精品解析：江苏省泰州市姜堰区励才实验学校2024-2025学年下学期七年级数学独立作业一

七年级下学期数学独立作业一 一、选择题（18分） 1. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 2. 用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ） A. B. C. D. 3. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（30分） 7. “墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．诗人以梅花的坚强和高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人．梅花的花粉直径约为，将数据用科学记数法表示为_____． 8. ______． 9. 若，则x需要满足的条件是_______． 10. 已知，，则__________． 11. 计算：______． 12. 若，则的值是_____． 13. A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则_____．（填“”或“”或“”） 14. 若，则的值是_____． 15. 若，则_____． 16. 如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是_____． 三、简答题 17. 计算： （1）． （2）． 18. 运用乘法公式计算： （1）． （2）． 19. 先化简，再求值： （1），其中 （2），其中，． 20. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）计算：的结果． 21. 已知，． 求值： （1）； （2）； （3）． 22. 如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含、的多项式表示会客室_____平方米；会议厅的占地面积_____平方米． （2）如果，，会议厅的占地面积比会客室的占地面积大多少平方米？ 23. 根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容． 小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ； （1）小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：______； （2）小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是m（，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为（用含m，n的式子表示）______； （3）请对这个规律进行证明． 24. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）_____；若，则_____； （2）已知，，，若，则的值是_____； （3）若，． ①求的值； ②求的值． 25. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_____． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是_____．（直接写出结果） 26. 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： （1）已知，则_____； （2）多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； （3）若，求的值. （4）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，，……．请完成下列问题： ①根据规律，的值是_____； ②计算：； ③请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期数学独立作业一 一、选择题（18分） 1. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项以、同底数幂的乘除法、积的乘方等知识，分别根据运算法则计算后再进行判断即可 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可. 【详解】解：，此时计算最简便； 故选B 3. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查乘法公式-平方差公式的结构特征，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据的结构特征，可选择乘法公式-平方差公式， ， 故选：D． 4. 图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用．正确列出算式，并用因式分解进行简便计算是解题的关键． 根据放置冰块部分的面积可以看作两个正方形的面积差，列出算式，再用平方差公式分解因式，简便计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 5. 若，，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的运算，幂的乘方，正确推出，是解题的关键．先求出，则，再推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选A． 6. 下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，因式分解的应用；设两个连续偶数为，，再利用因式分解可判断①，设两个连续奇数为，，再利用因式分解可判断②，设个位数为的整数为，再进一步可判断③． 【详解】解：设两个连续偶数为，， 则， ∵n为整数， 所以中的是正奇数， ∴是4的倍数， 故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数． 故①不符合题意； 设两个连续奇数为，， 则， ∵n为整数， 所以中的是正奇数， ∴是8的倍数， 故两个连续奇数数的平方差一定是8的倍数． 故②符合题意； 设个位数为的整数为， ∴， ∴任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数，故③符合题意； 故选：C． 二、填空题（30分） 7. “墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．诗人以梅花的坚强和高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人．梅花的花粉直径约为，将数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解： 故答案为： 8. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，负整数指数幂，掌握“单项式除以单项式的法则进行运算”是解本题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 9. 若，则x需要满足的条件是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据非0数的零次幂等于1，即可得出结论． 本题考查零指数幂的定义．熟记非0数的零指数幂为0是解题关键． 【详解】解：若，则， 解得． 故答案为：． 10. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，同底数幂的除法，幂的乘方运算，逆用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法与除法，根据，求解即可得到答案 【详解】解：原式 ， 故答案为： 12. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的运算法则化简，即可得到关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴，解得． 故答案为：． 13. A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则_____．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及整式的大小比较，熟练掌握多项式乘多项式及整式的大小比较是解题的关键． 由题意及图形可得，进而运用作差法求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ， 故答案为：． 14. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用和求代数式的值，准确因式因式分解是关键．把原式变形整体代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 15. 若，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂；根据完全平方公式展开，得出，，分类讨论，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， 当时，， 当时， 故答案为：或． 16. 如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三项完全平方公式的应用，由三项完全平方公式得，即可求解；能熟练利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解：由公式得： ， ∴这三个正方形的面积和是， 故答案为∶． 三、简答题 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 18. 运用乘法公式计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式与平方差公式的应用； （1）直接利用完全平方公式进行计算即可； （2）直接利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 19. 先化简，再求值： （1），其中 （2），其中，． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，解决本题的关键是根据乘法公式把各部分展开，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． （1）首先根据单项式，多项式的乘法运算法则计算乘法运算，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，得到化简的结果，把的值代入化简后的代数式计算求值即可； （2）首先根据完全平方公式和多项式的乘法计算乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式计算求值即可． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式； 【小问2详解】 解： ； 当，时，原式； 20. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）计算：的结果． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求得，结合（1）所求即可解答； （3）逆用积的乘方法则解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ． 21. 已知，． 求值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方差公式，利用平方根的含义解方程， （1）先根据完全平方公式求出，再进一步即可得到答案． （2）先根据完全平方公式求出，再进一步即可得到答案． （3）根据条件可得，可得，再结合平方差公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴； ∴； 22. 如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． （1）用含、的多项式表示会客室_____平方米；会议厅的占地面积_____平方米． （2）如果，，会议厅的占地面积比会客室的占地面积大多少平方米？ 【答案】（1）， （2）会议厅比会客室大50平方米． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，已知式子的值，求代数式的值等知识． （1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出，再根据得到，再将变形为整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：由图形得，会客室的长为米，宽为米， ∴会客室的面积为平方米； 会议厅的长为米，宽为米， ∴会议厅的面积为平方米； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∵， 平方米． 答：会议厅比会客室大50平方米． 23. 根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容． 小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： ； （1）小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：______； （2）小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是m（，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为______，上述规律可以表示为（用含m，n的式子表示）______； （3）请对这个规律进行证明． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 由（2）知， 左边 ． 右边， 所以左边＝右边， 故原等式成立． 【解析】 【分析】该题重点考查了代数式表示以及整式乘法运算，解答的关键是读懂题意． （1）根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”解答即可； （2）根据题干规律另一个两位数十位相同，个位等于10减去上一个两位数的个位解答即可； （3）将化简即可； 【小问1详解】 解：由题知， 符合这个特征的算式可以是：． 故答案为：（答案不唯一）． 【小问2详解】 由题知，另一个两位数的十位数为m，个位数为， 所以另一个两位数可表示为：， 则上述规律可表示为：． 故答案为：，． 【小问3详解】 略 24. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）_____；若，则_____； （2）已知，，，若，则的值是_____； （3）若，． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案； （3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 【点睛】本题主要考查了新定义，同底数幂除法计算，幂的乘方及积的乘方，多项式的乘法，负整数指数幂的含义，熟记运算法则，理解新定义是解本题的关键． 25. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_____． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是_____．（直接写出结果） 【答案】（1），，（2），（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）图1阴影的面积：； 图2阴影的面积：； （2）图3阴影的面积：； （3）由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 26. 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： （1）已知，则_____； （2）多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； （3）若，求的值. （4）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，，……．请完成下列问题： ①根据规律，的值是_____； ②计算：； ③请直接写出的值． 【答案】（1） （2）8，128 （3） （4）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据系数的变化规律进行解答即可； （2）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可； （3）根据规律得到当时，，即可求出答案； （4）①根据规律得出，进而计算即可求解； ②根据题意得到，运用此公式进行展开计算即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，各项系数和为128； 故答案为：8，128． 【小问3详解】 ∵ ∴当时， 即 ∴ 【小问4详解】 ①由题意得：， ， ， …… ∴ ∴ 故答案为： ②由①得到， ∴ ∴ ③ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $