版块1 集合与常用逻辑用语-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 一 与 用 辑用语 题 1 元 的“三性” 母题1. 设集合 A= 2,3,a2-3a,a+ 2a +7  ,B= a-2 ,0 . 已知 4∈A且 4∉B ,则实数 a的取 值集合为 ( ) A. {-1, -2} B. {-1,2} C. {-2,4} D. {4} 【解析】由题意可得① 当 a2- 3a= 4且 a-2 ≠ 4时,解得 a=-1或 4, a=-1时,集合 A={2,3,4,4}不满足集合的互异性,故 a≠-1 , a= 4时,集合 A= 2,3,4,11 12  ,集合 B={2,0} ,符合题意. ② 当 a+ 2a + 7= 4且 a-2 ≠ 4 ,解得 a=-1 ,由①可得不符合题意. 综上,实数 a的取值集合为 {4} . 【答案】D . 题 2 间的关系 母题2. 已知集合 A= x∣y=lg x-x2  ,B= x∣x2-cx<0,c>0 ,若 A∩B=A ,则实数 c的 取值范围是 ( ) A. (0,1] B. [1, +∞) C. (0,1) D. 1,+∞  【解析】A= x∣y=lg x-x2  = x∣x-x2>0 ={x ∣ 0< x< 1} , B= x∣x2-cx<0,c>0 ={x ∣ 0< x< c}, 若 A∩B=A , 则 A⊆B , 则 c≥ 1 , 即实数 c的取值范围是 [1, +∞) , 【答案】B . 题 3 间的基 运算 母题3. 已知全集 U=A,A={1,2,3,4},B= x∣ x+1 x-3 >0,x∈Z ,则集合 A∩ ∁UB 的 子集个数为 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【解析】B={x ∣ x<-1或 x> 3,x∈ Z} ; ∴ ∁UB={x ∣-1≤ x≤ 3,x∈A}= {1,2,3} ; ∴A∩ ∁UB ={1,2,3} ; ∴A∩ ∁UB 的子集个数为: C03+C13+C23+C33= 8 . 【答案】C . 母题4. 已知集合 A= x∣x2-3x-4>0 ,B={x ∣-1≤ x≤ 3} ,则 ∁RA ∩B= ( ) A. (-1,3) B. -1,3  C. -1,4  D. (-1,4) 【解析】A= x∣x2-3x-4>0 ={x ∣ x> 4或 x<-1} , B={x ∣-1≤ x≤ 3}, ∁RA={x ∣-1≤ x≤ 4}, 则 ∁RA ∩B={x ∣-1≤ x≤ 3}= -1,3 , 【答案】B . 题 4 中参数的取值 围 母题5. 已知集合M= x∣3x2-5x-2≤0 ,N= m,m+1 ,若M∪N=M ,则m的取值范围是 ( ) A. 13 ,1     B. - 1 3 ,1     C. -2,- 2 3     D. - 1 3 ,2     【解析】M= x  - 13 ≤x≤2 , 由M∪N=M 可得 N⊆M , 则 m≥- 13 m+1≤2  ,解得 - 1 3 ≤m≤ 1 , 【答案】B . 母题6. 已知集合 A={x ∣-1≤ x< 2},B={x ∣ x< a} ,若 A∩B≠⌀ ,则实数 a的取值范围为 ( ) A. - 1< a≤ 2 B. a>-1 C. a>-2 D. a≥ 2 【解析】∵A={x ∣-1≤ x< 2},B={x ∣ x< a} ,且 A∩B≠⌀ , ∴ a>-1 . 【答案】B . 题 5 充 必要 件的 断 母题7. 设 θ∈ 0,π ,则 “ θ< π6 ” 是 “ sinθ< 1 2 ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】θ∈ 0,π 时,若 θ< π6 ,则 sinθ< 1 2 ,充分性成立; 若 sinθ< 12 ,则 0< θ< π 6 或 5π 6 < θ< π ,必要性不成立; 所以 “ θ< π6 ” 是 “ sinθ< 1 2 ” 的充分不必要条件. 【答案】A . 母题8. 设 θ∈R ,则 “ θ- π12 < π 12 ” 是 “ sinθ< 1 2 ” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 θ- π12 < π 12 ⇔- π 12 < θ- π 12 < π 12 ⇔ 0< θ< π 6 , sinθ< 12 ⇔- 7π 6 + 2kπ< θ< π 6 + 2kπ,k∈ Z, 则 0, π6 ⊊ - 7π 6 +2kπ, π 6 +2kπ ,k∈ Z , 可得“ θ- π12 < π 12 ”是“ sinθ< 1 2 ”的充分不必要条件. 【答案】A . 母题9. 已知条件 p: x+1 > 2 ,条件 q:5x- 6> x2 ,则 ¬q是 ¬p的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充 也不必要 件 【解析】条件 p: x+1 > 2 ,解得 x> 1 ,或 x<-3 . 一 p: -3≤ x≤ 1 . 条件 q:5x- 6> x2 ,解得: 2< x< 3 . ¬q:x≤ 2 ,或 x≥ 3 . 则 ¬q是 ¬p的必要不充分条件. 【答案】B . 题 6 已知充 必要 件 参数 母题10. 设命题 p: 4x-3 ≤ 1 ,命题 q:x2- 2a+1 x+ a a+1 ≤ 0 ,若 ¬p是 ¬q的必要不充分 条件,则实数 a的取值范围为 【解析】命题 p: 4x-3 ≤ 1 ,解得: 12 ≤ x≤ 1 . 命题 q:x2- 2a+1 x+ a a+1 ≤ 0 ,解得: a≤ x≤ a+ 1 . 若 ¬p是 ¬q的必要不充分条件,则 p是 q的充分不必要条件. ∴ a≤ 12 1≤a+1  ,且等号不能同时成立. 解得 0≤ a≤ 12 . ∴实数 a的取值范围是 0, 12    . 版 一 与 用 辑用语 题 1 元 的“三性” 母题1. 设集合 A= 2,3,a2-3a,a+ 2a +7  ,B= a-2 ,0 . 已知 4∈A且 4∉B ,则实数 a的取 值集合为 ( ) A. {-1, -2} B. {-1,2} C. {-2,4} D. {4} 题 2 间的关系 母题2. 已知集合 A= x∣y=lg x-x2  ,B= x∣x2-cx<0,c>0 ,若 A∩B=A ,则实数 c的 取值范围是 ( ) A. (0,1] B. [1, +∞) C. (0,1) D. 1,+∞  题 3 间的基 运算 母题3. 已知全集 U=A,A={1,2,3,4},B= x∣ x+1 x-3 >0,x∈Z ,则集合 A∩ ∁UB 的 子集个数为 ( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 母题4. 已知集合 A= x∣x2-3x-4>0 ,B={x ∣-1≤ x≤ 3} ,则 ∁RA ∩B= ( ) A. (-1,3) B. -1,3  C. -1,4  D. (-1,4) 题 4 中参数的取值 围 母题5. 已知集合M= x∣3x2-5x-2≤0 ,N= m,m+1 ,若M∪N=M ,则m的取值范围是 ( ) A. 13 ,1     B. - 1 3 ,1     C. -2,- 2 3     D. - 1 3 ,2     母题6. 已知集合 A={x ∣-1≤ x< 2},B={x ∣ x< a} ,若 A∩B≠⌀ ,则实数 a的取值范围为 ( ) A. - 1< a≤ 2 B. a>-1 C. a>-2 D. a≥ 2 题 5 充 必要 件的 断 母题7. 设 θ∈ 0,π ,则 “ θ< π6 ” 是 “ sinθ< 1 2 ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 母题8. 设 θ∈R ,则 “ θ- π12 < π 12 ” 是 “ sinθ< 1 2 ” 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 母题9. 已知条件 p: x+1 > 2 ,条件 q:5x- 6> x2 ,则 ¬q是 ¬p的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充 也不必要 件 题 6 已知充 必要 件 参数 母题10. 设命题 p: 4x-3 ≤ 1 ,命题 q:x2- 2a+1 x+ a a+1 ≤ 0 ,若 ¬p是 ¬q的必要不充分 条件,则实数 a的取值范围为