精品解析：河南省信阳市淮滨县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024-2025学年度上期九年级学业水平测试 数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列国产新能源汽车图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义直接判断即可． 【详解】解：观察四个选项可知，只有C选项中的图形绕某一点旋转180度后能与自身重合， 因此C选项中的图形是中心对称图形， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项、然后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以，． 故选C． 3. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式并写出顶点坐标，熟记二次函数的顶点式与顶点坐标是解本题的关键． 先把二次函数通过配方转化为顶点式，再写出顶点坐标即可． 详解】解：∵， ∴顶点坐标是：． 故选：B． 5. 如图，是的直径，点，在上，，交于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为90度可知，根据，可知，进而可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出的度数． 【详解】解：是的直径， ． ， ， ． ， ． ， 故选C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题的关键． 6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法、树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的同时闭合和，有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为 故选：B． 7. 已知的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，则的最长边的长为（　　） A. 8 B. 12 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设的最长边的长为x，根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】解：设的最长边的长为x， ∵的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6， ∴， 解得：， 则的最长边的长为12． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例计算，注意要找对对应边． 8. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图为二次函数的图象，则下列说法正确的有（ ） ①； ②； ③； ④当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 故①是错误结论； ∵根据图象，得抛物线与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ， 故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故③错误； 根据图象，得当时，． 故④正确． 故选：B． 10. 如图，在中，，，点D在上，连接若，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相似三角形的性质成为解题的关键． 根据已知条件可得、、，则，进而得到；再证可得，进而得到求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得：(舍弃负值) ． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答． 【详解】由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x， ∴tanA＝=． 故答案为． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 12. 点，是二次函数图象上的两个点，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较．将，代入，求出和，比较即可； 【详解】解：当时，； 当时，， ∵， ∴， 故答案：． 13. 一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了用频率估计概率，掌握“经过大量重复试验后，事件发生频率会稳定在一个常数，这个常数等于该事件发生的概率”，据此即可解答． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴箱子里球的总个数（个）， ∴红球的个数（个）， 故答案为：4． 14. 如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，再证明，推出推出点O在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ， ∴点O在菱形的对角线上， ， ∵， ， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ， ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识点，理解题意、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，△ABO的顶点A在函数的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案． 【详解】解：， ， 四边形MNQP的面积为3， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）依次计算零指数与负整数指数幂，绝对值及特殊角三角函数值，最后化简即可． 【详解】解：（1）移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， 解得：． （2）原式． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点中心对称，画出，并直接写出点的坐标． （2）绕原点顺时针旋转得到，画出． （3）求（2）中点在旋转过程中所形成的弧长长度． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求．由图可得，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接，则在中， ． 18. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）当时，请直接写出的取值范围． （3）过点作轴于点，连接．求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图像上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点的坐标； （2）根据图像即可求解； （3）根据题意可求出点的坐标，进而求出的值，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 反比例函数的表达式为， 、关于原点对称， ； 【小问2详解】 根据图像可知，当时， 的取值范围为：或； 【小问3详解】 根据题意得：， ， ． 19. 镇淮楼位于淮滨县走读淮河文化园景区中，有震慑淮水，保一方国泰民安之意．淮滨县某中学九年级师生组成综合实践小组，想要测量镇淮楼的通高（楼顶到水平地面的距离），他们在地面的点用测角仪测得楼顶的仰角为，在点处测得楼顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求镇淮楼的通高（，结果保留一位小数） 【答案】镇淮楼的通高约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得，，，，，利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而完成解答． 【详解】解：由题意得：，，，，， 是的外角， ， ， ， 在中，， ． 答：镇淮楼的通高约为． 20. 日晷（如图1）是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图2，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D）．点A在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与相交于点E，与相交于点B，连接，，． （1）求的度数． （2）连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等： （1）根据切线的性质可得，结合可得，进而可得，再证，得出，进而可得； （2）由（1）知，，解求出半径，再利用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵与相切于点D， ∴． 又∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴． ∴． 在 中， ． 21. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）利润为元，求的值；（3）求出利润函数解析式，根据二次函数性质求出最值． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 与之间的函数关系式：； 【小问2详解】 根据题意，得， 解得， 尽可能让利于顾客， ， 答：每个毛绒玩具售价应定为元； 【小问3详解】 ， 获利不得高于进价的，， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时． 答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元． 22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，求函数最大值与最小值的差； （3）点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2）函数最大值与最小值的差为9； （3）的取值范围为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得函数的对称轴，得到最小值，再把和代入解析式求得函数值，据此求解即可； （3）先求得时，的值，当线段与二次函数图象的交点分别为或时，据此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴为直线， ∵在范围内， ∴当时，函数有最小值为； 当时，； 当时，； ∴当时，求函数最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：令得， 解得或； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 综上，的取值范围为或． 23. 综合与实践 如图1，在中，，，点、分别是边、的中点，连接，将绕点逆时针方向旋转，旋转角为． （1）观察发现 当时，_________； 当时，_________． （2）探究迁移 当时，请仅就图2的情形解决下列问题： 试判断的大小有无变化并说明理由； 若直线与直线相交于点，设直线与直线所夹锐角为，求的值． （3）拓展应用 当绕点逆时针方向旋转至、、三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）的大小无变化； （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，在Rt中，勾股定理，可求的长，然后根据点分别是边的中点，分别求出的大小，即可求出的的值；当时，可得，然后根据，可求的值； （2）①首先判断出，再根据，判断出，然后由相似三角形的对应边成比例，可求解； ②如图，设交于点，根据得出，根据对顶角相等以及三角形内角和定理可得，进而根据正切的定义，即可求解． （3）分两种情形：当点在的延长线上时；当点在线段上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①当时， Rt中，， ， 点分别是边的中点， ，， ， 故答案为：； ②如图， 当时，可得， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图， 当时，的大小没有变化， ， ， ， ， ； ②如图，设交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又， ∴ 【小问3详解】 解：如图，当点在的延长线上时， 在Rt中，，， ， ， ， ； 如图，当点在线段上时， 在Rt中，，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，求正切等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上期九年级学业水平测试 数学试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列国产新能源汽车图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C ， D. 3. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点，在上，，交于点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三边长分别为4、6、8，与它相似的的最短边长为6，则的最长边的长为（　　） A. 8 B. 12 C. 10 D. 9 8. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图为二次函数的图象，则下列说法正确的有（ ） ①； ②； ③； ④当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，，点D在上，连接若，且，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____． 12. 点，是二次函数图象上的两个点，则________（填“”，“”或“”）． 13. 一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为_____． 14. 如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，△ABO的顶点A在函数的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）与关于原点中心对称，画出，并直接写出点的坐标． （2）绕原点顺时针旋转得到，画出． （3）求（2）中点在旋转过程中所形成的弧长长度． 18. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，其中点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标． （2）当时，请直接写出的取值范围． （3）过点作轴于点，连接．求的面积． 19. 镇淮楼位于淮滨县走读淮河文化园景区中，有震慑淮水，保一方国泰民安之意．淮滨县某中学九年级师生组成综合实践小组，想要测量镇淮楼的通高（楼顶到水平地面的距离），他们在地面的点用测角仪测得楼顶的仰角为，在点处测得楼顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求镇淮楼的通高（，结果保留一位小数） 20. 日晷（如图1）是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图2，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D）．点A在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与相交于点E，与相交于点B，连接，，． （1）求的度数． （2）连接，求长． 21. 在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，求函数最大值与最小值的差； （3）点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 如图1，在中，，，点、分别是边、的中点，连接，将绕点逆时针方向旋转，旋转角为． （1）观察发现 当时，_________； 当时，_________． （2）探究迁移 当时，请仅就图2的情形解决下列问题： 试判断的大小有无变化并说明理由； 若直线与直线相交于点，设直线与直线所夹锐角为，求的值． （3）拓展应用 当绕点逆时针方向旋转至、、三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$