精品解析：上海浦东部分学校2022-2023学年下学期九年级3月月考数学试卷

2022学年第二学期九年级阶段练习卷（数学）（3月） （完卷时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 为了解本校初三年级名学生数学学习情况，从一次数学月考测试中抽取位学生的成绩进行调查分析．下列说法正确的是（ ） A. 名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 名学生是一个样本 D. 是样本容量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要明确考查的对象； 要分清具体问题中的总体、个体与样本，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：A、名学生的数学成绩是总体，不符合题意； B、每名学生的数学成绩是个体，不符合题意； C、名学生的数学成绩是一个样本，不符合题意； D、是样本容量，符合题意； 故选：D 2. 如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 3. 下列命题中，假命题是（　　） A. 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 B. 如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 C. 如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心 D. 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆的相关概念，根据垂径定理、圆的相关概念逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意； B、当弦本身是另一条直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，故原说法错误，是假命题，符合题意； C、如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心，说法正确，是真命题，不符合题意； D、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 4. 已知、的半径不相等，的半径长为，若上的点满足，则与的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相切或相离 C. 相交或内含 D. 相切或内含 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆之间的位置关系，解决本题的关键是根据上的点满足，判断两圆之间的位置关系，需要分三种情况讨论． 【详解】解：如图所示，此时与外切， 如图所示，此时与内切， 如图所示，此时与相交， 与的关系是相切或相交． 故选：A ． 5. 同圆的内接正三角形与内接正六边形面积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接正三角形与正六边形的性质、正三角形与正六边形的面积的计算、垂径定理，设的半径为R，作作于M，于N，连接、、；则，，由的内接正三角形的性质得出，得出，，得出，求出的面积，同理得出，，，正六边形的面积，即可得出结果． 【详解】解：设的半径为R，如图所示： 作于M，于N，连接、、； 则，， ∵是的内接正三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴的面积， 同理：，，， ∴正六边形的面积， ∴的内接正三角形与正六边形的面积之比为． 故选：B． 6. 某人在统计15个数据时，算出中位数和平均数都是85，但后来发现，错将其中的一个数据78输入为87，由此求出的中位数（ ） A. 等于85 B. 小于85 C. 小于等于85 D. 大于等于85 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．数据按照从小到大排列，根据中位数的定义得出最中间的数是85的前一位数，应该小于等于85，从而选出正确答案． 【详解】解：∵原来的中位数85，将78输入为87， ∴最中间的数是85的前一位数，应该小于等于85， 即中位数小于等于85， 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 正八边形_______（填是或不是）中心对称图形． 【答案】是 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别（把一个图形绕一个定点旋转180度后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）．根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵将正八边形绕着中心旋转180度后，能与初始图形重合， ∴正八边形是中心对称图形． 故答案为：是． 8. 若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度． 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=，即可得出答案． 【详解】解：∵正多边形的每一个外角都等于36°， ∴正多边形的边数为：， ∴这个正多边形的中心角为：. 故答案为：36． 【点睛】本题考查正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质并根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键． 9. 小明与小华上学期的几次语文测验成绩的平均分都为84分，但方差分别为5.8和16.4，由此可以看到这两人中____________的语文成绩比较稳定． 【答案】小明 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，也就是波动越大，数据越不稳定，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据一组数据方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小来进行判定求解． 【详解】解：，平均成绩都是分， 则成绩较稳定的同学是小明． 故答案为：小明． 10. 数据-1，0，1，2，3的标准差为______． 【答案】 【解析】 【分析】先算出这组数据的平均数，再根据方差公式计算出方差，求出其算术平方根即为标准差． 【详解】解：数据-1，0，1，2，3的平均数为= [-1+0+1+2+3]=1， 方差为S2=[（-1-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2-1）2+（3-1）2]=2， ∴标准差为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查标准差的计算，计算标准差需要先算出方差，熟知方差的计算方法是解决问题的关键． 11. 如果一组数据的平均数是2023，那么的平均数是__________． 【答案】2020 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数，首先计算出，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵数据的平均数是2023， ∴， ∴的平均数为： ， 故答案为：2020． 12. 如果两圆内切，圆心距为，一圆的半径为，那么另一圆的半径等于_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据“两圆内切，圆心距等于两圆半径之差”，进行计算． 【详解】解：根据题意，得另一个圆的半径是，或． 故答案为：或． 13. 如果点M是等腰的底边的中点，那么点M与以腰为直径的圆的位置关系是___________． 【答案】在圆上 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的性质，先由等腰三角形的性质得，再由直角三角形的性质得，再由圆的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，是的直径，点M是等腰的底边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴点M在上， 即点M与以腰为直径的圆的位置关系是在圆上． 故答案为：在圆上． 14. 已知直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共__个交点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离公式、一元二次方程根的判别式、圆的基本性质．设以点为圆心，为半径的圆上的点的坐标为，根据圆上的点到圆心的距离等于半径可得，把代入可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可知方程有个不相等的实数根，所以直线与圆有个交点． 【详解】解：设以点为圆心，为半径的圆上的点的坐标为， 根据题意可得：， 把代入， 可得：， 整理得：， ，，， ， 一元二次方程有个不相等的实数根， 直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共有个交点． 故答案为： ． 15. 在全国初中数学竞赛中，都匀市有40名同学进入复赛，把他们的成绩分为六组，第一组～第四组的人数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】由第五组的频率及数据总数可求得第五组的频数，进而求得第六组的频数，则可求得此组的频率． 【详解】解：∵都匀市有40名同学进入复赛，把他们的成绩分为六组，第一组一第四组的人数分别为10，5，7，6，第五组的频率是， ∴第五组的频数为，第六组的频数为， ∴第六组的频率是． 故答案为． 【点睛】本题考查了频数与频率，用到的知识点：频数=数据总数×频率，频率=频数÷数据总数，各组频数之和等于数据总数，掌握这个知识点是解题的关键． 16. 已知底边长为6的等腰三角形内接于半径为5的中，那么这个等腰三角形的腰长__． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理；①当该等腰三角形是锐角三角形时；②当该等腰三角形是钝角三角形时；由垂径定理可得出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：①当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示： 连接并延长交于点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示： 连接交于D，连接， 同理得：， ∴， ∴； 综上所述，的长度是或． ． 17. 中, ，，与相切，若与相交，则半径的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相交圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，若两圆半径为，圆心距为，两圆相交，则．过点作于点，利用勾股定理计算出的长度，再利用等面积法计算出的长度，再根据切线的性质得到为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到，最后解不等式即可． 【详解】解：过点作于点，如图， ，， ， ， ， 与相切， 为的半径，即的半径为， 与相交， ， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，平分交于点，是延长线上的点，是的中点，连接、，若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，分类讨论，与方程相结合，设未知数，列方程是解决问题的关键． 【详解】解：若是等腰三角形，存在三种情况： ①当时，如图1，过作于，于，连接， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 四边形矩形， ， 是的中点， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 设，则，， ，解得， ， ； ②当时，如图2， 在中，，， ， 是的中点， ； ③当时，如图3，作的中垂线交于，则， 过作于， 由①知：根据三线合一，可得点为的中点，， ， ，， ， ， ，， 综上所述，的长是或或， 故答案为：或或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，先进行分母有理化，根据零指数幂的性质、特殊三角函数值、分数指数幂的性质化简，最后合并即可． 【详解】解： ． 20. 解方程组：． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了高次方程组，解答本题的关键是把高次方程转变成两个低次方程进行求解． 把第二个方程因式分解，即可转化成两个二元一次方程，与第一个方程即可组成二元二次方程组，求解即可． 【详解】解：， 由可得：， 则或， 即或， 把代入得：， 解得：或， 此时方程组的解为：或； 把代入得：， 解得：或， 此时方程组的解为：或， 综上，方程组的解为：或或或． 21. 如图，已知在中，，，，以为半径的与、分别交于点、，连接，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）27 【解析】 【分析】（1）作交于点F，首先根据三角函数值求出，然后利用勾股定理求出，进而得到，最后利用勾股定理求解即可； （2）首先根据勾股定理的逆定理得到，作交于点G，然后证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用垂径定理得到，最后利用三角形面积公式求解即可． 然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 如图，作交于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， 如图所示，作交于点G， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查中学生参加户外活动时间为小时______人； （2）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角为_______度； （3）本次调查中学生参加户外活动的平均时间______小时，户外活动时间的众数为_____小时，中位数为______小时． 【答案】（1）12 （2）144 （3）1.18，1，1 【解析】 【分析】本题考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）先根据总数某组频数频率计算出本次调查的总人数，再根据户外活动时间为1.5小时的人数总数求解即可； （2）根据扇形圆心角的度数比例求解即可； （3）根据平均数、中位数与众数的定义解答即可． 【小问1详解】 解：调查总人数（人）， 户外活动时间为1.5小时的人数（人）， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：户外活动的平均时间（小时）， 户外活动时间众数和中位数均为1小时． 故答案为：1.18，1，1． 23. 如图，在正方形中，点在上，且，连接． （1）求证：以为直径的必过点，且与相切； （2）以为直径的与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】（1）见解析 （2）与相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）以为直径作，作于点H，根据直角三角形斜边中线的性质可得，可证必过点；证明，根据平行线分线段成比例，可得，推出是梯形的中位线，求出，可证点H在，结合，是的半径，可得与相切； （2）作于点F，连接，，利用证明即可得出与相切． 【小问1详解】 证明：如图，以为直径作，作于点H， 在正方形中，点在上，且， 设，则，， ， 的半径：； 中，是斜边中线， ， 以为直径的必过点； ，，， ， ， ， 是梯形的中位线， ， 点H在， 又，是的半径 与相切； 【小问2详解】 解：与相切，理由如下： 如图，作于点F，连接，， ， ，， ， ， 点F在， 又，是的半径， 与相切． 【点睛】本题考查正方形的性质，切线的判定，直角三角形斜边中线的性质，平行线分线段成比例，中位线的性质等，掌握切线的判定定理是解题的关键． 24. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一点，联结、，点抛物线上运动． （1）求该抛物线的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）若点在第四象限，点在延长线上，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出直线与轴、轴的交点坐标，再利用待定系数法求解； （2）当时，分点P在直线下方与点P在直线上方两种情况，根据点P与点A到直线的距离相等，求出点P所在直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程求出交点坐标即可； （3）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，通过导角得出，在x轴上取点，连接，结合得出，进而得出，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：， 令，得；令，得； ，； 将，代入， 得：， 解得， ； 【小问2详解】 解：中，令，得， 解得，， ，， 当时，点P与点A到直线的距离相等， 分两种情况： ①点P在直线下方时，点P在过点A且与直线的平行线上． 直线的解析式为， 设点P在直线上， 将代入，得：， 解得， 点P在直线上， 联立，得：， 解得，， 当时，点P的坐标为，与点A重合，不合题意； 当时，点P的坐标为，符合题意； ②点P在直线上方时，点P在与直线的平行线上，该平行线到直线的距离与点A到直线的距离相等． 直线的解析式为，过点A且与直线平行的直线解析式为， 点P所在直线的解析式为：， 联立，得：， 整理，得， ， 方程没有实数根， 这种情况不存在． 综上可知：点P的坐标为； 【小问3详解】 解：，，， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 在x轴上取点，连接，如图： 则， ， ， ， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 解方程组，得：或， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理逆定理的应用，利用平行线表达式的关系求直线的表达式等知识点，第三问难度较大，能根据，利用直线的解析式求出直线的解析式是解题的关键． 25. 如图，在梯形中，，，点为边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交线段于点． （1）求梯形的面积； （2）分别连接和，当与相似时，以点为圆心，为半径的与相交，试求的半径的取值范围； （3）将劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值． 【答案】（1） （2） （3）线段和的比值为定值，为 【解析】 【分析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质及与圆有关的位置关系等知识点． （1）作，由等腰梯形性质知、，据此利用梯形面积公式即可解答； （2）知，从而可设，则、，由得，据此求得的值，从而得出圆的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得； （3）在圆上取点关于的对称点，连接，作、，先证得，由、、知、，据此得出、及，继而表示出、的长，从而出答案． 【小问1详解】 解：如图，作于点，连接， 梯形中，，且， ， ， 梯形的面积为； 【小问2详解】 解：根据（1）中可得 设、、， ， ， 四边形是梯形，且， ， 当时， ，， ， ， ，即， 解得：（经检验，舍去）， 则，即圆的半径为， 圆与圆相交，且， ， ； 当时， ，即，为负值，不成立； 综上，； 【小问3详解】 解：如图，在圆上取点关于的对称点，连接，作于，于， 则、、、， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知、、， 、， 、， ， ，， ， 故线段和的比值为定值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022学年第二学期九年级阶段练习卷（数学）（3月） （完卷时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 为了解本校初三年级名学生数学学习情况，从一次数学月考测试中抽取位学生的成绩进行调查分析．下列说法正确的是（ ） A. 名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 名学生一个样本 D. 是样本容量 2. 如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，假命题是（　　） A. 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 B. 如果圆一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 C. 如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心 D. 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦 4. 已知、的半径不相等，的半径长为，若上的点满足，则与的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相切或相离 C. 相交或内含 D. 相切或内含 5. 同圆的内接正三角形与内接正六边形面积的比是（ ） A B. C. D. 6. 某人在统计15个数据时，算出中位数和平均数都是85，但后来发现，错将其中的一个数据78输入为87，由此求出的中位数（ ） A. 等于85 B. 小于85 C. 小于等于85 D. 大于等于85 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 正八边形_______（填是或不是）中心对称图形． 8. 若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度． 9. 小明与小华上学期的几次语文测验成绩的平均分都为84分，但方差分别为5.8和16.4，由此可以看到这两人中____________的语文成绩比较稳定． 10. 数据-1，0，1，2，3的标准差为______． 11. 如果一组数据的平均数是2023，那么的平均数是__________． 12. 如果两圆内切，圆心距为，一圆的半径为，那么另一圆的半径等于_______． 13. 如果点M是等腰的底边的中点，那么点M与以腰为直径的圆的位置关系是___________． 14. 已知直线，那么以点为圆心，为半径的圆与这条直线共__个交点． 15. 在全国初中数学竞赛中，都匀市有40名同学进入复赛，把他们的成绩分为六组，第一组～第四组的人数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频率是________． 16. 已知底边长为6的等腰三角形内接于半径为5的中，那么这个等腰三角形的腰长__． 17. 中, ，，与相切，若与相交，则半径的取值范围是___________． 18. 如图，在中，，，平分交于点，是延长线上的点，是的中点，连接、，若是等腰三角形，则______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 如图，已知在中，，，，以为半径的与、分别交于点、，连接，． （1）求的长； （2）求的面积． 22. 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查中学生参加户外活动时间为小时______人； （2）表示户外活动时间1小时的扇形圆心角为_______度； （3）本次调查中学生参加户外活动平均时间______小时，户外活动时间的众数为_____小时，中位数为______小时． 23. 如图，在正方形中，点在上，且，连接． （1）求证：以为直径必过点，且与相切； （2）以为直径的与有怎样的位置关系？为什么？ 24. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一点，联结、，点在抛物线上运动． （1）求该抛物线的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 25. 如图，在梯形中，，，点为边上一动点，作，垂足在边上，以点为圆心为半径画圆，交线段于点． （1）求梯形的面积； （2）分别连接和，当与相似时，以点为圆心，为半径的与相交，试求的半径的取值范围； （3）将劣弧沿直线翻折交于点，试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$