精品解析：河南省南阳市镇平县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

河南省南阳市镇平县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性可知，， 解得， 故选：D． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：的一元二次方程整理得， ∴，，， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 3. 如图，一架飞机在地面目标的正上方米处，飞行员测得另一地面目标的俯角为，则，之间的距离为（ ） A. B. 1000 C. D. 2000 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握俯角的定义，根据题意，，，进而根据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：C． 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．直接根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为，即为，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：A． 5. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由可得，再由可求的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（ ） A. 4，2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 首先将变形为，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于的方程是由配方后得到的 ∴， ∴． 故选：C． 7. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点，点A、B之间的距离为1.2米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离是（ ）米． A. 0.68 B. 0.69 C. 0.86 D. 0.96 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：， ， ， 米， 米， 即C、D之间的距离是0.96米， 故选：D． 8. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．找出随机闭合开关、、中的两个的情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：画树状图，如图所示： 随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则（能让两盏灯泡、同时发光）． 故选：D 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意可知，对称轴为直线，图象与轴有另一个交点的横坐标是1，当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵顶点坐标是， ∴对称轴为直线， ∴，选项A说法错误，不符合题意； 由图象可知，，顶点坐标是， ，选项B说法错误，不符合题意； 当时，，选项D说法错误，不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，且与轴的一个交点的横坐标是， ∴图象与轴有另一个交点的横坐标是1， ∴，选项C说法正确，符合题意； 故选：C． 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是___________． 【答案】0，2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据因式分解法解一元二次方程即可解题． 【详解】解： 解得，， 故答案为：0，2． 12. 如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．斜坡的坡度，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是____________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．根据坡比的定义即可得从斜坡的起点至房屋门的最短的水平距离长． 【详解】解：在中， ∵ ∴， 故答案为：． 13. 圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之，刘徽，韦达、欧拉等数学家都对π有过深入研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) 乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) 丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁) ∵共有12种等可能的情况，其中至少有一幅是中国数学家的有10种结果， ∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 14. 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图象，先设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点的坐标，代入抛物线解析式，即可求出抛物线的解析式，然后再将点的纵坐标代入，即可得到点和点的横坐标，从而可以求得的长．解题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式． 【详解】解：设该涵洞的截面边缘对应的抛物线解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是， ∴， ∴， 解得：， ∴物线解析式为， 由题意可知点的纵坐标为：， 当时，得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∴涵洞的宽度是． 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 根据题意，由折叠的性质以及直角三角形的性质，知，分以下两种情况当时，最长， 最长；当时，最短，最短，分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围，线段长度的取值范围即可求解． 【详解】由折叠的性质可知：， 在中，P为的中点 ， 由题可得：当时，最长，最长值为6，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ． 三．解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，零指数幂和化简二次根式，再计算加减； （2）把特殊角的三角函数值带入计算即可． 本题主要考查了零指数幂，二次根式的乘法和二次根式化简，以及特殊角的三角函数值，熟记这些特殊值是解题的关键． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义． （1）年月日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______； （2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同， 若随机抽取一张卡片，则上面写有“立春”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：把写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片、、，画树状图如下： 由树状图可知：共有种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种， 两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； （2）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 【答案】（1）见解析； （2）①；②；③当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；④． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可． 【小问1详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 描点，连线，如图， ； 【小问2详解】 解：①根据图象可知，函数时，的取值范围是； ②方程即的根是； ③根据图象可知，此函数一条性质为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 19. 数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，某小组把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），进行了如下图所示的实践活动：由所测数据，画出示意图（图4），量得眼睛到地面的距离，所站位置到旗杆底部的距离． （1）根据图3中测角仪的读数可知仰角的度数为_______________． （2）根据已测数据，求旗杆的高度．（精确到，参考数据：，，）． 【答案】（1） （2）旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形综合和锐角三角函数的实际应用，掌握解直角三角形和三角板的特征是解题关键． （1）根据测角仪得出度数为，所以α为； （2）解直角三角形即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据测角仪得出度数为，所以α为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，四边形为矩形， 可得， 在中，， ， ． 答：旗杆的高度约为． 20. 如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连接与的延长线交于点． （1）求证：平分． （2）①比较大小：_________（填“＞，=，＜”）． ②若的半径为，则的长为____________． （3）若，，则的长为____________． 【答案】（1）见解析； （2）；； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质、对顶角相等、圆周角定理、四边形内角和解答即可； （2）利用相似三角形判定与性质，解直角三角形、圆周角定理解答即可； 利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ． 为的直径， ． ， ． ， ． ． 平分． 【小问2详解】 解：由上题可知 ，， ． ， ． ． ， ． 为的直径， ． ， ． 半径为， ． ， ．解得．(负数舍去) ． ，， ． ， ． ，即． ． ． 故答案为：；； 【小问3详解】 解：为的直径， ． ，， ． ． ， 为等边三角形． ，． ． ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质的性质是解题的关键． 21. 某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）点，点的坐标分别为________、__________； （2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式； （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 【答案】（1）， （2） （3）王师傅不会被淋湿，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由图可得点C、D的坐标； （2）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可； （3）求出时y的值，与1.85比较大小即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知抛物线顶点D坐标为，点C坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意，可设抛物线的表达式为， 将点C的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：当时，， ． 答：王师傅不会被淋湿． 22. 如图，华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题：如图1，在中，于点，找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）动手实践：王老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图，现请你利用尺规作图在图2中作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）． （2）观察思考：你发现图中存在__________对相似三角形． （3）深入探究：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，写出下列三个结论： ①；②；③____________． 请补全③，并按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明； 【答案】（1） 见解析 （2）3； （3），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”可以作边上的高； （2）利用相似三角形的判定即可证明； （3）利用（1）中结论，可得， 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，且， ∴， 在和中，， ∴， 同理可得：， ∴图中所有相似的三角形有：，共3对； 故答案为：3； 【小问3详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 23. 综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ 【尝试探究】 （1）如图，设围成的矩形花圃为．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的．请补充完整如表格： 的长（） 的长（） 面积（） 【观察发现】 （2）设的长为，矩形的面积为，我们发现：是的函数． ①请写出与的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）； ②自变量的取值范围是：_______________； 【问题解决】 （3）请将与的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 （4）用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________． 【答案】（1），，，，，；（2）①；②；（3），最大值为；（4）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、解题的关键是明确题意，建立二次函数模型再利用二次函数的性质． （1）根据矩形的面积公式解析计算完成填表即可求解； （2）①根据矩形的面积公式可以得到y与x的函数关系式 ②根据矩形即可求出自变量的取值范围； （3）根据题意化为顶点式，根据二次函数的性质求得最大值； （4）根据（2）的方法列出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）列表如下， 的长（） 的长（） 面积（） 42 （2）① 故答案为： ②∵ ∴， 故答案：． （3） ∵， ∴当时，最大值为； （4）设与墙垂直一边长度为，围成的花圃的面积为， 依题意， ∴当时，最大值为； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省南阳市镇平县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果在实数范围内有意义，则x取值范围是（　 ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 如图，一架飞机在地面目标的正上方米处，飞行员测得另一地面目标的俯角为，则，之间的距离为（ ） A. B. 1000 C. D. 2000 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（ ） A. 4，2 B. C. D. 7. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点，点A、B之间的距离为1.2米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离是（ ）米． A. 0.68 B. 0.69 C. 0.86 D. 0.96 8. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是___________． 12. 如图，一个公共房屋门前的台阶共高出地面米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．斜坡的坡度，则从斜坡的起点至房屋门的水平距离是____________米． 13. 圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之，刘徽，韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是______． 14. 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是____________． 15. 如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，折痕交边于点，交边于点S，P为的中点，连接，则线段长度的取值范围是____________． 三．解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义． （1）年月日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______； （2）老师选出写有“谷雨、芒种、白露”的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； （2）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 19. 数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，某小组把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），进行了如下图所示的实践活动：由所测数据，画出示意图（图4），量得眼睛到地面的距离，所站位置到旗杆底部的距离． （1）根据图3中测角仪的读数可知仰角的度数为_______________． （2）根据已测数据，求旗杆的高度．（精确到，参考数据：，，）． 20. 如图，锐角内接于，射线经过圆心并交于点，连接与的延长线交于点． （1）求证：平分． （2）①比较大小：_________（填“＞，=，＜”）． ②若的半径为，则的长为____________． （3）若，，则的长为____________． 21. 某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）点，点坐标分别为________、__________； （2）求水柱所在抛物线对应函数表达式； （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 22. 如图，华东师大版九年级上册数学课本67页有这样一道练习题：如图1，在中，于点，找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）动手实践：王老师在上课时，发现这道题是个很好的素材，可以帮助同学们回忆基本尺规作图，现请你利用尺规作图在图2中作边上的高（不写作法，保留作图痕迹）． （2）观察思考：你发现图中存在__________对相似三角形． （3）深入探究：爱思考的小明利用探究出来的相似三角形，写出下列三个结论： ①；②；③____________． 请补全③，并按照小明的思路，选择①、②、③中的一个进行证明； 23. 综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ 【尝试探究】 （1）如图，设围成的矩形花圃为．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的．请补充完整如表格： 长（） 的长（） 面积（） 【观察发现】 （2）设的长为，矩形的面积为，我们发现：是的函数． ①请写出与的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）； ②自变量的取值范围是：_______________； 【问题解决】 （3）请将与的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 （4）用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$