精品解析：湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高三第5次月考数学试卷

湖北省武汉市第六中学2022级高三年级第5次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算． 【详解】由题意，又， ∴， 故选：C． 2. 已知为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】当时，所以为增函数，所以， 当时，当时，则，当时，则，此时； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】在方向上的投影向量是， 故选：A. 4. 已知数列的前n项和满足,则（ ） A. 272 B. 152 C. 68 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】借助数列前n项和性质计算即可得. 【详解】， 则. 故选：B. 5. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，结合三角恒等变换化简可得结果. 【详解】将代入， 可得 . 故选：C. 6. 展开式中的系数为（ ） A. 200 B. 230 C. 120 D. 180 【答案】A 【解析】 【分析】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解. 【详解】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 8. 已知，若，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的奇偶性和单调性，通过奇偶性把，，转化在同一单调区间，利用单调性比较即可. 【详解】由题意， 故为偶函数， 当时，，故， 所以，， 所以， 故当时，单调递增， ， 因，所以，即， 设函数， ，故在区间上单调递增， 所以， 所以，即， 所以， 所以，即， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由正态分布可求得，判断A；易得在上是减函数，可判断B；计算，可判断C；证明可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，当增大时，减少， 所以在上是减函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若的图象关于点中心对称，则， 因为服从正态分布，所以关于对称， 所以， 则，故D正确. 故选：AD. 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选项A错误，C正确；利用条件概率公式可得选项B正确；根据和事件的概率公式可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 故选：BCD. 11. 如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（　　） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4 D. 若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可. 【详解】底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长， 故四棱锥的体积不变，故A正确； 与所成的角即为与AC所成的角， 当P在端点A，C时，所成的角最小，为， 当P在AC的中点时，所成的角最大，为，故B错误； 由于P在正方体表面上，P的轨迹为对角线， 以及在平面内以为圆心、2为半径的圆弧， （由于，所以在中，， 即直线AP与平面所成的角为45°， 又由于平面平面，所以直线AP与平面ABCD所成的角为45°） 如图①，故P的轨迹长度为，故C正确； 分别取的中点， 由正方体的性质可知六点共面，且为正六边形， 由中位线定理，，平面，所以平面， 同理平面，且，平面， 所以平面平面， 所以FP所在的平面为如图②所示的正六边形， 当P为BC的中点时，FP的长最小，为，故D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得. 【详解】由可得复数在复平面内对应点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 所以， 所以离心率为. 故答案为： 13. 若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，分析直线的位置，利用导数求切线斜率即可得解. 【详解】令，作出的图象，如图所示. 由图可知，当时，只需当时，直线的图象恒在图象的下方， 此时令直线为曲线的切线，函数在时的解析式为， 则，所以，则的取值范围为； 当时，显然符合题意； 当时，只需当时，直线的图象恒在图象的上方， 此时令直线为曲线的切线， 函数在时的解析式为，则， 所以，则的取值范围为. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是__________；的面积的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由双曲线的定义得到点在上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角为，则，，则，求出，从而求出，求出△的面积的取值范围. 【详解】由题意知，，故， 设点，且在上垂足为H， 根据双曲线定义及切线长定理得， 又，解得， 所以点H坐标为，则横坐标为， 设渐近线的倾斜角为，则， 记，则， 所以，即， 又，解得或(舍)， 所以，则， 所以. 故答案为：， 【点晴】方法点睛：双曲线焦点三角形的内切圆圆心位于顶点的正上方或正下方，这个二级结论在双曲线有关于内切圆的题目时，经常用到，需要掌握. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在非等腰中，角的对边分别为，已知，． （1）求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与三角函数的二倍角公式可得三角形的形状，利用正弦定理以及三角函数恒等变换可得三角函数，根据三角函数的性质，可得答案； （2）由正弦定理整理函数解析式，利用换元法化简函数，根据单调性可得答案 小问1详解】 因为，所以，即． 因为，所以，从而，则的外接圆直径为． 由，得，， 得． 因为且，所以且， 所以，即的取值范围为． 【小问2详解】 ． 设，则，所以． 又是上的增函数，从而在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围为． 16. 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时： （1）求； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角面积公式，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理、余弦定理进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， 面积最大时，， 情形一：当与不垂直时，过点作交于点， 平面平面，平面平面平面， 平面，平面，， 平面平面， 平面，平面，. 在中，， 由正弦定理，可得，. 情形二：当，即时，翻折过后， 平面平面，平面平面平面， 此时也有最大，由情形一此时． 【小问2详解】 情形一：，平面平面， 以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 中，，且平面， ，设平面的法向量， 则，即令，则， 同理可得，平面的法向量， ， 由图可知，二面角的余弦值为． 情形二：， ，设平面的一个法向量， ，指向面外部． 而面的一个法向量，指向面外部， 设二面角大小为. 17. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若当时，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数，求得，进而由点斜式方程可求得切线方程； （2）令，求导，分，两种情况判断是否恒成立，可得结论. 【小问1详解】 因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； 【小问2详解】 当  时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减，且， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 18. 抛物线的焦点为，，，是上的三个点，直线，均与圆相切，是上的任意一点，的最小值为3. （1）求的方程； （2）若，求的取值范围； （3）若为定值，求. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义转化，结合最小值可求得的值，即可得到的方程. （2）利用切线长定理转化角，借助锐角三角函数及二倍角公式可求的范围，即可得到的取值范围. （3）利用直线，均与圆相切得到的关系式，表示，结合其为定值可得的值. 【小问1详解】 由题意得，，抛物线准线为. 过点作于点，由抛物线定义得，， 当三点共线时，有最小值，最小值，解得， ∴的方程为. 【小问2详解】 设直线与圆分别相切于点，连接，则， ∴，且， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【小问3详解】 ∵，，∴直线方程为：， ∵，∴直线方程为：， ∵直线与圆相切，∴，即， 同理得，， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， ∴，解得， ∴或. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是利用直线，均与圆相切得到的关系式，表示，根据为定值得到关于的方程，解方程可得结果. 19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 【答案】（1）（i）分布列见解析，期望为；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前项和公式求解. （2）求出在的条件下，的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出，进而求出的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得. 小问1详解】 （i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 的数学期望为 （ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件 “” 的概率为. 【小问2详解】 在的条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， （）， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以，即的期望为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省武汉市第六中学2022级高三年级第5次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列前n项和满足,则（ ） A 272 B. 152 C. 68 D. 38 5. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ） A. B. C. D. 6. 展开式中的系数为（ ） A 200 B. 230 C. 120 D. 180 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，， 则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（　　） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4 D. 若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为__________. 13. 若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是__________. 14. 已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是__________；的面积的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在非等腰中，角的对边分别为，已知，． （1）求的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时： （1）求； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数，． （1）求曲线在处切线方程； （2）若当时，恒有，求实数的取值范围． 18. 抛物线的焦点为，，，是上的三个点，直线，均与圆相切，是上的任意一点，的最小值为3. （1）求方程； （2）若，求的取值范围； （3）若为定值，求. 19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$