版块2 不等式-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 二 不等式 题 1 一元二次函数零点 母题11. 已知方程 x2+ m-3 x+m= 0 ,在下列条件下,求m得范围: (1)两个正根; (2)两个负根; (3)两个根都小于 1 ; (4)两个根都大于 12 ； (5)一个根大于 1 ,一个根小于 1； (6)两个根都在 (0,2)内; (7)两个根有且仅有一个在 (0,2)内; (8)一个根在 (-2,0)内,另一个根在 (1,3)内; (9)一个正根,一个负根且正根绝对值较大； (10)一个根小于 2 , 一个根大于 4 ; (11)一个根在 (-2,0)内,另一个根在 (0,4)内. 题 2 一元二次不等式恒成 与 解 母题12. 对于任意实数 x ,不等式 a-2 x2- 2 a-2 x- 4< 0恒成立,则实数 a的取值范围是 ( ) A. -∞,2  B. (-∞,2] C. (-2,2) D. (-2,2] 母题13. 若关于 x的不等式 2x2- 8x- 4+ a≤ 0在 1≤ x≤ 3内有解,则实数 a的取值范围是 题 3 基 不等式 母题14. 若 x,y∈R,2x+ 2y= 1 ,则 x+ y的取值范围是 ( ) A. (-∞,-2] B. (0,1) C. (-∞,-0] D. 1,+∞  母题15. 已知正数 x,y满足 xy= x+ y+ 3 , (1)求 x+ y的最小值; (2)求 xy的取值范围. 母题16. 已知实数 x> 0 , y> 0 , x+ 3y= 1 ,则 1x + 1 y 的最小值为 题 4“1”的妙用 母题17.设 x> 0，y> 0，1x + 2y= 2，则 x+ 1 y 的最小值为 ( ) A. 32 B. 2 2 C. 3 2 + 2 D. 3 母题18.已知 x> 0,y> 0，且 2x+ y= 1，则 y 2+x xy 的最小值为 ( ) A. 4 B. 4 2 C. 4 2+ 1 D. 2 2+ 1 题 5 二次比一次 母题19.已知 x，y为正实数，且 x+ y= 1，则 x+6y+3xy 的最小值为 ( ) A. 24 B. 25 C. 6+ 4 2 D. 6 2- 3 题 6 万能“k”法 母题20.已知实数 x,y，满足 x2+ xy+ 3y2= 3，则 x+ y的最大值为 ( ) A. 3 1111 B. 6 11 11 C. 3+1 3 D. 3+3 3 题 7 因式 解 母题21.若实数 x,y满足 2x2+ xy- y2= 1，则 x-2y 5x2-2xy+2y2 的最大值为 . 题 8 多次 值不等式 母题22. 若 a,b∈R,ab> 0 ,则 a 4+4b4+1 ab 的最小值为 ( ) A. 6 B. 4 C. 2 2 D. 2 版 二 不等式 题 1 一元二次函数零点 母题11. 已知方程 x2+ m-3 x+m= 0 ,在下列条件下,求m得范围: (1)两个正根; (2)两个负根; (3)两个根都小于 1 ; (4)两个根都大于 12 ； (5)一个根大于 1 ,一个根小于 1； (6)两个根都在 (0,2)内; (7)两个根有且仅有一个在 (0,2)内; (8)一个根在 (-2,0)内,另一个根在 (1,3)内; (9)一个正根,一个负根且正根绝对值较大； (10)一个根小于 2 , 一个根大于 4 ; (11)一个根在 (-2,0)内,另一个根在 (0,4)内. 【解析】对于方程 x2+ m-3 x+m= 0 ,令 f x = x2+ m-3 x+m , ( 1 )方程有两个正根,等价于 △= m-3 2- 4m= m-1 m-9 ≥ 0 ,且 3-m>0 m>0  , 求得 0<m≤ 1; ( 2 )方程有两个负根等价于 △= m-3 2- 4m= m-1 m-9 ≥ 0且 3-m<0 m>0  , 求得m≥ 9； (3)方程两个根都小于 1等价于 Δ= m-3 2-4m≥0 3-m 2 <1 f 1 =2m-2>0      ,求得m≥ 9 ; (4)方程两个根都大于 12 ,等价于 Δ= m-3 2-4m≥0 3-m 2 > 1 2 f 12 = 3m 3 - 5 4 >0          Δ= m-3 2-4m≥0 3-m 2 < 1 2 f 12 = 3m 2 - 5 4 >0        , 求得 56 <m≤ 1 ; (5)方程一个根大于 1,一个根小于 1等价于 f 1 = 2m- 2< 0 ,求得m< 1 ; (6)方程两个根都在 (0,2)内,等价于 Δ= m-3 2-4m≥0 0< 3-m2 <2 f 0 =m>0 f 2 =3m-2>0      ,求得 23 <m≤ 1 ; (7)方程两个根有且仅有一个在 (0,2)内,等价于 f 0 ⋅ f 2 =m 3m-2 < 0 , 求得 0<m< 23 ; (8)方程一个根在 (-2,0)内,另一个根在 (1,3)内,等价于 f -2 =10-m>0 f 0 =m<0 f 1 =2m-2<0 f 3 =4m>0        , 求得m无解; (9)方程一个正根,一个负根且正根绝对值较大,等价于 3-m>0 m<0  ,求得m< 0 ; (10)方程一个根小于 2,一个根大于 4,等价于 f 2 =3m-2<0 f 4 =5m+4<0  ,求得m<- 4 5 ; (11)方程一个根在 (-2,0)内,另一个根在 (0,4)内,等价于 f -2 =10-m>0 f 0 =m<0 f 4 =5m+4>0      , 求得 - 45 <m< 0 . 题 2 一元二次不等式恒成 与 解 母题12. 对于任意实数 x ,不等式 a-2 x2- 2 a-2 x- 4< 0恒成立,则实数 a的取值范围是 ( ) A. -∞,2  B. (-∞,2] C. (-2,2) D. (-2,2] 【答案】D 【解析】当 a- 2= 0 ,即 a= 2时, -4< 0恒成立； 当 a- 2≠ 0 ,即 a≠ 2时, 则有 a-2<0, Δ= -2a-2. 2-4×a-2.×-4<0,  解得 -2< a< 2 . 综上,实数 a的取值范围是 (-2,2] . 母题13. 若关于 x的不等式 2x2- 8x- 4+ a≤ 0在 1≤ x≤ 3内有解,则实数 a的取值范围是 【答案】a≤ 12 【解析】原不等式 2x2- 8x- 4+ a≤ 0在 1≤ x≤ 3内有解 等价于 a≤-2x2+ 8x+ 4在 1≤ x≤ 3内有解, 设函数 f x =-2x2+ 8x+ 4,x∈ 1,3 ,所以原问题等价于 a≤ f x max 又当 x= 2时, f x max= 12 ,所以 a≤ 12 . 题 3 基 不等式 母题14. 若 x,y∈R,2x+ 2y= 1 ,则 x+ y的取值范围是 ( ) A. (-∞,-2] B. (0,1) C. (-∞,-0] D. 1,+∞  【解析】因为 1= 2x+ 2y≥ 2 2x⋅2y= 2 2x+y , 所以 2x+y≤ 14 , 即 x+ y≤-2 ,当且仅当 2x= 2y= 12 ,即 x= y=-1时取“ = ”, 所以 x+ y的取值范围是 (-∞,-2] . 故选: A . 母题15. 已知正数 x,y满足 xy= x+ y+ 3 , (1)求 x+ y的 小值; (2)求 xy的取值范围. 【解析】(1) ∵ x、y均为正数, ∴ x+ y≥ 2 xy ,则 xy≤ x+y2  2 , ∴ x+ y+ 3= xy≤ x+y2  2 ,即 x+y 2- 4 x+y - 12≥ 0 , 化简可得, x+y+2 x+y-6 ≥ 0 , ∴ x+ y≥ 6 , 当且仅当 x= y= 3时取等号, ∴ x+ y的 小值为 6 ; ( 2 )由正数 x、y满足 xy= x+ y+ 3 , 可得 xy= x+ y+ 3≥ 2 xy+ 3 , 即 xy- 2 xy- 3≥ 0 ,可以变形为 xy-3  xy+1 ≥ 0 , ∴ xy≥ 3 ,即 xy≥ 9 , 当且仅当 x= y= 3时取等号, ∴ xy的范围是 [9, +∞) 母题16. 已知实数 x> 0 , y> 0 , x+ 3y= 1 ,则 1x + 1 y 的 小值为 【答案】4+ 2 3 【解析】 1x + 1 y = x+3y  1 x + 1 y = 4+ 3y x + x y ≥ 4+ 2 3 题 4“1”的妙用 母题17.设 x> 0，y> 0，1x + 2y= 2，则 x+ 1 y 的 小值为 ( ) A. 32 B. 2 2 C. 3 2 + 2 D. 3 【答案】C 【解析】因为 1x + 2y= 2，所以 1 2x + y= 1， 因为 x> 0，y> 0，所以 x+ 1y = x+ 1 y  12x +y = 12 + xy+ 12xy + 1 = 32 + xy+ 1 2xy ≥ 3 2 + 2 xy ⋅ 1 2xy = 3 2 + 2×  2 2 = 3 2 + 2 . 当且仅当 xy= 12xy 1 2x +y=1      ，即 x= 1+ 22 y=2- 2  时取等. 母题18.已知 x> 0,y> 0，且 2x+ y= 1，则 y 2+x xy 的 小值为 ( ) A. 4 B. 4 2 C. 4 2+ 1 D. 2 2+ 1 【答案】D 【解析】 y2+x xy = y x + 1 y = y x + 2x+y y = 1+ y x + 2x y ≥ 1+ 2 y x ⋅ 2x y = 2 2+ 1， 当且仅当 y x = 2x y ，即 y= 2- 1,x= 1- 2 2 时，等号成立 题 5 二次比一次 母题19.已知 x，y为正实数，且 x+ y= 1，则 x+6y+3xy 的 小值为 ( ) A. 24 B. 25 C. 6+ 4 2 D. 6 2- 3 【解析】因为 x，y为正实数，且 x + y= 1，所以 x+6y+3xy = x+6y+3 x+y  xy = 4x+9y xy = 9 x + 4 y = 9 x + 4 y x+y = 13+ 9y x + 4x y ≥ 13+ 2 9y x × 4x y = 25， 当且仅当 9y x = 4x y x+y=1  即 x= 35 y= 25  时，等号成立，所以 x+6y+3 xy 的 小值为 25. 题 6 万能“k”法 母题20.已知实数 x,y，满足 x2+ xy+ 3y2= 3，则 x+ y的 大值为 ( ) A. 3 1111 B. 6 11 11 C. 3+1 3 D. 3+3 3 【答案】B 【解析】令 t= x+ y，则 x= t- y， 方程 x2+ xy+ 3y2= 3可化为 (t- y)2+ t-y y+ 3y2- 3= 0， 整理得 3y2- ty+ t2- 3= 0，则满足Δ= (-t)2- 12 t2-3 ≥ 0， 解得 t2≤ 3611 ，所以- 6 11 11 ≤ t≤ 6 11 11 ，即 x+ y≤ 6 11 11 ，所以 x+ y的 大值为 6 11 11 . 题 7 因式 解 母题21.若实数 x,y满足 2x2+ xy- y2= 1，则 x-2y 5x2-2xy+2y2 的 大值为 . 【答案】 24 【解析】由 2x2+ xy- y2= 1，得 (2x- y) (x+ y) = 1， 设 2x- y= t,x+ y= 1t ，其中 t≠ 0. 则 x= 13 t+ 1 3t ,y= 2 3t - 1 3 t，从而 x- 2y= t- 1 t ,  5x 2- 2xy+ 2y2= t2+ 1 t2 ， 记u= t- 1t ，则 x-2y 5x2-2xy+2y2 = u u2+2 ， 不妨设u> 0，则 1 u+ 2u ≤ 1 2 u× 2u = 24 , 当且仅当u= 2u ，即u= 2时取等号，即 大值为 2 4 . 题 8 多次 值不等式 母题22. 若 a,b∈R,ab> 0 ,则 a 4+4b4+1 ab 的 小值为 ( ) A. 6 B. 4 C. 2 2 D. 2 【解析】∵ a,b∈R,ab> 0 , 则 a 4+4b4+1 ab ≥ 2 4a 4b4+1 ab = 4a 2b2+1 ab = 4ab+ 1 ab ≥ 2 4ab ⋅ 1ab = 4 , 当且仅当 a4=4b4 4ab= 1 ab  , 即 a= 14 2 b= 14 8      或 a=- 14 2 b=- 14 8      是上式取得 小值 4, 故选: B .