式子解得 k= 2,x1= 12 ,x2=- 1 2 . 代入 kx1+ b= lnx1+ 2 ,解得 b= 1- ln2 . 【答案】C . 题 7 导数与函数单 性 母题87. 讨论下列函数的单 性. (1) f x = x- alnx ; (2) g x = x-a-1 ex- x-a 2 . 【解析】(1) f x 的定义域为 0,+∞ , f x = 1- ax = x-a x , 令 f x = 0 ,得 x= a , ① 当 a≤ 0时, f x > 0在 0,+∞ 上恒成立, ∴ f x 在 0,+∞ 上单 递增, ② 当 a> 0时, x∈ 0,a 时, f x < 0 , x∈ a,+∞ 时, f x > 0 , 综上,当 a≤ 0时, f x 在 0,+∞ 上单 递增, 当 a> 0时, f x 在 (0, a)上单 递减,在 a,+∞ 上单 递增. (2) g x 的定义域为 R , g x = x-a ex- 2 x-a = x-a  ex-2 , 令 g x = 0 ,得 x= a或 x= ln2 , ① 当 a> ln2时, x∈ -∞,ln2 ∪ a,+∞ 时, f x > 0 , x∈ ln2,a 时, f x < 0 , ② 当 a= ln2时, f x ≥ 0恒成立, ∴ f x 在 R上单 递增, ③ 当 a< ln2时, x∈ -∞,a ∪ ln2,+∞ 时, f x > 0 , x∈ a,ln2 时, f x < 0 , 综上,当 a> ln2时, f x 在 -∞,ln2 , a,+∞ 上单 递增,在 ln2,a 上单 递减; 当 a= ln2时, f x 在 R上单 递增; 当 a< ln2时, f x 在 -∞,a , ln2,+∞ 上单 递增,在 a,ln2 上单 递减. 题 8 已知函数单 性 参数 母题88. 函数 f x = x- 13 sin2x+ asinx在 R上单 递增,则 a的取值范围为 【解析】函数 f x = x- 13 sin2x+ asinx的导数为 f  x = 1- 23 cos2x+ acosx , 由题意可得 f x ≥ 0恒成立, 即为 1- 23 cos2x+ acosx≥ 0 , 即有 53 - 4 3 cos 2x+ acosx≥ 0 , 设 t= cosx -1≤t≤1 ,即有 5- 4t2+ 3at≥ 0 , 当 t= 0时,不等式显然成立; 当 0< t≤ 1时, 3a≥ 4t- 5t , 由 4t- 5t 在 (0,1]递增,可得 t= 1时,取得 大值 -1, 可得 3a≥-1 ,即 a≥- 13 ； 当 -1≤ t< 0时, 3a≤ 4t- 5t , 由 4t- 5t 在 [-1,0)递增,可得 t=-1时,取得 小值 1, 可得 3a≤ 1 ,即 a≤ 13 , 综上可得 a的范围是 - 13 , 1 3    , 【答案】 - 13 , 1 3    . 母题89. 若函数 f x = x2- kex 在 0,+∞ 上单 递减,则 k的取值范围为 . (用区间表 示) 【解析】∵ f x = x2- kex, ∴ f x = 2x- kex , ∵ f x 在 0,+∞ 上单 递减, ∴ f x = 2x- kex≤ 0在 0,+∞ 上恒成立,即 k≥ 2x ex , 设 g x = 2x ex ,则 g x = 2 1-x  ex , 令 g x = 0 ,则 x= 1 , ∴当 x∈ 0,1 时, g x > 0,g x 单 递增;当 x∈ 1,+∞ 时, g x < 0,g x 单 递减, ∴ g x max= g 1 = 2 e , ∴ k≥ 2e , ∴实数 k的取值范围为 2e ,+∞   . 【答案】 2e ,+∞   . 题 9 法解单 性问题 母题90. 对任意 x∈R ,函数 y= f x 的导数都存在,若 f x + f x > 0恒成立,且 a> 0 ,则下 列说法正确的是 ( ) A. f a < f 0  B. f a > f 0  C. ea ⋅ f a < f 0  D. ea ⋅ f a > f 0  【解析】设 g x = ex ⋅ f x ,则 g x = ex f x + f x  > 0 , ∴函数 g x 在 R上单 递增, ∴ a> 0时, g a > g 0 . ∴ ea ⋅ f a > f 0 . 【答案】D . 母题91. 已知奇函数 f x 的导函数为 f x ,x∈R . 当 x∈ 0,+∞ 时, xf x + f x > 0 . 若 af a ≥ 2f(2- a) + af a-2 ,则实数 a的取值范围是 ( ) A. -∞,-1  B. -1,1  C. -∞,-1]∪[1,+∞  D. [1, +∞) 【解析】令 g x = xf x , ∵ f x 为奇函数,即 f -x =-f x , ∴ g -x =-xf -x = xf x = g x ,即函数 g x 为偶函数 ∵ x∈ 0,+∞ 时, xf x + f x > 0 . ∴ g x > 0 , ∴ g x 在 0,+∞ 上单 递增,根据偶函数的对称性可知, g x 在 -∞,0 上单 递减, ∵ af a ≥ 2f 2-a + af a-2 = 2-a f 2-a , ∴ g a ≥ g 2-a , ∴ a ≥ 2-a  解可得, a≥ 1 【答案】D . 母题92. 若定义在 R上的函数 f x 满足 f x + f x < 1,f 0 = 4 ,则不等式 ex f x -1 > 3(e 为自然对数的 底数)的解集为 【解析】设 g x = ex f x - ex, x∈R , 则 g x = ex f x + ex f x - ex= ex f x + f x -1 , ∵ f x + f x < 1, ∴ f x + f x - 1< 0 , ∴ g x < 0 , ∴ y= g x 在定义域上单 递减, ∵ ex f x > ex+ 3, ∴ g x > 3 , 又 ∵ g 0 = e0 f 0 - e0= 4- 1= 3 , ∴ g x < g 0 , ∴ x< 0 【答案】 -∞,0 . 题 10 函数的 值 母题93. 已知函数 f x = x3+ ax2+ bx+ a2 在 x= 1处有极值 10,则 f 2 等于 ( ) A. 11或 18 B. 11 C. 18 D. 17或 18 【解析】 f x = 3x2+ 2ax+ b , ∴ 3+2a+b=0 1+a+b+a2=10 ⇒ b=-3-2a #/DEL/# a2-a-12=0 #/DEL/# ⇒ a=4 b=-11 或 a=-3 b=3  ① 当 a=-3 b=3  时, f x = 3 x-1  2≥ 0 , ∴在 x= 1处不存在极值； ② 当 a=4 b=-11  时, f x = 3x2+ 8x- 11= 3x+11 x-1  ∴ x∈ - 113 ,1 ,f  x < 0,x∈ 1,+∞ ,f x > 0 ,符合题意. ∴ a=4 b=-11 ,∴ f 2 =8+16-22+16=18 . 【答案】C . 母题94. 已知函数 f x = xlnx- aex ( e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数 a的取值范 围是 ( ) A. 0, 1e  B. (0, e) C. 1 e ,e  D. -∞,e  【解析】 f x = lnx- aex+ 1 , 若函数 f x = xlnx- aex 有两个极值点, 则 y= a和 g x = lnx+1 ex 在 0,+∞ 有 2个交点, g x = 1 x -lnx-1 ex , x>0 , 令 h x = 1x - lnx- 1 ,则 h  x =- 1 x2 - 1x < 0 , h x 在 0,+∞ 递减,而 h 1 = 0 , 故 x∈ 0,1 时, h x > 0 ,即 g x > 0,g x 递增, x∈ 1,+∞ 时, h x < 0 ,即 g x < 0,g x 递减, 故 g x max= g 1 = 1 e , 而 x→ 0时, g x →-∞,x→+∞时, g x → 0 , 若 y= a和 g x 在 0,+∞ 有 2个交点, 只需 0< a< 1e , 【答案】A . 题 11 函数的 值 母题95. 已知函数 f x = ax2+ bx+ clnx a>0 在 x= 1和 x= 2处取得极值,且极大值为 - 52 ,则函数 f x 在区间 (0,4]上的 大值为 ( ) A. 0 B. - 52 C. 2ln2- 4 D. 4ln2- 4 【解析】函数的导数 f x = 2ax+ b+ cx = 2ax2+bx+c x ∵ f x 在 x= 1和 x= 2处取得极值, ∴ f 1 = 2a+ b+ c= 0① f 2 = 4a+ b+ c2 = 0②, ∵ f x 极大值为 - 52 , ∵ a> 0 , ∴由函数性质当 x= 1时,函数取得极大值为 - 52 , 则 f 1 = a+ b+ cln1= a+ b=- 52 ,③, 由①②③得 a= 12 ,b=-3,c= 2 , 即 f x = 12 x 2- 3x+ 2lnx , f x = x- 3+ 2x = x2-3x+2 x = x-1 x-2  x , 由 f x > 0得 4≥ x> 2或 0< x< 1 ,此时为增函数, 由 f x < 0得 1< x< 2 ,此时 f x 为减函数, 则当 x= 1时, f x 取得极大值,极大值为 - 52 , 又 f 4 = 8- 12+ 2ln4= 4ln2- 4>- 52 , 即函数在区间 (0,4]上的 大值为 4ln2- 4 , 【答案】D . 题 12 三次函数的零点 母题96. 若函数 f x =-x3+ ax2+ x- 1有且只有一个零点,则实数 a的取值范围为 ( ) A. -∞,0  B. -∞,1  C. 0,+∞  D. 1,+∞  【解析】函数 f x =-x3+ ax2+ x- 1有且只有一个零点,等价于关于 x的方程 ax2= x3- x + 1有且只有一个实根. 显然 x≠ 0 , ∴方程 a= x- 1x + 1 x2 有且只有一个实根. 设函数 h x = x- 1x + 1 x2 ,则 h x = 1+ 1 x2 - 2 x3 = x 3+x-2 x3 . 设 g x = x3+ x- 2,h x = 3x2+ 1> 0,h x 为增函数, 又 h 1 = 0 . ∴当 x< 0时, g x > 0,g x 为增函数; 当 0< x< 1时, g x < 0,g x 为减函数; 当 x> 1时, g x > 0,g x 为增函数; g x 在 x= 1时取极小值 1 . 当 x趋向于 0时, g x 趋向于正无穷大；当 x趋向于负无穷大时, g x 趋向于负无穷大;又当 x趋向于正无穷大时, g x 趋向于正无穷大. g x 图象大致如图所示: ∴方程 a= x- 1x + 1 x2 只有一个实根时,实数 a的取值范围为 -∞,1 ,【答案】B . 母题97. 若函数 f x = 2x3- ax2+ 1 a∈R 在 0,+∞ 内有且只有一个零点,则 f x 在 -1,1  上的 大值与 小值的和为 【解析】∵函数 f x = 2x3- ax2+ 1 a∈R 在 0,+∞ 内有且只有一个零点, ∴ f x = 2x 3x-a ,x∈ 0,+∞ , ① 当 a≤ 0时, f x = 2x 3x-a > 0 , 函数 f x 在 0,+∞ 上单 递增, f 0 = 1 , f x 在 0,+∞ 上没有零点,舍去; ② 当 a> 0时, f x = 2x 3x-a > 0的解为 x> a3 , ∴ f x 在 0, a3 上递减,在 a 3 ,+∞ 递增, 又 f x 只有一个零点, ∴ f a3 =- a3 27 + 1= 0 ,解得 a= 3 , f x = 2x3- 3x2+ 1,f x = 6x x-1 ,x∈ -1,1 , f x > 0的解集为 (-1,0), f x 在 (-1,0)上递增,在 (0,1)上递减, f -1 =-4,f 0 = 1,f 1 = 0, ∴ f x min= f -1 =-4,f x max= f 0 = 1 , ∴ f x 在 -1,1 上的 大值与 小值的和为: f x max+ f x min=-4+ 1=-3. 题 13 数、对数 函数的零点 母题98. 已知函数 f x = ex- ax2- bx . 当 a> 0,b= 0时,讨论函数 f x 在区间 0,+∞ 上零 点的个数; 【解析】当 x> 0 , a> 0 , b= 0时,函数 f x 零点的个数即方程 ex= ax2 根的个数. 令 h x = e x x2 ,则 h x = xex x-2  x4 , 则 h x 在 (0,2)上单 递减,这时 h x ∈ h 2 ,+∞ ； h x 在 2,+∞ 上单 递增,这时 h x ∈ h 2 ,+∞ . 所以 h 2 是 y= h x 的极小值即 小值,即 h 2 = e 2 4 , 所以函数 f x 在区间 0,+∞ 上零点的个数,讨论如下: 当 a∈ 0, e 2 4 时,有 0个公共点； 当 a= e 2 4 ,有 1个公共点； 当 a∈ e 2 4 ,+∞ 有 2个公共点. 母题99. 已知函数 f x = lnx- x+1x-1 . 讨论 f x 的单 性,并证明 f x 有且仅有两个零点; 【解析】解析: (1)函数 f x = lnx- x+1x-1 . 定义域为: 0,1 ∪ 1,+∞ ; f x = 1x + 2 x-1 2 > 0, x>0且x≠1 , ∴ f x 在 (0,1)和 1,+∞ 上单 递增, ① 在 (0,1)区间取值有 1 e2 , 1e 代入函数,由函数零点的定义得, ∵ f 1 e2 < 0,f 1 e > 0,f 1 e2 ⋅ f 1 e < 0 , ∴ f x 在 (0,1)有且仅有一个零点, ② 在 1,+∞ 区间,区间取值有 e,e2 代入函数,由函数零点的定义得, 又 ∵ f e < 0,f e2 > 0,f e ⋅ f e2 < 0 , ∴ f x 在 1,+∞ 上有且仅有一个零点, 故 f x 在定义域内有且仅有两个零点; 题 14 参函数的零点 母题100. 函数 f x = 2ex- a x-1 2 有且只有一个零点,则实数 a的取值范围是 ( ) A. e4 ,1  B. (1,2 e] C. 0, e3 2  D. -∞, e3 2  【解析】 f x = 2ex- a x-1 2= 0 , x= 1时不成立, x≠ 1时,化为: a= 2e x x-1 2 = g x x≠1 . g x = 2ex x-3  x-1 3 . 可得: x< 1时, g x > 0 ,函数 g x 单 递增; 1< x< 3时, g x < 0时,函数 g x 单 递减; x> 3时, g x > 0 ,函数 g x 单 递增. 画出图象. g 3 = e 3 2 . 可得:当且仅当 0< a< e 3 2 时,函数 y= a与函数 y= g x 由且仅有一个交点. 即函数 f x = 2ex- a x-1 2 有且只有一个零点,则实数 a的取值范围是 0, e 3 2 . 【答案】C . 母题101. 已知函数 f x = ex-m- xlnx,f x 的导函数为 f x . 若 g x = f x -m+ 1 ,讨论 函数 g x 零点的个数. 【解析】g x = f x -m+ 1= ex-m- lnx-m m>0 . 令 g x = 0 ,得 ex-m= lnx+m . ∴ ex= em lnx+m ,则 xex= xem lnx+m = em+lnx lnx+m . 令 φ x = xex ,则 φ x = φ m+lnx , ∵当 x> 0时, φ x = x+1 ex> 0, ∴当 x> 0时 φ x = xex 为增函数, ∴ x=m+ lnx ,即m= x- lnx x>0 , 令 t x = x- lnx x>0 ,则 t x = 1- 1x . 当 0< x< 1时, t x < 0 ,当 x> 1时, t x > 0 , ∴ t x min= t 1 = 1 . ∴当m< 1时,m= x- lnx无解,即 g x 无零点; 当m= 1时,m= x- lnx有一个解,即 g x 有一个零点； 当m> 1时,m= x- lnx有两个解,即 g x 有两个零点. 题 15 用导数证 不等式 母题102. 已知函数 f x = 14 x 3- x2+ x . 当 x∈ -2,4 时,求证: x- 6≤ f x ≤ x . 【解析】x- 6≤ f x ≤ x ,即 -6≤ 14 x 3- x2≤ 0,x∈ -2,4 恒成立, 令 g x = 14 x 3- x2,x∈ -2,4 , g x = 34 x 2- 2x= 34 x x- 8 3 ,令 g  x > 0得 -2< x< 0 ,或 83 < x< 4,g  x  < 0得 0< x< 83 , 故 g x 在 -2,0 , 8 3 ,4 上单 递增,在 0, 8 3 上单 递减, 故 小值 在 g -2 ,g 83 中产生, 大值在 g 0 ,g 4 中产生, 由于 g -2 =-6,g 8 3 =- 64 27 ,故 g x min=-6,g 0 = 0,g 4 = 0 ,故 g x max= 0 , 故 -6≤ g x ≤ 0 ,当 x∈ -2,4 时恒成立, 即结论成立. 母题103. 设函数 f x = e2x- alnx . 证明:当 a> 0时, f x ≥ 2a+ aln 2a . 【解析】f x = e2x- alnx的定义域为 0,+∞ , ∴ f x = 2e2x- ax . 当 a≤ 0时, f  x > 0恒 成立,故 f x 没有零点, 当 a> 0时, ∵ y= e2x 为单 递增, y=- ax 单 递增, ∴ f  x 在 0,+∞ 单 递增, 又 f a > 0 , 假设存在 b满足 0< b< a4 时,且 b< 1 4 ,f  b < 0 , 故当 a > 0时,导函数 f x 存在唯一的零点, 由 (I)知,可设导函数 f x 在 0,+∞ 上的唯一零点 为 x0 , 当 x∈ 0,x0 时, f x < 0 , 当 x∈ x0,+∞ 时, f x > 0 , 故 f x 在 0,x0 单 递 减,在 x0,+∞ 单 递增, 所以当 x= x0 时, f x 取得 小值, 小值为 f x0 , 由于 2e2x0- a x0 = 0 , 所以 f x0 = a2x0 + 2ax0+ aln 2a ≥ 2a+ aln 2 a . 故当 a> 0时, f x ≥ 2a+ aln 2 a . 母题104.已知函数 f x = ex2- xlnx . 求证:当 x> 0时, f x < xex+ 1e . 【解析】要证 f x < xex+ 1e ,只需证 ex- lnx< e x+ 1ex ,即 ex- e x< lnx+ 1ex . 令 h x  = lnx+ 1ex x>0 ,则 h  x = ex-1 ex2 ,易知 h x 在 0, 1e 上单 递减,在 1 e ,+∞ 上单 递增,则 h x min = h 1 e = 0 ,所以 lnx+ 1 ex ≥ 0 . 再令 φ x = ex- e x ,则 φ x = e- ex ,易知 φ x 在 (0,1)上单 递增,在 1,+∞ 上单 递减,则 φ x max= φ 1 = 0 ,所以 ex- ex≤ 0 . 因为 h x 与 φ x 不同时为 0,所以 ex- ex< lnx+ 1ex ,故原不等式成立. 母题105. 已知函数 f x = aln x-1 + 2x-1 ,其中 a为正实数. 证明:当 x> 2时, f x < e x+ a-1 x- 2a . 【解析】令 φ x = lnx- x+ 1 ,其定义域为 0,+∞ , φ x = 1x - 1= 1-x x . 当 x∈ 0,1 时, φ x > 0 ;当 x∈ 1,+∞ 时, φ x < 0 , ∴ φ x 在 (0,1)上单 递增,在 1,+∞ 上单 递减, ∴ φ x max= φ 1 = 0 , ∴ φ x ≤ 0 , 即 lnx≤ x- 1 ,当且仅当 x= 1时取“=”. 当 x> 2时, ln x-1 < x- 2 , 又 a> 0 , ∴ aln x-1 < a x-2 . 要证 f x < ex+ a-1 x- 2a , 只需证 aln x-1 + 2x-1 < e x+ a-1 x- 2a , 只需证 a x-2 + 2x-1 < e x+ a-1 x- 2a , 即 ex- x- 2x-1 > 0对于任意的 x> 2恒成立. 令 h x = ex- x- 2x-1 ,x> 2 , 则 h x = ex- 1+ 2 x-1 2 . 因为 x> 2 ,所以 h x > 0恒成立, 所以 h x 在 2,+∞ 上单 递增, 所以 h x > h 2 = e2- 4> 0 , 所以当 x> 2时, f x < ex+ a-1 x- 2a . 题 16 恒成 与存 性问题 母题106. 若对任意的实数 x ,不等式 xa≤ ex-1+ x2+ 1恒成立,则实数 a的 大值是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】当 x≤ 0时, ∀ a> 0,xa≤ ex-1+ x2+ 1恒成立； 当 x> 0,a≤ e x-1 x + x+ 1 x , 令 f x = e x-1 x + x+ 1 x , f x = x-1  ex-1+x+1  x2 , 则 0< x< 1时, f x < 0,f x 递减; x> 1时, f x > 0,f x 递增, 则 f x 的 小值为 f 1 = 3 , 即有 a≤ 3 ,可得 a的 大值为 3 . 【答案】B . 母题107. 若对任意的正实数 x ,不等式 xa≤ ex+ 2x2+ 2恒成立,则实数 a的 大值是 ( ) A. e+ 4 B. e+ 3 C. e+ 2 D. e+ 1 【解析】分类参数得 a≤ e x+2x2+2 x = ex x + 2x+ 2 x 对于任意 x> 0恒成立, 令 g x = e x x + 2x+ 2 x x>0 ,则 a≤ g x min , 则 g x = xe x-ex x2 + 2- 2 x2 = xe x-ex+2x2-2 x2 = x-1  ex+2x+2  x2 , 当 0< x< 1时, g x < 0 ,当 x> 1时, g x > 0 , 所以 g x 在 (0,1)上单 递减,在 1,+∞ 上单 递增, 所以 g x min= g 1 = e+ 2+ 2= e+ 4 , 所以 a≤ e+ 4 , 所以实数 a的 大值是 e+ 4 . 【答案】A . 母题108. 若关于 x的不等式 me x x ≥ 6- 4x在 0,+∞ 上恒成立,则实数m的取值范围是 ( ) A. -∞,2e 1 2  B. -∞,2e- 1 2  C. 2e 1 2 ,+∞  D. 2e- 1 2 ,+∞  【解析】不等式 me x x ≥ 6- 4x在 0,+∞ 上恒成立,可得m≥ x 6-4x  ex 的 大值, 设 f x = x 6-4x  ex ,f x = 4x 2-14x+6 ex = 2 x-3  2x-1  ex , 由 x> 0 ,可得 0< x< 12 时, f  x > 0,f x 递增; 1 2 < x< 3时, f  x < 0,f x 递减; x> 3时, f x > 0,f x 递增. 且 x> 3时, f x < 0 , 即有 x= 12 处, f x 取得 大值,且为 2 e ,可得m≥ 2e- 1 2 . 【答案】D . 母题109. 已知函数 f x = lnx ,若对任意的 x1,x2∈ 0,+∞ ,都有 f x1 - f x2   x21-x22 > k x1x2+x22 恒成立,则实数 k的 大值是 ( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 【解析】∵ f x = lnx, ∴ f x1 - f x2 = lnx1- lnx2= ln x1 x2 , ∵ f x1 - f x2   x21-x22 > k x1x2+x22 恒成立,且 x1,x2∈ 0,+∞ , ∴ x1x2+ x22> 0,x1+ x2> 0 , 得 k< ln x1 x2 x21-x22  x1x2+x22 = x1x2 ln x1 x2 - ln x1x2 , 令 t= x1x2 ,g t = tlnt- lnt, t>0且t≠1 , 则 g t = lnt+ 1- 1t ,令 g  t = 0 ,得 t= 1 . ∴当 t∈ 0,1 时, g t < 0,g t 单 递减, 当 t∈ 1,+∞ 时, g t > 0,g t 单 递增, ∴ g t min> g 1 = 0 . ∴ k≤ 0 . 则实数 k的 大值是 0 . 【答案】B . 母题110. 已知函数 f x = ax+ lnx a∈R  (1)求 f x 的单 区间； (2)设 g x = x2- 2x+ 2 ,若对任意 x1∈ 0,+∞ ,均存在 x2∈ 0,1 ,使得 f x1 < g x2 ,求 实数 a的取值范围. 【解析】(1) f x = a+ 1x ,x> 0⋯ 2分  当 a≥ 0时,由于 x∈ 0,+∞ ,f x > 0 ,所以函数 f x 的单 增区间为 0,+∞ ,⋯ 4分  当 a< 0时,令 f x = 0 ,得 x=- 1a . 当 x变化时, f x 与 f x 变化情况如下表: x 0,- 1a  - 1 a - 1 a ,+∞  f x  + 0 - f x  单调递增 极大值 单调递减 所以函数 f x 的单 增区间为 0,- 1a ,函数 f x 的单 减区间为 - 1 a ,+∞ ⋯ 6分  (2)由已知,转化为 f x max< g x max⋯ 8分  因为 g x = x2- 2x+ 2= x-1 2+ 1,x∈ 0,1 , 所以 g x max= 2⋯ 9分  由 (II)知,当 a≥ 0时, f x 在 0,+∞ 上单 递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f e3 = ae3+ 3> 2 ,故不符合题意. ) ⋯ 10分  当 a< 0时, f x 在 0,- 1a 上单 递增,在 - 1 a ,+∞ 上单 递减, 故 f x 的极大值即为 大值, f - 1a =-1+ ln - 1 a =-1- ln -a ,⋯ 11分  所以 2>-1- ln -a ,解得 a<- 1 e3 . 题 17 取值 围 母题111. 已知函数 f x = ex-mx2- 2x . 若 x∈ [0, +∞)时, f x > e2 - 1恒成立,求m的取 值范围. 【解析】 ∵ x∈ [0, +∞)时, f x > e2 - 1恒成立, ∴ ex- 2x- e2 + 1>mx 2 恒成立. 当 x= 0时,对于任意m都成立,⋯ 5分  当 x≠ 0时,即m< ex-2x- e2 +1 x2 恒成立.⋯ 6分  令 g x = ex-2x- e2 +1 x2 ,则 g x = ex-2 x2-2x ex-2x- e2 +1  x4 , 整理得 g x = x-2 ex+2x+e-2 x3 ,⋯ 8分  令 h x = x-2 ex+ 2x+ e- 2 ,注意到 h 1 = 0 , h x = x-1 ex+ 2,h x = xex> 0, 故知 h x 在 0,+∞ 单 递增, h x > h 0 = 1> 0 . 故知 h x 在 0,+∞ 单 递增,又 h 1 = 0.⋯ 10分  故知 h x 在 (0,1)上为负, 1,+∞ 上为正. 故知 g x  0,1 上递减, 1,+∞ 上递增. 故 g x min= g 1 = e-2- e2 +1 1 = e 2 - 1 , 故m< e2 - 1 . 母题112. 已知函数 f x = x+ 1x - 2 . 若关于 x的不等式 f x ≥ alnx+ 2 e - 2恒成立,求实数 a的取值范围. 【解析】由题意, x+ 1x - alnx- 2 e ≥ 0恒成立,令 p x = x+ 1 x - alnx- 2 e ,则 p  x = x2-ax-1 x2 , 设 x0 为 p x = 0的根,则 x20- ax0- 1= 0 ,则 a= x0- 1x0 ,且 p x 在 0,x0  上单 递减,在 x0,+∞ 上单 递增, 由题意需 p x0 ≥ 0 ,即 x0+ 1x0 - x0- 1x0 lnx0- 2 e ≥ 0 , 令 q x = x+ 1x - x- 1 x lnx- 2 e ,q x 的单 性与 (1)中的 h x 单 性一致, 即函数 q x 在 (0,1)上单 递增,在 1,+∞ 单 递减,又 q 1e = q e = 0 , ∴ x0∈ 1e ,e    ,即 a∈ 1 e -e,e- 1 e    . 母题113. 已知函数 f x = aex-1- lnx+ lna ( e是自然对数的底). 若 f x ≥ 1在 0,+∞ 上恒成立,求正数 a的取值范围. 【解析】 解法一: ∵ f x = aex-1- lnx+ lna , ∴ f x = aex-1- 1x ,且 a> 0 . 设 g x = f  x ,则 g x = aex-1+ 1 x2 > 0 , ∴ g x 在 0,+∞ 上单 递增,即 f x 在 0,+∞ 上单 递增, 当 a= 1时, f 1 = 0, ∴ f x min= f 1 = 1 , ∴ f x ≥ 1成立. 当 a> 1时, 1a < 1, ∴ e 1 a -1< 1, ∴ f 1a f  1 = a e 1 a -1-1 a-1 < 0 , ∴存在唯一 x0> 0 ,使得 f x0 = aex0-1- 1x0 = 0 ,且当 x∈ 0,x0 时, f x < 0 , 当 x∈ x0,+∞ 时 f x > 0, ∴ aex0-1= 1x0 , ∴ lna+ x0- 1=-lnx0 , 因此 f x min= f x0 = aex0-1- lnx0+ lna= 1 x0 + lna+ x0- 1+ lna≥ 2lna- 1+ 2 1x0 ⋅x0 = 2lna+ 1> 1 , ∴ f x > 1, ∴ f x ≥ 1恒成立; 当 0< a< 1时, f 1 = a+ lna< a< 1, ∴ f 1 < 1,f x ≥ 1不是恒成立. 综上所述,实数 a的取值范围是 [1, +∞) . 解法二: f x = aex-1- lnx+ lna= elna+x-1- lnx+ lna≥ 1 等价于 elna+x-1+ lna+ x- 1≥ lnx+ x= elnx+ lnx, 令 g x = ex+ x ,上述不等式等价于 g lna+x-1 ≥ g lnx , 显然 g x 为单 增函数, ∴又等价于 lna+ x- 1≥ lnx ,即 lna≥ lnx- x+ 1 , 令 h x = lnx- x+ 1 ,则 h x = 1x - 1= 1-x x 在 (0,1)上 h x > 0,h x 单 递增;在 1,+∞ 上 h x < 0,h x 单 递减, ∴ h x max= h 1 = 0,lna≥ 0 ,即 a≥ 1, ∴ a的取值范围是 [1, +∞) . 解法三:由 (1)得 f x = ex-1- lnx在 x= 1处取得 小值为 1, 即 ex-1- lnx≥ 1--- 7分  对任意 x0> 0,g x0 = aex0-1- lnx0+ lna在 0,+∞ 上单 递增, 所以,当 a≥ 1时, f x = aex-1- lnx+ lna≥ ex-1- lna≥ 1 , 当 0< a< 1时, f x = aex-1- lnx+ lna< ex-1- lnx 即存在 x= 1使 f 1 = a+ lna< 1 ,不合题意, 综上得正数 a的取值范围是 [1, +∞) . 题 18 变形 元 法 母题114. 已知函数 f x = lnxx ,若 x1> x2> 0 ,求证: x1 f x1 -x2 f x2   x 2 1+x22 > 2x2 x1-x2 . 【解析】当 x1> x2> 0时,要证明 x1 f x1 -x2 f x2   x21+x22 > 2x2 x1-x2 , 即证 lnx1- lnx2> 2x2 x1-x2  x21+x22 ,即证 ln x1x2 - 2 ⋅ x1x2 -2 x1 x2  2 +1 > 0 , 令 t= x1x2 > 1 ,设 u t = lnt- 2t-2 t2+1 ,则 u t = t2-1  t2+2t-1  t t2+1 2 , ∵当 t∈ 1,+∞ 时, t2- 1> 0,t2+ 2t- 1> 0, ∴u t > 0, ∴u t 在 1,+∞ 上单 递增, ∴u t >u 1 = 0 ,故 ln x1 x2 - 2 ⋅ x1x2 -2 x1 x2  2 +1 > 0 , 即 x1 f x1 -x2 f x2   x21+x22 > 2x2 x1-x2 . 母题115. 已知函数 f x = x3+ klnx k∈R ,f x 为 f x 的导函数. ( 1 )当 k= 2时,求曲线 y= f x 在点 1,f 1  处的切线方程； ( 2 )当 k= 6时,求函数 g x = f x - f x + 9x - 1的单 区间和极值； (3) 当 k ≥-3 时,求证 : 对任意的 x 1,x 2 ∈ [1, +∞) ,且 x 1> x 2 ,有 f x1 + f x2  2 > f x1 - f x2  x1-x2 . 【解析】(1)当 k= 2时, f x = x3+ 2lnx,f x = 3x2+ 2x ,可得 f 1 = 1,f  1 = 5 , 所以曲线 y= f x 在点 1,f 1  处的切线方程为 y- 1= 5 x-1 , 即 y= 5x- 4 . (2)依题意, g x = x3- 3x2+ 6lnx+ 3x - 1,x∈ 0,+∞ , 从而可得 g x = 3x2- 6x+ 6x - 3 x2 ,整理可得: g x = 3 x-1 3 x+1  x2 , 令 g x = 0 ,解得 x= 1 , 当 x变化时, g x ,g x 的变化情况如下表: x (0,1) x= 1 1,+∞  g x  - 0 + g x  单调递减 极小值 单调递增 所以,函数 g x 的单 递减区间为 (0,1),单 递增区间为 1,+∞ ; g x 的极小值为 g 1 = 0 ,无极大值. (3)证明:由 f x = x3+ klnx ,得 f x = 3x2+ kx . 对任意的 x1,x2∈ [1, +∞) ,且 x1> x2 ,令 x1 x2 = t t>1 , 则 x1-x2  f x1 + f x2 - 2 f x1 - f x2   = x1-x2  3x21+ kx1 +3x22+ kx2 - 2 x 3 1-x32+kln x1 x2  = x31- x32- 3x21x2+ 3x1x22+ k x1 x2 - x2x1 - 2kln x1 x2 = x32 t3-3t2+3t-1 + k t- 1t -2lnt ①, 令 h x = x- 1x - 2lnx,x∈ [1, +∞) , 当 x> 1时, h x = 1+ 1 x2 - 2x = 1- 1 x  2 > 0 , 由此可得 h x 在 [1, +∞)单 递增, 所以当 t> 1时, h t > h 1 ,即 t- 1t - 2lnt> 0 , 因为 x2≥ 1,t3- 3t2+ 3t- 1= t-1 3> 0,k≥-3 , 所以 x32 t3-3t2+3t-1 + k t- 1t -2lnt ≥ t 3- 3t2+ 3t- 1- 3 t- 1t -2lnt = t 3- 3t2+ 6lnt+ 3t -1②, 由 (1)、(2)可知,当 t> 1时, g t > g 1 ,即 t3- 3t2+ 6lnt+ 3t > 1 , 故 t3- 3t2+ 6lnt+ 3t - 1> 0③, 由①②③可得 x1-x2  f x1 + f x2 - 2 f x1 - f x2  > 0 , 故当 k≥-3时,任意的 x1,x2∈ [1, +∞) ,且 x1> x2 ,有 f x1 + f x2  2 > f x1 - f x2  x1-x2 . 版 四 导数及其 用 题 1 导数的计算 母题79. 求下列函数的导数: (1) y= x7+ x6- 3x5 ; (2) y= x+ x-1 ; (3) y= 3x2+2 x-5 ; (4) y= sinxx ; (5) y= x x2+1 ; (6) y= x+1 x+2 x+3 . 母题80. 已知函数 f x = ln 2x-3 + axe-x ,若 f 2 = 1 ,则 a= . 题 2 解 式中 导数值的函数 母题81. 已知函数 f x 的导函数为 f x ,f x = 2x2- 3xf 1 + lnx ,则 f 1 = . 题 3 点 母题82. 已知曲线 y= x 2 4 - 3lnx的一条切线的斜率为 - 1 2 ,则切点的横坐标为 题 4 某点的 线方 母题83. 已知曲线 y= aex+ xlnx在点 (1, ae)处的切线方程为 y= 2x+ b ,则 ( ) A. a= e-1,b= 1 B. a= e-1,b=-1 C. a= e,b=-1 D. a= e,b= 1 母题84. 已知函数 f x 在 R上满足 f x = 2f 2-x - x2+ 8x- 8 ,则曲线 y= f x 在点 1,f 1  处的切线方程是 ( ) A. y=-2x+ 3 B. y= x C. y= 3x- 2 D. y= 2x- 1 题 5 过某点的 线方 母题85. 曲线 y= lnx过点 (0, - 1)的切线方程为 题 6 公 线问题 母题86. 若直线 y= kx+ b是曲线 y= lnx+ 2的切线,也是曲线 y= ln x+1 的切线,则 b= ( ) A. 1 B. 12 C. 1- ln2 D. 1- 2ln2 题 7 导数与函数单 性 母题87. 讨论下列函数的单 性. (1) f x = x- alnx ; (2) g x = x-a-1 ex- x-a 2 . 题 8 已知函数单 性 参数 母题88. 函数 f x = x- 13 sin2x+ asinx在 R上单 递增,则 a的取值范围为 母题89. 若函数 f x = x2- kex 在 0,+∞ 上单 递减,则 k的取值范围为 . (用区间表 示) 题 9 法解单 性问题 母题90. 对任意 x∈R ,函数 y= f x 的导数都存在,若 f x + f x > 0恒成立,且 a> 0 ,则下 列说法正确的是 ( ) A. f a < f 0  B. f a > f 0  C. ea ⋅ f a < f 0  D. ea ⋅ f a > f 0  母题91. 已知奇函数 f x 的导函数为 f x ,x∈R . 当 x∈ 0,+∞ 时, xf x + f x > 0 . 若 af a ≥ 2f(2- a) + af a-2 ,则实数 a的取值范围是 ( ) A. -∞,-1  B. -1,1  C. -∞,-1]∪[1,+∞  D. [1, +∞) 母题92. 若定义在 R上的函数 f x 满足 f x + f x < 1,f 0 = 4 ,则不等式 ex f x -1 > 3(e 为自然对数的 底数)的解集为 题 10 函数的 值 母题93. 已知函数 f x = x3+ ax2+ bx+ a2 在 x= 1处有极值 10,则 f 2 等于 ( ) A. 11或 18 B. 11 C. 18 D. 17或 18 母题94. 已知函数 f x = xlnx- aex ( e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数 a的取值范 围是 ( ) A. 0, 1e  B. (0, e) C. 1 e ,e  D. -∞,e  题 11 函数的 值 母题95. 已知函数 f x = ax2+ bx+ clnx a>0 在 x= 1和 x= 2处取得极值,且极大值为 - 52 ,则函数 f x 在区间 (0,4]上的最大值为 ( ) A. 0 B. - 52 C. 2ln2- 4 D. 4ln2- 4 题 12 三次函数的零点 母题96. 若函数 f x =-x3+ ax2+ x- 1有且只有一个零点,则实数 a的取值范围为 ( ) A. -∞,0  B. -∞,1  C. 0,+∞  D. 1,+∞  母题97. 若函数 f x = 2x3- ax2+ 1 a∈R 在 0,+∞ 内有且只有一个零点,则 f x 在 -1,1  上的最大值与最小值的和为 题 13 数、对数 函数的零点 母题98. 已知函数 f x = ex- ax2- bx . 当 a> 0,b= 0时,讨论函数 f x 在区间 0,+∞ 上零 点的个数; 母题99. 已知函数 f x = lnx- x+1x-1 . 讨论 f x 的单 性,并证明 f x 有且仅有两个零点; 题 14 参函数的零点 母题100. 函数 f x = 2ex- a x-1 2 有且只有一个零点,则实数 a的取值范围是 ( ) A. e4 ,1  B. (1,2 e] C. 0, e3 2  D. -∞, e3 2  母题101. 已知函数 f x = ex-m- xlnx,f x 的导函数为 f x . 若 g x = f x -m+ 1 ,讨论 函数 g x 零点的个数. 题 15 用导数证 不等式 母题102. 已知函数 f x = 14 x 3- x2+ x . 当 x∈ -2,4 时,求证: x- 6≤ f x ≤ x . 母题103. 设函数 f x = e2x- alnx . 证明:当 a> 0时, f x ≥ 2a+ aln 2a . 母题104.已知函数 f x = ex2- xlnx . 求证:当 x> 0时, f x < xex+ 1e . 母题105. 已知函数 f x = aln x-1 + 2x-1 ,其中 a为正实数. 证明:当 x> 2时, f x < e x+ a-1 x- 2a . 题 16 恒成 与存 性问题 母题106. 若对任意的实数 x ,不等式 xa≤ ex-1+ x2+ 1恒成立,则实数 a的最大值是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 母题107. 若对任意的正实数 x ,不等式 xa≤ ex+ 2x2+ 2恒成立,则实数 a的最大值是 ( ) A. e+ 4 B. e+ 3 C. e+ 2 D. e+ 1 母题108. 若关于 x的不等式 me x x ≥ 6- 4x在 0,+∞ 上恒成立,则实数m的取值范围是 ( ) A. -∞,2e 1 2  B. -∞,2e- 1 2  C. 2e 1 2 ,+∞  D. 2e- 1 2 ,+∞  母题109. 已知函数 f x = lnx ,若对任意的 x1,x2∈ 0,+∞ ,都有 f x1 - f x2   x21-x22 > k x1x2+x22 恒成立,则实数 k的最大值是 ( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 母题110. 已知函数 f x = ax+ lnx a∈R  (1)求 f x 的单 区间； (2)设 g x = x2- 2x+ 2 ,若对任意 x1∈ 0,+∞ ,均存在 x2∈ 0,1 ,使得 f x1 < g x2 ,求 实数 a的取值范围. 题 17 取值 围 母题111. 已知函数 f x = ex-mx2- 2x . 若 x∈ [0, +∞)时, f x > e2 - 1恒成立,求m的取 值范围. 母题112. 已知函数 f x = x+ 1x - 2 . 若关于 x的不等式 f x ≥ alnx+ 2 e - 2恒成立,求实数 a的取值范围. 母题113. 已知函数 f x = aex-1- lnx+ lna ( e是自然对数的底). 若 f x ≥ 1在 0,+∞ 上恒成立,求正数 a的取值范围. 题 18 变形 元 法 母题114. 已知函数 f x = lnxx ,若 x1> x2> 0 ,求证: x1 f x1 -x2 f x2   x 2 1+x22 > 2x2 x1-x2 . 母题115. 已知函数 f x = x3+ klnx k∈R ,f x 为 f x 的导函数. ( 1 )当 k= 2时,求曲线 y= f x 在点 1,f 1  处的切线方程； ( 2 )当 k= 6时,求函数 g x = f x - f x + 9x - 1的单 区间和极值； (3) 当 k ≥-3 时,求证 : 对任意的 x 1,x 2 ∈ [1, +∞) ,且 x 1> x 2 ,有 f x1 + f x2  2 > f x1 - f x2  x1-x2 .