版块3 基本初等函数-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 三 基 等函数 题 1 函数相等 母题23. 判断下列各组中两个函数是否为同一函数. (1) f x = x2+ 2x- 1,g x = t2+ 2t- 1 ; (2) f x = x 2-1 x-1 ,g x = x+ 1； (3) f x = x ⋅ x+1 ,g x = x2+x ; (4) f x = 3-x + 1,g x = x-2, x≥3 -x+4, x<3  . 题 2 函数定义域 母题24. 函数 f x = lg 2-x  12+x-x2 + x-1 0 的定义域为 . 母题25. 已知函数 y= x2+2ax+1 的定义域为 R ,则实数 a的取值范围是 . 母题26. 已知函数 f x 的定义域为 (-1,1),则函数 g x = f x2 + f x-1 的定义域为 ( ) A. (-2,0) B. (-2,2) C. (0,2) D. - 12 ,0  题 3 函数解 式 母题27. 求下列函数的解析式: ( 1 )已知函数 y= f x 是一次函数,且 f x  2- 3f x = 4x2- 10x+ 4 ,求 f x ； ( 2 )已知 f x 是二次函数且满足 f 0 = 1,f x+1 - f x = 2x . 求 f x ； ( 3 )已知 f 2x+1 = 4x2+ 8x+ 3 ,求 f x ；( 4 )已知 f x+ 1x = x 2+ 1 x2 - 3 ,求 f x ； (5)已知 f x - 2f 1x = 3x+ 2 ,求 f x ; (6)已知对任意实数 x、y都有 f x+y - 2f y = x2+ 2xy- y2+ 3x- 3y ,求 f x ； (7)已知 f 1-x1+x = 1-x2 1+x2 ,求 f x 的解析式. (8)若 f x 是定义在 R上的奇函数,当 x< 0时, f x = x 2-x ,求函数 f x 的解析式. 题 4 定单 性 (单 区间) 母题28. 已知函数 f x = x2-4x-5 ,则该函数的单 递增区间为 ( ) A. (-∞,-1] B. (-∞,2] C. [2, +∞) D. [5, +∞) 题 5 断奇偶性 母题29. 已知 f x 是奇函数,且当 x< 0时, f x =-eax . 若 f ln2 = 8 ,则 a= ( ) A. 3 B. - 103 C. - 3 D. - 8 3 母题30. 若函数 f x = sinx ⋅ ln ax+ 1+9x2 的图象关于 y轴对称,则实数 a的值为 ( ) A. 3 B. ± 3 C. 9 D. ± 9 题 6 单 性 + 奇偶性解不等式 母题31. 已知偶函数 f x 在区间 [0, +∞)上单 递增,则满足 f 2x-1 < f 2 的 x的取值范围 是 ( ) A. - 12 , 2 3  B. - 1 2 , 3 2  C. - 1 2 , 1 3  D. 1 2 ,2  母题32. 已知函数 f x = x-1 ax+b 为偶函数,且在 0,+∞ 上单 递减,则 f 3-x < 0 的解集为 ( ) A. (2,4) B. -∞,2 ∪ 4,+∞  C. (-1,1) D. -∞,-1 ∪ 1,+∞  母题33. 已知函数 f x = x3+ 2x+ sinx,x∈ -1,1 ,则不等式 f x-1 + f 2x-1 > 0的解集 为 题 7 值问题 母题34. 已知定义在 R上的函数 f x 满足 f x = f x+5 ,当 x∈ [-2,0)时, f x =- x+2 2 , 当 x∈ [0,3)时, f x = x ,则 f 1 + f 2 +⋯+f 2021 = ( ) A. 809 B. 811 C. 1011 D. 1013 题 8 比较大 母题35. 已知定义在 R上的奇函数 f x 满足 f x+8 = f x ,关于 x= 2对称且在区间 0,2  上单 递增,则 ( ) A. f -25 < f 11 < f 80  B. f 80 < f 11 < f -25  C. f 11 < f 80 < f -25  D. f -25 < f 80 < f 11  题 9 图 交点问题 母题36. 已知函数 f x x∈R 满足 f -x = 2- f x ,若函数 y= x+1x 与 y= f x 图象的交 点为 x1,y1 , x2,y2 ,⋯ , xm,ym ,则 m i=1 xi+yi  = ( ) A. 0 B. m C. 2m D. 4m 母题37. 设函数 f x 是定义在 R上的偶函数,对任意 x∈R ,都有 f x+2 = f x-2 ,且当 x ∈ -2,0 时, f x = 12  x - 1 ,若在区间 (-2,6]内关于 x的方程 f x - loga x+2 = 0 a>1 有 3个不同的实数根,则 a的取值范围是 ( ) A. (1,2) B. 2,+∞  C. 1, 3 4  D. 3 4,2  题 10 离 数法 值 母题38. 函数 y= 5x-14x+2 ,x∈ -3,-1 的最小值为 题 11 单 性法 值 母题39. 函数 y= log 1 2 x+ 1 2x ,x∈ [1,2)的值域为 题 12 配方法 值 母题40. 函数 y= x2- 2x+ 3,x∈ [0,3)的值域为 题 13 式法 值 母题41. 函数 y= 2x 2+4x-7 x2+2x+3 的值域为 ( ) A. - 92 ,2     B. - 7 3 ,0  C. - 7 3 ,0    D. - 92 ,2  题 14 基 不等式法 值 母题42. 已知 x> 1 ,则 x+ 4x-1 的最小值为 题 15 元法 值 母题43. 函数 y= x+ 4+ 9-x2 的值域 题 16 数形结 法 值 母题44. 函数 y= x2+9+ x2-10x+29 的最小值为 . 母题45. 若不等式m+ -x2-2x≤ x+ 1对 x∈ -2,0 恒成立,则实数m的取值范围是 题 17 导数法 值 母题46. 函数 f x = e x x2-3 在 [2, +∞)上的最小值为 母题47. 当 x∈ -1,1 时,函数 f x = x 2 ex 的最大值是 题 18 数、对数的一 计算 母题48. 计算下列式子 (1) 0.027- 1 3 - 17  -2 + 2 79  1 2 - 2-1 0 ; (2) 54  - 15 × - 23  0 + 4 1 3 × 3 2- 45  2 5 - 2- 3 -1 母题49. 计算 log525+ log336- log34- log23 log49 + lg5+ lg3log32= 题 19 对 的比较大 母题50. 已知 a= 2 4 3 ,b= 4 2 5 ,c= 25 1 3 ,则 a,b,c的大小关系为 母题51. 若 a> b> 1,0< c< 1 ,则 ( ) A. ac< bc B. abc> bac C. alogbc< blogac D. logac< logbc 母题52. 已知 a= log20.2,b= log0.50.3,c= 0.50.2 ,则 a,b,c的大小关系为 ( ) A. b< c< a B. a< b< c C. a< c< b D. c< a< b 母题53. 设 x、y、z为正数,且 2x= 3y= 5z ,则 ( ) A. 2x< 3y< 5z B. 5z< 2x< 3y C. 3y< 5z< 2x D. 3y< 2x< 5z 题 20 法解抽 函数 母题54. 已知函数 f x 的定义域是 0,+∞ ,且满足 f xy = f x + f y ,f 12 = 1 ,如果对于 0< x< y ,都有 f x > f y ,则不等式 f -x + f 3-x ≥-2的解集为 题 21 图 变 母题55. 作出下列函数的图象. (1) y= 2x+2 (2) y= x+2x-1 (3) y= 12  x  (4) y= log2x-1  母题56. 下列函数中,其图象与函数 y= lnx的图象关于直线 x= 1对称的是 ( ) A. y= ln 1-x  B. y= ln 2-x  C. y= ln 1+x  D. y= ln 2+x  题 22“知式 图” 母题57. 函数 f x = sinx+x cosx+x2 在 -π,π 的图象大致为 ( ) A. B. C . D. 母题58. 函数 y= 2x 3 2x+2-x 在 -6,6 的图象大致为 ( ) A B. C . D. 母题59. 现有四个函数:① y= x sinx  ,② y= xcos x  ,③ y= x 2 ex ,④ y= xln x  的部分图象如 下,但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是 ( ) D. ③④②① A. ①④②③ B. ①④③② C. ③②④① 题 23 函数图 的交点问题 母题60. 已知定义在 R上的奇函数 f x 满足 f x-4 =-f x ,且在区间 0,2 上是增函数,若 方程 f x =m m>0 在区间 -8,8 上有四个不同的根,则 x1+ x2+ x3+ x4= 母题61. 已知定义在 R上的函数 y= f x 的周期为 2,当 x∈ -1,1 时, f x = x2 ,那么函数 y = f x 的图象与 y= log3 x  的图象的交点个数为 母题62. 已知函数 f x = cosx+ ex- 2 x<0 与 g x = cosx+ ln x+m 图象上存在关于 y轴 对称的点,则m的取值范围是 ( ) A. -∞, 1e  B. -∞, 1 e  C. -∞, e  D. -∞,e  题 24 断函数零点所 区间 母题63. 函数 f x = 1- xlog2x的零点所在区间是 ( ) A. 14 , 1 2  B. 1 2 ,1  C. (1,2) D. (2,3) 母题64. 若 a< b< c ,则函数 f x = x-a x-b + x-b ⋅ x-c + x-c x-a 的两个零 点分别位于区间 ( ) A. (a, b)和 (b, c)内 B. -∞,a 和 (a, b)内 C. (b, c)和 c,+∞ 内 D. -∞,a 和 c,+∞ 内 题 25 断函数零点个数 母题65. 已知函数 f x 是定义在 R上的奇函数,当 x> 0时, f x = lnx- x+ 2 ,试判断 f x  的零点个数. 母题66. 已知函数 f x = x-1x-2 与 g x = 1- sinπx ,则函数 F x = f x - g x 在区间 -2,2)∪(2,6 上所有零点的和为 ( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 题 26 参数的取值 围 母题67. 已知函数 f x = x2+ 4a-3 x+3a,x<0 loga x+1 +1,x≥0  a>0且a≠1 在 R上单 递减,且关于 x 的方程 ∣ f x ∣= 2- x恰有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是 母题68. 已知函数 f x = 2 x,0≤x≤1, 1 x ,x>1.  若关于 x的方程 f x =- 1 4 x+ a a∈R 恰有两个互 异的实数解,则 a的取值范围为 ( ) A. 54 , 9 4     B. 5 4 , 9 4  C. 5 4 , 9 4 ∪{1} D. 5 4 , 9 4    ∪{1} 母题69. 已知函数 f x = xsinx,0<x<π x,x≥π ,g x = f x -kx k∈R  ① 当 k= 1时,函数 g x 有 个零点； ② 若函数 g x 有三个零点,则 k的取值范围是 题 27 嵌套函数零点问题 母题70. 已知函数 f x = x+1≤0, log2x  则函数 g x = f f x  - 1 2 的零点个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 母题71. 已知函数 f x = ln x  x≠0  0 x=0   ,则方程 f2 x - f x = 0的不相等的实根个数为 . 母题72.已知函数 f x = x - 1 ,关于 x的方程 f2 x - f x  + k= 0 ,下列四个结论中正确的 有 ( ) ① 存在实数 k ,使得方程恰有 2个不同的实根； ②存在实数 k ,使得方程恰有 4个不同的实根； ③存在实数 k ,使得方程恰有 5个不同的实根； ④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8个不同的实根. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 母题73. 函数 f x = lnx, x>0  1 2  x , x≤0   ,则函数 y= 2 f x   2- 3f x + 1的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 母题74. 已知函数 f x = e x-1 ,x>0 -x2-2x+1,x≤0  ,若方程 f2 x + bf x + 2= 0有 8个相异实根,则 实数 b的取值范围 ( ) A. (-4, - 2) B. -4,-2 2  C. (-3, - 2) D. -3,-2 2  母题75. 定义域为 R的函数 f x = 1 ∣x-1 x≠1  1 x=1   ,若关于 x的方程 f2 x + bf x + 1 2 = 0有 5个不同的根 x1 、x2 、x3 、x4 、x5 ,则 x21+ x22+ x23+ x24+ x25 等于 题 28 题中的函数模 母题76. Logistic模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I t ( t的单位:天)的 Logistic模型: I t = K 1+e-0.23 t-52  其中 K 为最大确诊病例数. 当 I t* = 0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则 t* 约为 ( ) ( ln19≈ 3 ) A. 60 B. 65 C. 66 D. 69 母题77. 基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染 者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: I t = ert 描述累计感染病例数 I t 随时间 t (单位:天)的变化规律,指数 增长率 r与 R0,T 近似满足 R0 = 1+ rT . 有学者基于已有数据估计出 R0= 3.28,T= 6 . 据 此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 3倍需要的时间约为 ln2≈0.69  ( ) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.7天 D. 3.6天 母题78. 如图,假定两点 P , Q以相同的初速度运动. 点 Q沿直线 CD做匀速运动, CQ= x；点 P沿线段 AB (长度为 107 单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 PB=y . 令 P与 Q同时分别从 A,C 出发,那么,定义 x为 y的纳皮尔对数,用现在的数学 符号表示 x与 y的对应关系是 y= 107 1e  x 107 ,其中 e为自然对数的底,当点 P从线段 AB 的三等分点移动到中点时,经过的时间为 版 三 基 等函数 题 1 函数相等 母题23. 判断下列各组中两个函数是否为同一函数. (1) f x = x2+ 2x- 1,g x = t2+ 2t- 1 ; (2) f x = x 2-1 x-1 ,g x = x+ 1； (3) f x = x ⋅ x+1 ,g x = x2+x ; (4) f x = 3-x + 1,g x = x-2, x≥3 -x+4, x<3  . 【解析】(1) f x 与 g x 只是表示自变量的字母不同,是同一函数; (2) f x 需满足 x≠ 1,g x 中 x可以等于 1, ∴不是同一函数; 3 f x 的定义域为 [0, +∞),g x 的定义域为 -∞,-1]∪[0,+∞ , ∴不是同一函数; (4) f x = 3-x + 1= x-2 x≥3 -x+4 x<3  ,显然 f x = g x ,是同一函数. 题 2 函数定义域 母题24. 函数 f x = lg 2-x  12+x-x2 + x-1 0 的定义域为 . 【解析】∵函数 f x = lg 2-x  12+x-x2 + x-1 0 ,∴ 2-x>0 12+x-x2>0, x-1≠0      解得 x<2 -3<x<4, x≠1      即 -3< x< 2且 x≠ 1 ; ∴函数 f x 的定义域为 {x ∣-3< x< 2且 x≠ 1} . 【答案】{x ∣-3< x< 2且 x≠ 1} . 母题25. 已知函数 y= x2+2ax+1 的定义域为 R ,则实数 a的取值范围是 . 【解析】∵函数 y= x2+2ax+1 的定义域为 R , 故 △= 4a2- 4≤ 0 ,解得: -1≤ a≤ 1 , 【答案】 -1,1 . 母题26. 已知函数 f x 的定义域为 (-1,1),则函数 g x = f x2 + f x-1 的定义域为 ( ) A. (-2,0) B. (-2,2) C. (0,2) D. - 12 ,0  【解析】∵函数 f x 的定义域为 (-1,1),∴ -1< x2 <1 -1<x-1<1 , 解得: 0< x< 2 , 【答案】C . 题 3 函数解 式 母题27. 求下列函数的解析式: ( 1 )已知函数 y= f x 是一次函数,且 f x  2- 3f x = 4x2- 10x+ 4 ,求 f x ； ( 2 )已知 f x 是二次函数且满足 f 0 = 1,f x+1 - f x = 2x . 求 f x ； ( 3 )已知 f 2x+1 = 4x2+ 8x+ 3 ,求 f x ；( 4 )已知 f x+ 1x = x 2+ 1 x2 - 3 ,求 f x ； (5)已知 f x - 2f 1x = 3x+ 2 ,求 f x ; (6)已知对任意实数 x、y都有 f x+y - 2f y = x2+ 2xy- y2+ 3x- 3y ,求 f x ； (7)已知 f 1-x1+x = 1-x2 1+x2 ,求 f x 的解析式. (8)若 f x 是定义在 R上的奇函数,当 x< 0时, f x = x 2-x ,求函数 f x 的解析式. 【解析】(1)因为函数 y= f x 是一次函数, 设 f x = ax+ b a≠0 , 因为 f x  2- 3f x = 4x2- 10x+ 4 , 所以 ax+b 2- 3 ax+b = 4x2- 10x+ 4 , 故 a2x2+ 2ab-3a x+ b2- 3b= 4x2- 10x+ 4 , 则 a2=4 2ab-3a=-10, b2-3b=4      ,解得 a=-2,b= 4或 a= 2,b=-1 , 所以 f x =-2x+ 4或 f x = 2x- 1 . ( 2 )设二次函数的解析式为 f x = ax2+ bx+ c a≠0 , 由 f 0 = 1 ,可得 c= 1 , 故 f x = ax2+ bx+ 1 , 因为 f x+1 - f x = 2x , 则 a x+1 2+ b x+1 + 1- ax2+bx+1 = 2x ,即 2ax+ a+ b= 2x , 所以 2a=2 a+b=0  ,解得 a= 1,b=-1 , 所以 f x = x2- x+ 1 . (3)设 t= 2x+ 1 ,则 x= t-12 , 则 f t = 4× t-12  2 + 8× t-12 + 3= t 2+ 2t , 所以 f x = x2+ 2x . (4)因为 f x+ 1x = x 2+ 1 x2 - 3= x+ 1x  2 - 5 , 所以 f x = x2- 5 x≤-2或x≥2 . (5)由 f x - 2f 1x = 3x+ 2①, 则 f 1x - 2f x = 3 x + 2②, 由①②可得, f x =-x- 2x - 2 . (6)令 x= y= 0 ,可得 f 0 = 2f 0 ,则 f 0 = 0 , 令 y= 0 ,可得 f x = f 0 + x2+ 3x ,即 f x = x2+ 3x . (7)令 t= 1-x1+x ,则 x= 1-t t+1 t≠-1 , 所以 f t = 1- 1-tt+1  2 1+ 1-tt+1  2 = 2t t2+1 , 故 f x = 2x x2+1 x≠-1 . (8)由奇函数的性质可得 f 0 = 0 , 当 x> 0时, -x< 0, ∴ f -x =-x 2+x , ∴-f x = f -x =-x 2+x , 解得 f x = x 2+x  综上可得 f x = x 2-x x<0 0x=0 x 2+x x>0      题 4 定单 性 (单 区间) 母题28. 已知函数 f x = x2-4x-5 ,则该函数的单 递增区间为 ( ) A. (-∞,-1] B. (-∞,2] C. [2, +∞) D. [5, +∞) 【解析】由 x2- 4x- 5≥ 0 ,解得 x≤-1或 x≥ 5 , 则原函数的定义域为 -∞,-1]∪[5,+∞ , 函数 t= x2- 4x- 5的图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为 x= 2 , 则函数 t= x2- 4x- 5在 [5, +∞)上单 递增, 而 y= t 1 2 是定义域内的增函数, ∴函数 f x = x2-4x-5 的单 递增区间为 [5, +∞) . 【答案】D . 题 5 断奇偶性 母题29. 已知 f x 是奇函数,且当 x< 0时, f x =-eax . 若 f ln2 = 8 ,则 a= ( ) A. 3 B. - 103 C. - 3 D. - 8 3 【解析】∵ f x 是奇函数,且当 x< 0时, f x =-eax . 若 f ln2 = 8 , ∴ f -ln2 =-f ln2 =-8 , 则 -e-aln2=-8 , 得 e-aln2= 8 , 得 ln8=-aln2 , 即 3ln2=-aln2 , 得 -a= 3 ,得 a=-3 , 【答案】C . 母题30. 若函数 f x = sinx ⋅ ln ax+ 1+9x2 的图象关于 y轴对称,则实数 a的值为 ( ) A. 3 B. ± 3 C. 9 D. ± 9 【解析】 f x = sinx ⋅ ln ax+ 1+9x2 的图象关于 y轴对称,即为偶函数, 则 f -x = f x 恒成立, ∴ sin -x ⋅ ln -ax+ 1+9x2 = sinx ⋅ ln ax+ 1+9x2 , ∴-sinx ⋅ ln -ax+ 1+9x2 = sinx ⋅ ln ax+ 1+9x2 , ∴ ln -ax+ 1+9x2 + ln ax+ 1+9x2 = 0 , ∴ ax+ 1+9x2 -ax+ 1+9x2 = 1 , 整理可得, a2= 9 ,即 a=±3 【答案】B . 题 6 单 性 + 奇偶性解不等式 母题31. 已知偶函数 f x 在区间 [0, +∞)上单 递增,则满足 f 2x-1 < f 2 的 x的取值范围 是 ( ) A. - 12 , 2 3  B. - 1 2 , 3 2  C. - 1 2 , 1 3  D. 1 2 ,2  【解析】根据题意, f x 是偶函数,则 f 2x-1 = f 2x-1  , 又由函数 f x 在区间 [0, +∞)上单 递增, 则 f 2x-1 < f 2 ⇒ f 2x-1  < f 2 ⇒ 2x-1 < 2 , 即 -2< 2x- 1< 2 , 解可得 - 12 < x< 3 2 ; 即 - 12 , 3 2 ; 【答案】B . 母题32. 已知函数 f x = x-1 ax+b 为偶函数,且在 0,+∞ 上单 递减,则 f 3-x < 0 的解集为 ( ) A. (2,4) B. -∞,2 ∪ 4,+∞  C. (-1,1) D. -∞,-1 ∪ 1,+∞  【解析】∵ f x = ax2+ b-a x- b为偶函数,所以 b- a= 0 ,即 b= a, ∴ f x = ax2- a , 由 f x 在 0,+∞ 上单 递减,所以 a< 0 , ∴ f 3-x = a 3-x 2- a< 0 ,可化为 3-x 2- 1> 0 ,即 x2- 6x+ 8> 0 , 解得 x< 2或 x> 4 【答案】B . 母题33. 已知函数 f x = x3+ 2x+ sinx,x∈ -1,1 ,则不等式 f x-1 + f 2x-1 > 0的解集 为 【解析】函数 f x = x3+ 2x+ sinx,x∈ -1,1 是奇函数, 且 f x = 3x2+ 2+ cosx> 0在 x∈ -1,1 上恒成立, 则 f x 在 -1,1 上为增函数, 由 f x-1 + f 2x-1 > 0 ,得 f x-1 >-f 2x-1 = f 1-2x , ∴ -1≤x-1≤1 -1≤1-2x≤1,解得: 23 <x≤1. x-1>1-2x      ∴不等式 f x-1 + f 2x-1 > 0的解集为 23 ,1 . 【答案】 23 ,1 . 题 7 值问题 母题34. 已知定义在 R上的函数 f x 满足 f x = f x+5 ,当 x∈ [-2,0)时, f x =- x+2 2 , 当 x∈ [0,3)时, f x = x ,则 f 1 + f 2 +⋯+f 2021 = ( ) A. 809 B. 811 C. 1011 D. 1013 【解析】由 f x = f x+5 可知 f x 周期为 5, 当 x∈ [-2,0)时, f x =- x+2 2 ,当 x∈ [0,3)时, f x = x , 可知 f -2 = 0,f -1 =-1,f 0 = 0,f 1 = 1,f 2 = 2 , ∴ f -2 + f -1 + f 0 + f 1 + f 2 = 2 , ∴每个周期:f x + f x+1 + f x+2 + f x+3 + f x+4 = 2, ∴ f 1 + f 2 +⋯+f 2021 = f 1 + 2× 404= 809 . 【答案】A . 题 8 比较大 母题35. 已知定义在 R上的奇函数 f x 满足 f x+8 = f x ,关于 x= 2对称且在区间 0,2  上单 递增,则 ( ) A. f -25 < f 11 < f 80  B. f 80 < f 11 < f -25  C. f 11 < f 80 < f -25  D. f -25 < f 80 < f 11  【解析】因为 f x 满足 f x+8 = f x , 所以 f x 的周期为 8, 则 f -25 = f -1 ,f 80 = f 0 ,f 11 = f 3 , 又因为 f x 为 R上的奇函数,且关于 x= 2对称, 所以 f 3 = f 1 , 又 f x 在区间 0,2 上单 递增, 则 f x 在 -2,0 上也是单 递增, 所以 f x 在 -2,2 上单 递增, 故 f -1 < f 0 < f 1 , 所以 f -25 < f 80 < f 11 . 【答案】D . 题 9 图 交点问题 母题36. 已知函数 f x x∈R 满足 f -x = 2- f x ,若函数 y= x+1x 与 y= f x 图象的交 点为 x1,y1 , x2,y2 ,⋯ , xm,ym ,则 m i=1 xi+yi  = ( ) A. 0 B. m C. 2m D. 4m 【解析】函数 f x x∈R 满足 f -x = 2- f x , 即为 f x + f -x = 2 , 可得 f x 关于点 (0,1)对称, 函数 y= x+1x ,即 y= 1+ 1 x 的图象关于点 (0,1)对称, 即有 x1,y1 为交点,即有 -x1,2-y1 也为交点, x2,y2 为交点,即有 -x2,2-y2 也为交点, ... 则有 m i=1 xi+yi  = x1+y1 + x2+y2 +⋯+ xm+ym  = 12 x1+y1 + -x1+2-y1 + x2+y2 + -x2+2-y2 +⋯+ xm+ym + -xm+2-ym   =m . 【答案】B . 母题37. 设函数 f x 是定义在 R上的偶函数,对任意 x∈R ,都有 f x+2 = f x-2 ,且当 x ∈ -2,0 时, f x = 12  x - 1 ,若在区间 (-2,6]内关于 x的方程 f x - loga x+2 = 0 a>1 有 3个不同的实数根,则 a的取值范围是 ( ) A. (1,2) B. 2,+∞  C. 1, 3 4  D. 3 4,2  【解析】函数 f x 是定义在 R上的偶函数,对任意 x∈R , 都有 f x+2 = f x-2 , ∴ f x-2 = f x+2 = f 2-x ,即 f x = f x+4 , 即函数的周期是 4 . 当 x∈ 0,2 时, -x∈ -2,0 ,此时 f -x = 12  -x - 1 = f x ,即 f x = 2x- 1 , 且当 x∈ -2,0 时, f x = 12  x - 1 . 分别作出函数 f x (图中黑色曲线)和 y= loga x+2 (图中红色曲线)图象如图: 由在区间 (-2,6]内关于 x的方程 f x - loga x+2 = 0 a>1 有 3个不同的实数根, 可得函数 f x 和 y= loga x+2 图象有 3个交点, 故有 loga4<3 loga8>3,求得 3 4<a<2, a>1      【答案】D . 题 10 离 数法 值 母题38. 函数 y= 5x-14x+2 ,x∈ -3,-1 的 小值为 【解析】函数 y= 5x-14x+2 , 令 4x+ 2= t ,由 -3≤ x≤-1 ,可得 -10≤ t≤-2 , 则 x= t-24 , 可得 y= 5 t-24 -1 t = 5 4 - 7 2t 在 -10,-2 递增, 可得函数 y的 小值为 54 + 7 20 = 8 5 . 【答案】 85 . 题 11 单 性法 值 母题39. 函数 y= log 1 2 x+ 1 2x ,x∈ [1,2)的值域为 【答案】 - 34 , 1 2  【解析】函数 y= log 1 2 x+ 1 2x 在 [1,2)上单 递减, 当 x= 1时, y= 12 ,当 x= 2时, y=-1+ 1 4 =- 3 4 , ∴- 34 < y≤ 1 2 , ∴函数的值域为 - 34 , 1 2 . 题 12 配方法 值 母题40. 函数 y= x2- 2x+ 3,x∈ [0,3)的值域为 【答案】[2,6]. 【解析】y= x2- 2x+ 3= x-1 2+ 2 , 由 x∈ [0,3) , 再结合函数的图象 (如图①所示), 可得函数的值域为 [2,6). ① ② 题 13 式法 值 母题41. 函数 y= 2x 2+4x-7 x2+2x+3 的值域为 ( ) A. - 92 ,2     B. - 7 3 ,0  C. - 7 3 ,0    D. - 92 ,2  【答案】D 【解析】由 y= 2x 2+4x-7 x2+2x+3 可得:x2y+ 2xy+ 3y= 2x2+ 4x- 7 ∴ y-2 x2+ 2y-4 x+ 3y+ 7= 0 ∵ x2+ 2x+ 3= x+1 2+ 2> 0  ∴函数的定义域为 R ∴ y的取值只需让方程有解即可 当 y= 2时, 13= 0不成立,故舍去 当 y≠ 2时, Δ= 2y-4 2- 4 y-2  3y+7 ≥ 0 即: 2y+9 y-2 ≤ 0 ∴- 92 ≤ y≤ 2 综上所述:函数的值域为 - 92 ,2    题 14 基 不等式法 值 母题42. 已知 x> 1 ,则 x+ 4x-1 的 小值为 【答案】5 【解析】由题意,因为 x> 1 ,则 x- 1> 0 , 所以 x+ 4x-1 = x- 1+ 4 x-1 + 1≥ 2 x-1 ⋅ 4 x-1 + 1= 5 , 当且仅当 x- 1= 4x-1 时,即 x= 3时取等号,所以 x+ 4 x-1 的 小值为 5 . 题 15 元法 值 母题43. 函数 y= x+ 4+ 9-x2 的值域 【答案】 1,3 2+4  【解析】令 x= 3cosθ,θ∈ 0,π ,则 y= 3cosθ+ 4+ 3sinθ= 3 2sin θ+ π4 + 4 . ∵ 0≤ θ≤ π, ∴ π4 ≤ θ+ π 4 ≤ 5π 4 , ∴- 2 2 ≤ sin θ+ π 4 ≤ 1 , ∴ 1≤ y≤ 3 2+ 4, ∴函数的值域为 1,3 2+4 . 题 16 数形结 法 值 母题44. 函数 y= x2+9+ x2-10x+29 的 小值为 . 【解析】y= x-0 2+ 3-0 2 + x-5 2+ 0+2 2 可以看作是 x轴上的动点 P x,0 到两 定点 A (0,3)、B 5,-2 的距离之和,由“两点之间线段 短”可知,当 A、P、B 三点共线即 x= 3时 ymin= AB = 5 2 . ymin= 5 2 . 母题45. 若不等式m+ -x2-2x≤ x+ 1对 x∈ -2,0 恒成立,则实数m的取值范围是 【解析】不等式即为 -x2-2x≤ x+ 1-m . 令 f x = -x2-2x= - x+1 2+1 ,g x = x+ 1-m . 则在同一坐标系内 f x 图象在 g x 图象下方. 如图所示:, f x 图象是以 (-1,0)为圆心,以 1为半径的半圆 x轴上方部分 ,g x 图象是一 组随m变化的平行直线. 当直线和半圆相切时,由 d= r得, -m  2 = 1 ,解得m=- 2 ,当直线向上平移时,也满足条 件. 所以实数m的取值范围是m≤- 2 . 【答案】m≤- 2 . 题 17 导数法 值 母题46. 函数 f x = e x x2-3 在 [2, +∞)上的 小值为 【答案】 e 3 6 【解析】依题意 f  x = e x x2-3 2 x2-2x-3 = e x x2-3 2 x-3 x+1 ,故函数在区间 (2,3) 上单 递减,在区间 3,+∞ 上单 递增,故函数在 x= 3处取得极小值也即是 小值,且 小值为 f 3 = e 3 32-3 = e 3 6 . 母题47. 当 x∈ -1,1 时,函数 f x = x 2 ex 的 大值是 【答案】e 【解析】因为 f x = 2x-x 2 ex ,x∈ -1,1  所以在区间 [-1,0)上 f x < 0 ,函数 f x 单 递减, 在区间 0,1 上 f x > 0 ,函数 f x 单 递增, 因为 f -1 = e,f 1 = 1e ,所以 大值 e . 故答案为: e 题 18 数、对数的一 计算 母题48. 计算下列式子 (1) 0.027- 1 3 - 17  -2 + 2 79  1 2 - 2-1 0 ; (2) 54  - 15 × - 23  0 + 4 1 3 × 3 2- 45  2 5 - 2- 3 -1 【答案】(1) -45; 2 - 3 ; 【解析】 1 0.027 - 13 - 17  -2 + 2 79  1 2 - 2-1 0= 103 - 49+ 5 3 - 1=-45 (2)原式 = 45  1 5 + 2 2 3 × 2 1 3 - 45  1 5 - 1 2- 3 = 2 2 3 + 1 3 - 2+ 3 = 2- 2- 3=- 3 . 母题49. 计算 log525+ log336- log34- log23 log49 + lg5+ lg3log32= 【答案】4 【解析】由对数的运算及换底公式, 展开化简可得 N= log525+ log336- log34- log23 log49 + lg5+ lg3log32 = log552+ log34+log39 - log34- log23 1 2 × log23 2 + lg5+ lg3× log32 = 2+ log332- 1+ lg5+ lg3× lg2 lg3 = 2+ 2- 1+ lg 5×2 = 2+ 2- 1+ 1= 4 . 题 19 对 的比较大 母题50. 已知 a= 2 4 3 ,b= 4 2 5 ,c= 25 1 3 ,则 a,b,c的大小关系为 【解析】由指数函数的性质可知, 底数大于 1 , 增函数, 指数越大, 其函数值越大. 由题意: a= 2 4 3 ,b= 4 2 5 = 2 4 5 ,从而 a> b . c3= 25 1 3  3 = 25 a3= 2 4 3  3 = 16从而 c> a . 【答案】c> a> b . 母题51. 若 a> b> 1,0< c< 1 ,则 ( ) A. ac< bc B. abc> bac C. alogbc< blogac D. logac< logbc 【解析】因为 0< c< 1 ,所以函数 y= xc 在 0,+∞ 上单 递增, 因为 a> b> 1 ,所以 ac> bc ,故 A错误； 因为 0< c< 1 ,所以 -1< c- 1< 0 ,所以函数 y= xc-1 在 0,+∞ 上单 递减, 因为 a> b> 1 ,所以 ac-1< bc-1 ,即 abc> bac ,故 B正确； 因为 0< c< 1 ,所以 y= logcx在 0,+∞ 上单 递减, 因为 a> b> 1 ,所以 logca< logcb< 0 ,即 1logac < 1logbc < 0 ,所以 0> logac> logbc ,故 D错误; 因为 0<-logac<-logbc ,所以 -blogac<-alogbc ,所以 alogbc< blogac ,故 C 正确. 【答案】BC . 母题52. 已知 a= log20.2,b= log0.50.3,c= 0.50.2 ,则 a,b,c的大小关系为 ( ) A. b< c< a B. a< b< c C. a< c< b D. c< a< b 【解析】∵ log20.2< log21= 0, ∴ a< 0 , ∵ log0.50.3> log0.50.5= 1, ∴ b> 1 , ∵ 0< 0.50.2< 0.50= 1, ∴ 0< c< 1 , ∴ a< c< b , 【答案】C . 母题53. 设 x、y、z为正数,且 2x= 3y= 5z ,则 ( ) A. 2x< 3y< 5z B. 5z< 2x< 3y C. 3y< 5z< 2x D. 3y< 2x< 5z 【解析】x、y、z为正数, 令 2x= 3y= 5z= k> 1 . lgk> 0 . 则 x= lgklg2 ,y= lgk lg3 ,z= lgk lg5 . ∴ 3y= lgk lg 3 3 ,2x= lgk lg 2 ,5z= lgk lg 5 5 . ∵ 3 3= 6 9> 6 8= 2 , 2= 10 32> 10 25= 5 5 . ∴ lg 3 3> lg 2> lg 5 5> 0 . ∴ 3y< 2x< 5z . 另 x、y、z为正数, 令 2x= 3y= 5z= k> 1 . lgk> 0 . 则 x= lgklg2 ,y= lgk lg3 ,z= lgk lg5 . ∴ 2x3y = 2 3 × lg3 lg2 = lg9 lg8 > 1 ,可得 2x> 3y , 5z 2x = 5 2 × lg2 lg5 = lg25 lg52 > 1 . 可得 5z> 2x . 综上可得: 5z> 2x> 3y . 【答案】D . 题 20 法解抽 函数 母题54. 已知函数 f x 的定义域是 0,+∞ ,且满足 f xy = f x + f y ,f 12 = 1 ,如果对于 0< x< y ,都有 f x > f y ,则不等式 f -x + f 3-x ≥-2的解集为 【解析】解 1 ∵ f xy = f x + f y  ∴令 x= y= 1得 f 1 = f 1 + f 1 , ∴ f 1 = 0 再令 x= 2,y= 12 , ∴ f 1 = f 2 + f 12 = 0 , ∴ f 2 =-1 令 x= y= 2 , ∴令 x= y= 2得 f 4 = f 2 + f 2 =-2 , ∵对于 0< x< y ,都有 f x > f y . ∴函数在 0,+∞ 减函数, ∵ f -x + f 3-x ≥-2 . ∴ f x + f x-3 ≥ f 4 , ∴ f x x-3  ≥ f 4 , ∴ -x>0 3-x>0 x x-3 ≤4      , 解得 -1≤ x< 0 ∴原不等式的解集为 [-1,0) , 【答案】[-1,0) . 题 21 图 变 母题55. 作出下列函数的图象. (1) y= 2x+2 (2) y= x+2x-1 (3) y= 12  x  (4) y= log2x-1  【解析】(1) y= 2x+2 的图象为 (2) y= x+2x-1 = 1+ 3 x-1 ,图象为: (3) y= 12  x  图象为: (4) y= log2x-1 = log2x-1, x≥2 -log2x+1, 0<x<2  ,图象为: 母题56. 下列函数中,其图象与函数 y= lnx的图象关于直线 x= 1对称的是 ( ) A. y= ln 1-x  B. y= ln 2-x  C. y= ln 1+x  D. y= ln 2+x  【解析】首先根据函数 y= lnx的图象, 则:函数 y= lnx的图象与 y= ln -x 的图象关于 y轴对称. 由于函数 y= lnx的图象关于直线 x= 1对称. 则:把函数 y= ln -x 的图象向右平移 2个单位即可得到: y= ln 2-x . 即所求得解析式为: y= ln 2-x . 【答案】B . 题 22“知式 图” 母题57. 函数 f x = sinx+x cosx+x2 在 -π,π 的图象大致为 ( ) A. B. C . D. 【解析】∵ f x = sinx+x cosx+x2 ,x∈ -π,π , ∴ f -x = -sinx-x cos -x +x2 =- sinx+x cosx+x2 =-f x , ∴ f x 为 -π,π 上的奇函数,因此排除 A ; 又 f π = sinπ+π cosπ+π2 = π -1+π2 > 0 ,因此排除 B,C ； 【答案】D . 母题58. 函数 y= 2x 3 2x+2-x 在 -6,6 的图象大致为 ( ) A B. C . D. 【解析】由 y= f x = 2x 3 2x+2-x 在 -6,6 ,知 f -x = 2 -x 3 2-x+2x =- 2x 3 2x+2-x =-f x , ∴ f x 是 -6,6 上的奇函数,因此排除 C 又 f 4 = 2 11 28+1 > 7 ,因此排除 A,D . 【答案】B . 母题59. 现有四个函数:① y= x sinx  ,② y= xcos x  ,③ y= x 2 ex ,④ y= xln x  的部分图象如 下,但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是 ( ) D. ③④②① A. ①④②③ B. ①④③② C. ③②④① 【解析】根据题意,依次分析四个函数的图象: ① y= x sinx  是奇函数,图象关于原点对称,当 x> 0时, y≥ 0 ,对应第 4个图象, ② y= xcos x  是奇函数, f 1 = cos1> 0 ,对应第 2个图象, ③ y= x 2 ex >≥ 0恒成立,对应第 1个图象, ④ y= xln x  的定义域是 {x ∣ x≠ 0} ,函数为奇函数,由 y= xln x  = 0 ,得 ln x  = 0 ,得 x  = 1 ,即 x= ±1 ,即函数只有两个零点,对应第 3个图象, 则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②④①； 【答案】C . 题 23 函数图 的交点问题 母题60. 已知定义在 R上的奇函数 f x 满足 f x-4 =-f x ,且在区间 0,2 上是增函数,若 方程 f x =m m>0 在区间 -8,8 上有四个不同的根,则 x1+ x2+ x3+ x4= 【解析】定义在 R上的奇函数 f x ,f 0 = 0 ,在区间 0,2 上是增函数, f x-4 =-f x ,可得周期 T= 8 ,且关于直线 x= 2对称, 作出满足题意的图象, 根据图象,可得 x1+ x2=-12 , x3+ x4= 4, ∴ x1+ x2+ x3+ x4=-8 , 【答案】-8. 母题61. 已知定义在 R上的函数 y= f x 的周期为 2,当 x∈ -1,1 时, f x = x2 ,那么函数 y = f x 的图象与 y= log3 x  的图象的交点个数为 【解析】∵函数 y= f x 的周期为 2,当 x∈ -1,1 时, f x = x2 , ∴ f 3 = f 1 = 1 , 当 x= 3时,函数 y= log3 x = y= log33= 1 , 作出函数 f x 和 y= log3 x  的图象如图: 由图象可知两个函数的图象交点为 4个, 【答案】4. 母题62. 已知函数 f x = cosx+ ex- 2 x<0 与 g x = cosx+ ln x+m 图象上存在关于 y轴 对称的点,则m的取值范围是 ( ) A. -∞, 1e  B. -∞, 1 e  C. -∞, e  D. -∞,e  【解析】由题意知,方程 f -x - g x = 0在 0,+∞ 上有解, 即 e-x- ln x+m - 2= 0在 0,+∞ 上有解, 即函数 y= e-x 与 y= ln x+m + 2在 0,+∞ 上有交点, 则 lnm< 1- 2或m≤ 0 , 即m< 1e , 则m的取值范围是: -∞, 1e . 【答案】A . 题 24 断函数零点所 区间 母题63. 函数 f x = 1- xlog2x的零点所在区间是 ( ) A. 14 , 1 2  B. 1 2 ,1  C. (1,2) D. (2,3) 【解析】∵函数 f x = 1- xlog2x,f 1 = 1- 0= 1> 0,f 2 = 1- 2=-1< 0 , 根据函数零点的判定定理可得 函数 f x = 1- xlog2x的零点所在区间是 (1,2), 【答案】C . 母题64. 若 a< b< c ,则函数 f x = x-a x-b + x-b ⋅ x-c + x-c x-a 的两个零 点分别位于区间 ( ) A. (a, b)和 (b, c)内 B. -∞,a 和 (a, b)内 C. (b, c)和 c,+∞ 内 D. -∞,a 和 c,+∞ 内 【解析】∵ a < b < c , ∴ f a = a-b a-c > 0 , f b = b-c  b-a < 0 , f c = c-a  c-b > 0 , 由函数零点存在判定定理可知:在区间 a,b , b,c 内分别存在一个零点; 又函数 f x 是二次函数, 多有两个零点, 因此函数 f x 的两个零点分别位于区间 a,b , b,c 内. 【答案】A . 题 25 断函数零点个数 母题65. 已知函数 f x 是定义在 R上的奇函数,当 x> 0时, f x = lnx- x+ 2 ,试判断 f x  的零点个数. 【解析】函数 f x 是定义在 R上的奇函数,所以 f 0 = 0.x= 0是函数的零点, 当 x> 0时, f x = lnx- x+ 2 , ∴ f x = 1x - 1,x∈ 0,1 时, f  x > 0 ,函数是增函数, x∈ 1,+∞ 时函数是减函数, x= 1时,函数取得 大值, f 1 = 0- 1+ 2= 1> 0,x= e2 时, f e2 = 2- e2+ 2< 0 , 所以 x> 0时,函数有 2个零点, 所以 f x 的零点个数 5个. 母题66. 已知函数 f x = x-1x-2 与 g x = 1- sinπx ,则函数 F x = f x - g x 在区间 -2,2)∪(2,6 上所有零点的和为 ( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【解析】 函数 g x = 1- sinπx的图象的对称点为 k,1 , k∈Z  f x = x-1x-2 = 1+ 1 x-2 的图象关于 (2,1)点对称, 函数 f x = x-1x-2 与 g x = 1- sinπx的图象都关于点 (2,1)点对称, 由图知:函数 f x = x-1x-2 与 g x = 1- sinπx的图象在 (2,6]上 4个交点, 在区间 -2,2 ∪ (2,6]上 共有 8个交点,对应每两关于点 (2,1)对称的交点横坐标的和为 4,共 4对, 即则 F x = 0共有 8个零点,其和为 16 . 【答案】D . 题 26 参数的取值 围 母题67. 已知函数 f x = x2+ 4a-3 x+3a,x<0 loga x+1 +1,x≥0  a>0且a≠1 在 R上单 递减,且关于 x 的方程 ∣ f x ∣= 2- x恰有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是 【解析】函数 f x = x2+ 4a-3 x+3a,x<0 loga x+1 +1,x≥0 a>0且α≠1  在 R上单 递减, 则: 3-4a 2 ≥0 0<a<1 02+ 4a-3 ⋅0+3a≥loga 0+1 +1      ; 解得, 13 ≤ a≤ 3 4 . 由图象可知,在 [0, +∞)上, f x  = 2- x有且仅有一个解, 故在 -∞,0 上, f x  = 2- x同样有且仅有一个解, 当 3a> 2即 a> 23 时,联立 x 2+ 4a-3 x+3a = 2- x , 则 △= 4a-2 2- 4 3a-2 = 0 , 解得 a= 34 或 1 (舍去), 当 1≤ 3a≤ 2时,由图象可知,符合条件, 综上: a的取值范围为 13 , 2 3    ∪ 3 4  , 【答案】 13 , 2 3    ∪ 3 4  . 母题68. 已知函数 f x = 2 x,0≤x≤1, 1 x ,x>1.  若关于 x的方程 f x =- 1 4 x+ a a∈R 恰有两个互 异的实数解,则 a的取值范围为 ( ) A. 54 , 9 4     B. 5 4 , 9 4  C. 5 4 , 9 4 ∪{1} D. 5 4 , 9 4    ∪{1} 【解析】作出函数 f x = 2 x,0≤x≤1, 1 x ,x>1.  的图象, 以及直线 y=- 14 x的图象, 关于 x的方程 f x =- 14 x+ a a∈R 恰有两个互异的实数解, 即为 y= f x 和 y=- 14 x+ a的图象有两个交点, 平移直线 y=- 14 x ,考虑直线经过点 (1,2)和 (1,1)时, 有两个交点,可得 a= 94 或 a= 5 4 , 考虑直线与 y= 1x 在 x> 1相切,可得 ax- 1 4 x 2= 1 , 由 △= a2- 1= 0 ,解得 a= 1 -1舍去 , 综上可得 a的范围是 54 , 9 4    ∪{1} . 【答案】D . 母题69. 已知函数 f x = xsinx,0<x<π x,x≥π ,g x = f x -kx k∈R  ① 当 k= 1时,函数 g x 有 个零点； ② 若函数 g x 有三个零点,则 k的取值范围是 【解析】① 当 k= 1时, g x = 0 ,即 f x = x , 由 0< x< π,xsinx= x ,即为 sinx= 1 ,解得 x= π2 ; x≥ π, x= x ,解得 x= 0或 1舍去, 则 g x 的零点个数为 1 ; ② 若函数 g x 有三个零点, 当 x≥ π, x= kx, k>0 , 多一解, 即有 x= 1 k2 ≥ π , 解得 0< k≤ ππ ; 又 0< x< π时, xsinx= kx , 即为 sinx= k有两解, 则 k> 0且 k≠ 1 . 综上可得 0< k≤ ππ . 【答案】1, 0, ππ . 题 27 嵌套函数零点问题 母题70. 已知函数 f x = x+1≤0, log2x  则函数 g x = f f x  - 1 2 的零点个数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】作出函数 f x 的图象如图: 当 x≤ 0时,由 f x = 12 得 x+ 1= 1 2 ,即 x= 1 2 - 1=- 1 2 , 当 x> 0时,由 f x = 12 得 log2x= 1 2 ,即 x= 2 1 2 = 2 , 由 g x = f f x  - 12 = 0得 f f x  = 1 2 , 则 f x =- 12 或 f x = 2 , 若 f x =- 12 ,此时方程 f x =- 1 2 有两个交点, 若 f x = 2 ,此时方程 f x = 2 只有一个交点, 则数 g x = f f x  - 12 的零点个数是 3个, 【答案】B . 母题71. 已知函数 f x = ln x  x≠0  0 x=0   ,则方程 f2 x - f x = 0的不相等的实根个数为 . 【答案】7 【解析】方程 f2 x - f x = 0可解出 f x = 0或 f x = 1 方程 f2 x - f x = 0的不相等的实根个数即两个函数 f x = 0或 f x = 1的所有不相等的 根的个数的和,方程的根的个数与两个函数 y= 0,y= 1的图象与函数 f x 的图象的交点个 数相同, 如图: y= 1的图象与函数 f x 的图象的交点个数有四个 y= 0的图象与函数 f x 的图象的交点个数有三个,故方程 f2 x - f x = 0有 7个解,故答 案为 7 母题72.已知函数 f x = x - 1 ,关于 x的方程 f2 x - f x  + k= 0 ,下列四个结论中正确的 有 ( ) ① 存在实数 k ,使得方程恰有 2个不同的实根； ②存在实数 k ,使得方程恰有 4个不同的实根； ③存在实数 k ,使得方程恰有 5个不同的实根； ④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8个不同的实根. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【解析】∵ f x = x - 1≥-1 , ∴当 a=-1时, f x = a有且只有一个解, 当 a>-1时, f x = a有两个不同的解, ∵令 f x = t , 则方程 f2 x - f x  + k= 0 可化为 k= t - t2 , 作函数 k= t - t2 的图象如右, 结合图象可知, 当 k= 14 时, k= t - t 2 有两个不同的解, 且 t=± 12 , 故方程方程 f2 x - f x  + k= 0 有四个不同的解, 则②正确; 当 0< k< 14 时, k= t - t 2 有 4个不同的解,且 -1< t< 1 , 故方程方程 f2 x - f x  + k= 0 有 8个不同的解, 则④正确; 当 k= 0时, k= t - t2 有三个不同的解,分别为-1,0,1； 故方程方程 f2 x - f x  + k= 0有 5个不同的解,则③正确; 当 k< 0时, k= t - t2 有两个不同的解,且 t<-1或 t> 1 , 故方程方程 f2 x - f x  + k= 0有 2个不同的解,则①正确; 【答案】D . 母题73. 函数 f x = lnx, x>0  1 2  x , x≤0   ,则函数 y= 2 f x   2- 3f x + 1的零点个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】由 y= 2 f x  2- 3f x + 1= 0得 f x -1 2f x -1 = 0, 即 f x = 1或 f x = 12 , 函数 f x = lnx, x>0  1 2  x , x≤0   , 当 f x = 1时,方程有 2个根, x= e,x= 0 ; 当 f x = 12 时,方程有 2个根, x= 1舍去, x= e 1 2 , 综上函数有 3个不同的零点, 【答案】C . 母题74. 已知函数 f x = e x-1 ,x>0 -x2-2x+1,x≤0  ,若方程 f2 x + bf x + 2= 0有 8个相异实根,则 实数 b的取值范围 ( ) A. (-4, - 2) B. -4,-2 2  C. (-3, - 2) D. -3,-2 2  【解析】令 f x = t ,则方程 f2 x + bf x + 2= 0⇔方程 t2+ bt+ 2= 0 . 如图是函数 f x = e x-1 ,x>0 -x2-2x+1,x≤0  ,的图象,根据图象可得: 方程 f2 x + bf x + 2= 0有 8个相异实根⇔方程 t2+ bt+ 2= 0 . 有两个不等实数解 t1,t2 且 t1,t2∈ 1,2 . 可得 △=b2-8>0 12+b ⋅1+2>0 22+2 ⋅b+2>0 1<- b2 <2 ⇒-3<b<-2 2 .        【答案】D . 母题75. 定义域为 R的函数 f x = 1 ∣x-1 x≠1  1 x=1   ,若关于 x的方程 f2 x + bf x + 1 2 = 0有 5个不同的根 x1 、x2 、x3 、x4 、x5 ,则 x21+ x22+ x23+ x24+ x25 等于 【解析】① 若 x= 1,f x = 1 ,故 12+ b+ 12 = 0,b=- 3 2 ； ② 若 x≠ 1, f x = 1 1-x  ,方程 f 2 x + bf x + 12 = 0 可化为: 1 1-x   2 - 32 ⋅ 1 1-x  + 1 2 = 0 , 即 1 1-x  -1 ⋅ 2 ⋅ 11-x  -1 = 0 , ∴ 1 1-x  = 1或 1 1-x  = 12 , 解 1 1-x  = 1得: x= 0或 x= 2 ;解 1 1-x  = 12 得: x=-1或 x= 3 ; ∴ x21+ x22+ x23+ x24+ x25= 12+ 02+ 22+ -1 2+ 32= 15 . 【答案】15 . 题 28 题中的函数模 母题76. Logistic模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I t ( t的单位:天)的 Logistic模型: I t = K 1+e-0.23 t-52  其中 K 为 大确诊病例数. 当 I t* = 0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则 t* 约为 ( ) ( ln19≈ 3 ) A. 60 B. 65 C. 66 D. 69 【解析】由已知可得 K 1+e-0.23 t-52  = 0.95K ,解得 e-0.23 t-52 = 119 , 两边取对数有 -0.23 t-52 =-ln19≈-3 , 解得 t≈ 65 , 【答案】B . 母题77. 基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染 者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: I t = ert 描述累计感染病例数 I t 随时间 t (单位:天)的变化规律,指数 增长率 r与 R0,T 近似满足 R0 = 1+ rT . 有学者基于已有数据估计出 R0= 3.28,T= 6 . 据 此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 3倍需要的时间约为 ln2≈0.69  ( ) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.7天 D. 3.6天 【解析】因为 R0= 3.28,T= 6 ,且 R0= 1+ rT , 则指数增长率 r= R0-1T = 0.38 , 设累计感染病例数增加 3倍需要的时间约为 t天, 则 I t = 2I 0 ,即 ert= 2 ,即 e0.38t= 2 , 两边取自然对数可得, lne0.38t= ln2 , 又 ln2≈ 0.69 , 所以 t= ln20.38 ≈ 0.69 0.38 ≈ 1.8 , 则累计感染病例数增加 3倍需要的时间约为 1.8天. 【答案】B . 母题78. 如图,假定两点 P , Q以相同的初速度运动. 点 Q沿直线 CD做 速运动, CQ= x；点 P沿线段 AB (长度为 107 单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 PB=y . 令 P与 Q同时分别从 A,C 出发,那么,定义 x为 y的纳皮尔对数,用现在的数学 符号表示 x与 y的对应关系是 y= 107 1e  x 107 ,其中 e为自然对数的底,当点 P从线段 AB 的三等分点移动到中点时,经过的时间为 【解析】设 P运动到第一个三等分点的时间为 t1 ,此时 Q运动的距离为 x1,P运动到中点的 时间为 t2 , 此时 Q运动的距离为 x2 , ∵两点 P,Q以相同的初速度运动,设点 Q的运动速度为 v= 107 , ∴ 23 ⋅ 10 7= 107 1e  x1 10 , 12 ⋅ 10 7= 107 1e  x2 10 , ∴ x1= 107log 1 e 2 3 ,x2= 10 7log 1 e 1 2 , ∴ t= x2-x1v = 107 log 1 e 1 2 -log 1e 2 3  107 = log 1 e 3 4 = ln 4 3 . 【答案】 ln 43 .