精品解析：安徽省黄山市2025届高中毕业班第一次质量检测数学试题

黄山市2025届高中毕业班第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 或3 B. 或2 C. 0或2 D. 3或2 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. 7 D. 3. “”是“为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，是三种电子信息传递元件，第一次由元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在元件中的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，多选、错选的得0分． 6. 某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（ ） 分组 频数 频率 2 0.050 13 0.325 18 0.450 a m b 0.075 女志愿者考核成绩频率分布表 A. 被抽取的男女志愿者人数均为40 B. ，， C. 样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7 D. 样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93 7. 设函数，则（ ） A. 存在，函数仅有一个极值点 B. 曲线关于点对称 C. 当时，是曲线的切线方程 D. 当时，函数有唯一零点 8. 如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，（为坐标原点）．设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为______． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 11. 如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． （1）当时，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 12. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄山市2025届高中毕业班第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 或3 B. 或2 C. 0或2 D. 3或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】若，则，解得或. 故选：C. 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数定义求出，利用两角和的正切公式求解. 【详解】由题意，可得， . 故选：B. 3. “”是“为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若为双曲线方程，则， 解得或， 故是“为双曲线方程”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，，是三种电子信息传递元件，第一次由元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在元件中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法求出所有的传递方法共有多少种，找出第3次传递恰好在元件中的情况，再由古典概型的概率公式计算可得． 【详解】依题意三次传递所有的传递方法有： ；； ；； ；； ；，则共有8种传递方法． 第三次传递后，信息在元件中的有两种情况， 所以第三次传递后，信息在元件中的概率 故选：B． 5. 已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球，可得，结合球的表面积计算公式即可. 【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为， 易知三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，多选、错选的得0分． 6. 某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（ ） 分组 频数 频率 2 0.050 13 0.325 18 0450 a m b 0.075 女志愿者考核成绩频率分布表 A. 被抽取的男女志愿者人数均为40 B. ，， C. 样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7 D. 样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，B，由女志愿者考核成绩频率分布表可求得女志愿者的人数为40，进而求出的值，得解；对C，根据考核等级为优秀的标准分别计算男女志愿者人数判断；对D，根据百分位数的定义求解判断. 【详解】对于A，由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为， 所以被抽取的男女志愿者人数均为40，故A正确； 对于B，由，得，则，所以，故B正确； 对于C，样本中考核等级为优秀的男志愿者人数为， 样本中考核等级为优秀的女志愿者人数为，故C错误； 对于D，样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 7. 设函数，则（ ） A. 存在，函数仅有一个极值点 B. 曲线关于点对称 C. 当时，是曲线的切线方程 D. 当时，函数有唯一零点 【答案】BC 【解析】 【分析】求导即可判断函数极值点个数，从而判断A，利用函数对称性的定义代入计算，即可判断B，利用导数的几何意义即可判断C，借助函数单调性以及极值，即可确定零点个数，从而判断D. 【详解】对于A，由题意可得，当时，恒成立， 函数在上单调递减，无极值点，当时，令， 即，解得，此时函数有两个极值点， 所以不存在，使函数仅有一个极值点，故A错误； 对于B，设是图像上任意一点，则， 点关于点对称的点为， 将代入函数可得， 而， 所以曲线关于点对称，故B正确； 对于C，当时，，， 若是切线方程，则其斜率为9， 令，解得， 当时，，切线方程为， 化简可得； 当时，，切线方程为， 化简可得； 所以是曲线的切线方程，故C正确； 对于D，由，当时，令，可得， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； ， ， 当时，，当时，， 所以函数在上各有一个零点， 即函数有三个零点，故D错误； 故选：BC 8. 如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，（为坐标原点）．设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正三角形的性质以及曲线方程找出数列与的递推关系，即可判断AB，然后求得，由平方和公式代入计算，即可判断C，再由时，，由裂项相消法代入计算，即可判断D. 【详解】已知，设，因为为正三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，化简可得，因为，解得，则， 即，则， 由，则的横坐标为，纵坐标为， 且曲线上，故①， 又因为，即代入①可得， 即②， 当时，， 再将代入上式可得③， 由②③可得，即， 由 ，可得，故得， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，因， 则 ，故B错误； 对于C，因为是正三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得， 故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则 ，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数列的递推关系以及求和公式与不等式的相关知识，难度较大，解答本题的关键在于由曲线方程得到数列的递推公式，从而求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得， 又为偶函数，则，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变换成，利用的单调性和奇偶性进行求解. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分，请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 11. 如图，四棱锥中，平面，，，，，点在棱上． （1）当时，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，二面角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明如下： 连接交于点，连接， 由 知，，∴， ∵，∴，∴， 又平面，平面，∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用几何性质证明，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设，求出平面的法向量，用表示出平面的法向量，利用向量的夹角公式计算，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，∴为与底面所成角， 即，∴， 又四边形是直角梯形， 故以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ∴，，， 设平面法向量为，则 ， 即 ，令，则， 设， 则， 设平面法向量为，则， 即 ，令，则， 因为二面角的余弦值为， ∴，解得， 所以，， 所以. 12. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为0. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，判断单调性，根据单调性求出最值； （2）求出导数，分和讨论，判断单调性求出极小值，可得，构造函数，，利用导数求出答案. 【小问1详解】 当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， ，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为0. 【小问2详解】 ，， 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，有极小值，极小值为， 由，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $