精品解析：湖北省咸宁市赤壁市华师元一赤壁学校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷

高一年级3月联考 数学试卷 考试时间：2025年3月12日8:00-10:00 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，，所以， 故选：B. 2. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式和分式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：D 4. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性，求，，，，结合零点存在性定理确定零点所在的区间. 【详解】因为函数和函数在上都单调递增， 所以函数为增函数， 又，，，， 由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是. 故选：C. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 6. 已知函数，，则的图象（ ） A. 与的图象相同 B. 与的图象关于y轴对称 C. 向左平移个单位长度，得的图象 D. 向右平移个单位长度，得的图象 【答案】D 【解析】 【分析】先应用诱导公式化简，再应用平移可得选项. 【详解】因为, , 所以向右平移个单位长度，得的图象. 故选：D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数图象性质排除选项AB，然后根据特殊值的符号排除D. 【详解】由题意得设，函数的定义域为， ，所以函数为奇函数. 对A、B：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故A、B错误； 对C、D：由图象可知函数为奇函数，令，得，故D错误，故C正确. 故选：C 8. 设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得. 【详解】， 由，，可得， 根据正弦函数的单调性，可得：，又， 所以，即. 故选：D. 二、多选题 9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项中的函数定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知其定义域为，满足奇函数定义，且为增函数，即A正确； 对于B，易知其定义域为，满足偶函数定义，不符合题意，B错误； 对于C，易知其定义域为，关于原点对称， 但它在和上单调递减，C错误； 对于D，显然的定义域为，且满足，为奇函数， 当时，在上单调递增， 由奇函数性质可知函数在定义域内单调递增，即D正确. 故选：AD 10. （多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法正确的是（ ） A. （，）可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面内任一向量，使的实数，有无数多对 C. 若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，，使，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理判断A，B，D，举反例判断C即可. 【详解】对于A，B，D，向量，可视为一组基底， 则由平面向量基本定理可知A、D正确，B错误， 对于C，当时，这样的有无数个，故C错误． 故选：AD. 11. 对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断与之间充分性和必要性. 【详解】对于A，对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立，又，所以是倒函数．故A正确． 对于B，定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数，故B错误． 对于C，令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以，要使有正整数解， 则，当时，； 当时，；所以没有正整数解，故C正确． 对于D，充分性：当时，且，因为是增函数， 所以，，即，， 所以． 必要性：当时， 有， 因为恒大于0，所以，即， 所以，因为是增函数，所以，即； 综上可得是的充要条件，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解倒函数定义. 三、填空题 12. 已知函数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，，，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦倍角公式，同角三角函数关系及角的范围求出，， ，再利用凑角法，正弦的差角公式求出答案. 【详解】，即 又因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 又， 所以， 而， 所以 故答案为： 14. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算即得. 【详解】因函数为奇函数，， 函数关于x＝1对称，则有， 则有，变形可得， 则有，即4是函数的一个周期， 则， 又由当时，，则， 则． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出，再利用诱导公式求得值. （2）由（1）的信息，利用齐次法求得值. 【小问1详解】 由， 得，所以. 【小问2详解】 . 16. 设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线； （2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使，由此列方程组可解. 【小问1详解】 因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线 小问2详解】 因为和共线， 所以存在实数，使. 因为，是两个不共线的向量，所以， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间和最小正周期； （2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期； （2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出最大值，即可知的取值范围. 【小问1详解】 . 所以函数的最小正周期. 由，解得. 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 由题意可知，即. 因为，所以. 故当，即时，取得最大值，且最大值为. 所以，实数的取值范围为. 18. 闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）160万片 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的分段函数即可； （2）分成两种情况分别求出最值，再比较大小即可. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时，， 函数图象开口向下，对称轴为， 故的最大值为(万元)； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为730（万元）， 因为，所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级3月联考 数学试卷 考试时间：2025年3月12日8:00-10:00 一、单选题 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，则的图象（ ） A. 与的图象相同 B. 与的图象关于y轴对称 C. 向左平移个单位长度，得的图象 D. 向右平移个单位长度，得的图象 7. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设，若函数在上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法正确的是（ ） A. （，）可以表示平面内所有向量 B. 对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对 C. 若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，，使，则 11. 对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（    ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件 三、填空题 12. 已知函数，则______. 13. 已知，，，，则值为_______． 14. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________． 四、解答题 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 16. 设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； 17. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间和最小正周期； （2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围. 18. 闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$