精品解析：贵州省六盘水市2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

六盘水市2027届高一3月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册第六章第二节结束. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下选项中，都是向量的是（ ） A. 时间、海拔 B. 质量、位移 C. 加速度、体积 D. 浮力、速度 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 平面内所有的单位向量都相等 B. 模为0的向量与任意非零向量共线 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 若满足，且同向，则 4. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数的图象经过点与点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 8. 已知函数满足，，且，则的值为（ ） A. 96 B. C. 102 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为6 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 11. 已知函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，如果当时，函数的值域是，则 C. 若，则不等式的解集为 D. 若，如果存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____． 13. 艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯 提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响. 设初次记忆后经过了 小时，那么记忆率 近似的满足，. 某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为 ，6天后记忆率为 ，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______（保留两位小数） 14. 已知函数，，对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，则称该函数为三角形函数.若函数是三角形函数，则实数m的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，，，且. （1）求在上的投影向量； （2）求与的夹角. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，_____． （1）求的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 18. 设为的重心，过作直线分别交线段于（不与顶点重合）．若． （1）求的值； （2）求的取值范围． 19. 若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数． （1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； （2）若函数是“步长”增函数，求的最小值； （3）若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六盘水市2027届高一3月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教版必修第一册，必修第二册第六章第二节结束. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下选项中，都是向量的是（ ） A. 时间、海拔 B. 质量、位移 C. 加速度、体积 D. 浮力、速度 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义判定. 【详解】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，，故. 故选：C. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 平面内所有的单位向量都相等 B. 模为0的向量与任意非零向量共线 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 若满足，且同向，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合单位向量、零向量、平行向量的意义逐项判断. 【详解】对于A，单位向量的模为1，方向不一定相同，A错误； 对于B，模为0的向量与任意非零向量共线，B正确； 对于C，平行向量一定是共线向量，C错误； 对于D，向量的模能比较大小，而向量不能比较大小，D错误. 故选：B 4. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用积化和差公式即可化简得到答案. 【详解】. 故选：C. 6. 已知幂函数的图象经过点与点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的性质待定系数得，再借助中间量比较大小即可. 【详解】解：设，因为幂函数的图象经过点与点， 所以，，解得， 所以， 所以. 故选:C. 7. 窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，即，则． 因为点P是圆O内部一点，所以，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是3, 故选：A. 8. 已知函数满足，，且，则的值为（ ） A. 96 B. C. 102 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，推得既关于成轴对称，又关于点成中心对称，由和，结合函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称， 又由函数满足，即 所以函数关于对称， 所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称， 所以，且函数的周期， 又因为，所以， 可得， 所以 . 故答案为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断. 【详解】对A：根据数量积的运算律可得：恒成立，A正确； 对B：根据，可得恒成立，B正确； 对C：，其中为的夹角， ∵，可得， ∴恒成立，C正确； 对D：根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立， 故不恒成立，D错误； 故选：ABC. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为6 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，结合二次函数的性质即可求A，利用基本不等式即可求解BCD. 【详解】对于A，因为，所以，因为为正实数，所以， 解得， 由二次函数的性质可知:当时，的最大值为，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，正实数，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，当且仅当，即时取等，故D正确 故选：ACD 11. 已知函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，如果当时，函数的值域是，则 C. 若，则不等式的解集为 D. 若，如果存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到方程，求出；B选项，由复合函数单调性得到在上是严格增函数，从而得到求出；C选项，由函数单调性得到，求出解集；D选项，由的单调性得到值域为，进而得到与的交集为非空，得到不等式，求出答案. 【详解】对于A：因为为奇函数， 所以，则， 因为，所以，A正确. 对于B：令，则由，得. 因为在上单调递减， 所以当时，在上是严格增函数， 所以， 所以，B错误. 对于C：当时，， 则由，得， 所以，解得，C错误. 对于D：当时，在上单调递减， 所以在上的取值范围是. 由题意知与的交集为非空，所以，解得，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用诱导公式和弦化切公式计算. 【详解】由得，则， 故答案为：1. 13. 艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯 提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响. 设初次记忆后经过了 小时，那么记忆率 近似的满足，. 某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为 ，6天后记忆率为 ，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______（保留两位小数） 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件确定，满足的条件，再求目标函数的值. 【详解】由题可 ，所以. 故4小时后的记忆率约为 . 故答案为： 14. 已知函数，，对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，则称该函数为三角形函数.若函数是三角形函数，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为满足求m的取值范围，然后分类讨论函数的值域，根据求解可得. 【详解】当时，； 当时，，令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，即. 不妨设，则对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，等价于对任意的a，b，，都有，等价于. 当，即时，，即，所以； 当，即时，，即，所以； 当，即时，，即，所以. 综上，实数m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，，，且. （1）求在上的投影向量； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用投影向量的概念求解即可； （2）先利用向量的数量积运算求得，再利用求解即可. 【小问1详解】 因为向量，，，且， 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 因为向量，，，且， 所以 ， 所以， 记与的夹角为， 则， 又，所以与的夹角为. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解；（2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合指数函数单调性求解. 【小问1详解】 若，则， 由题意可得， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 当时，令，即， 解得，则； 当时，令，即， 解得，则． 综上所述，不等式的解集为． 17. 给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 已知函数，_____． （1）求的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先进行三角恒等变换求出，再分别选三个条件，结合正弦函数的性质，分别求解，即可得出函数解析式. （2）首先根据三角函数的变化规律得到的解析式，再由正弦函数的性质求出在区间上的单调性，求出区间端点函数值，依题意函数的图像与在区间上有且只有一个交点，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 ． （1）若选条件①，直线是函数图象的任意两条对称轴， 且的最小值为，则，解得，则． 若选条件②，则，则． 因此．又，所以，则． 若选条件③，对任意的， 则有，解得， 又，所以，则． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象， 再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍， 纵坐标不变，得到图象． 由，得． 即函数的单调递增区间为， 又，所以函数在上单调递增，在上单调递减； 因为， 因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解， 所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点， 则或． 18. 设为的重心，过作直线分别交线段于（不与顶点重合）．若． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用重心性质结合向量共线条件即可求解； （2）根据已知条件，结合（1）中得到的关系，进一步确定的取值范围，将表达为的函数，利用分式转化，化为二次函数最值问题解决. 【小问1详解】 连接并延长交于．则是的中点，如图所示： 设，则，． 又， ，． 又三点共线，故存在实数，使， ，即， 由不共线可得消去得：，即． 【小问2详解】 因，解得，设， ，则当时，取最大值；当或2时，等于2， 故的取值范围为． 19. 若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数． （1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； （2）若函数是“步长”增函数，求的最小值； （3）若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）是，理由如下： 因为的定义域为在上都是单调递增， 所以在上单调递增，所以． 所以是“2步长”增函数． （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）由单调性及新定义即可判断； （2）由恒成立，得到恒成立，进而即可求解. （3）结合新定义，由和两类情况讨论求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是“步长”增函数， 所以恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 由，解得或． 因为，所以． 【小问3详解】 若在上单调递增，则恒成立，符合题意； 若，分以下情况： ①当时，单调递增，则恒成立； ②当时，，单调递增，则恒成立； ③当时，若，则，解得； ④当或时，若，则． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $