精品解析：广东省湛江市寸金培才学校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

初三级第三次学情调研数学科试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．主视图是从正面所看到的图形，根据定义和立体图形即可得出选项． 【详解】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是： 故选：D． 2. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，确定的值是解题的关键．将表示为的形式，其中，为整数． 【详解】， 故选：D． 3. 若反比例函数的图象经过点则k的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：C 4. 在中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 详解】解：∵， ∴， 故选A． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点B的坐标为，位似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】解: 和是以点0为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点A与点C是对应点， 点C的坐标为，即， 故选:B. 6. 如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．由勾股定理得出的长，再由旋转的性质得，即可求得结果． 【详解】解：，，， ， 由旋转所得， ， ， 故选：B． 7. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 向右平移3个单位得到 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意结合二次函数的性质，逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A．∵抛物线，，即开口向下，故该选项不正确，不符合题意； B．，对称轴是直线，故该选项正确，符合题意； C．向右平移3个单位得到，故该选项不正确，不符合题意； D．抛物线的顶点坐标为，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，为的直径，为弦，，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，连接，由圆内接四边形的性质可得，由垂径定理得，进而由圆周角定理可得，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， 故选：． 9. 某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息． 根据三角形内心的性质判断即可． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴点O是的内心，即点O是角平分线的交点， 故选：D． 10. 装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图1）和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表面且卡纸连接处无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽（如图2），则橙色扇形卡纸的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面扇形的相关计算，掌握勾股定理，扇形圆心角度数的计算是解题的关键． 根据题意可得圆锥底面圆的半径为，则有锥形侧面展开图的扇形的弧长为，根据扇形弧长公式（是扇形弧长，是扇形圆心角的度数，是扇形半径）可求出扇形的圆心角的度数，根据橙色扇形卡纸所占的比例即可求解． 【详解】解：已知母线长为、高为的锥形草帽， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的周长，即锥形侧面展开图的扇形的弧长为， 又锥形侧面展开图的扇形的半径为， ∴该扇形的圆心角的度数， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴橙色扇形卡纸的圆心角的度数， 故选：D ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与关于原点对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质和负整数指数幂，正确得出，的值是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而代入求值即可． 【详解】解：点与关于原点对称， ，， 解得：， ． 故答案为：． 12. 若一元二次方程有一个解为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x的值准确代入方程进行计算． 将代入方程，即可求解． 【详解】解：依题意，将代入方程， 得， 解得：， 故答案为：3． 13. 如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为_________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及余弦的定义是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 14. 如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用相似三角形测高，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．根据，得到，得到，代入相关数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， ∴， ∴： ∴， ∴路灯的高度为． 故答案为：． 15. 如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为4，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 为直角三角形，且，轴， ，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 的面积为4， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 详解】解： ， 当时，原式． 18. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式，并在平面直角坐标系中描点画出这个反比例函数的图象； （2）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】（1），见解析 （2）小孔到蜡烛的距离至少是厘米 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由题意设设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式，然后画出函数图象即可； （2）把当代入，然后结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得：，解得， ∴关于的函数表达式为：， 如图所示： 【小问2详解】 解：当时，，解得：， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 答：小孔到蜡烛的距离至少是厘米． 四、解答题（二）（本大题共3小题：每小题9分，共27分） 19. 北京冬奥会于年2月4日正式拉开帷幕．某校对九年级部分学生对冰上运动项目：A:速度滑冰、B:短道速度滑冰、C:花样滑冰、D:冰球的知晓情况进行了调查．并将调查情况制成了两幅不完整的统计图．试根据图中信息，回答下列问题： （1）本次调查方式是______调查，共调查了______名学生； （2）扇形统计图中项目D所对应的圆心角为______度；请补齐条形统计图； （3）已知项目D中男女学生人数相等，若从项目D的学生中随机抽取2名学生参加冰上运动宣讲会，请用列表或画树状图的方法，求抽取学生恰好为一男一女的概率． 【答案】（1）抽样， （2），图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由题意得出调查方式为抽样调查，再由A项目的人数除以所占百分比即可； （2）求出B、C项目的人数，补齐条形统计图即可； （3）画树状图，共有个等可能的结果，其中抽取学生恰好为一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得：调查方式为抽样调查， 调查学生人数为：（名）， 故答案为：抽样，； 【小问2详解】 解：项目人数为（名）， ∴项目人数为（名）， ∴图2中D选项所对应的圆心角度数为， 故答案为：， 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：项目D中男女学生人数相等， ∴男生2名，女生2名， 画树状图如下： 共有个等可能的结果，其中抽取学生恰好为一男一女的结果有8种， ∴抽取学生恰好为一男一女的概率为． 20. 已知一个长方体包装盒的表面展开图如图（单位：）． （1）的长为 ；（用含有的代数式表示） （2）若此包装盒的容积为，请列出关于的方程，并求出的值； （3）是否存在这样的的值，使得此包装盒的容积最大？若存在，请求出相应的的值和最大容积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2），的值为或； （3）存在，的值是时，此包装盒的容积最大，最大容积为． 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，一元二次方程和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据容积，列出关于的一元二次方程求解即可； （3）设此包装盒的容积是，根据题意得，由二次函数性质即可得出答案． 小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理得：， 解得：， ∴的值为或； 【小问3详解】 解：存在的值，使得此包装盒的容积最大， 设此包装盒的容积是， 根据题意，得：， ∵， ∴时，取最大值，最大值为 答：的值是时，此包装盒的容积最大，最大容积为． 21. 如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，为铁架的垂直管．（参考值：） （1）求长度（结果精确到米）； （2）求铁架垂直管的长度（结果精确到米）． 【答案】（1）米 （2）铁架垂直管的长度约为米 【解析】 【分析】（）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出； （）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出； 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 如图，过点作于，则四边形为矩形， ∴米，， 在中，，， ∴ ∴米 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴ 在中，， ， ∴（米） 答：铁架垂直管的长度约为米． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，四边形内接于，，为的直径，，垂足为点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，分别延长相交于点，点为的中点，连接，若切于点，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，若，则的长为 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （2）先证出，根据相似三角形的性质可得，再设，则，，证出，根据相似三角形的性质可得，然后在中，根据正切的定义求解即可得； （3）连接，先求出，设，则，，利用勾股定理可求出的值，然后在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵点为的中点， ∴，即， ∵为的直径，切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， 由（1）已证：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵为的直径， ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由上已得：，， ∴， ∵，垂足为点， ∴在中，， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键． 23. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】（1） （2）①点的坐标为或；②的值为或5 【解析】 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． 【小问2详解】 解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或5． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三级第三次学情调研数学科试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 3. 若反比例函数的图象经过点则k的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 在中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为，点B的坐标为，位似比为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，以点为中心，将旋转到，使点恰好在上，则的长为　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 向右平移3个单位得到 D. 抛物线的顶点坐标为 8. 如图，为的直径，为弦，，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图1）和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）足够大的卡纸． 步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表面且卡纸连接处无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽（如图2），则橙色扇形卡纸的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点与关于原点对称，则_______． 12. 若一元二次方程有一个解为，则______． 13. 如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则值为_________． 14. 如图，小树在路灯O照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为______． 15. 如图，的直角顶点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，当且的面积为4时，点的坐标为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17 先化简，再求值：，其中． 18. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式，并在平面直角坐标系中描点画出这个反比例函数的图象； （2）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 四、解答题（二）（本大题共3小题：每小题9分，共27分） 19. 北京冬奥会于年2月4日正式拉开帷幕．某校对九年级部分学生对冰上运动项目：A:速度滑冰、B:短道速度滑冰、C:花样滑冰、D:冰球的知晓情况进行了调查．并将调查情况制成了两幅不完整的统计图．试根据图中信息，回答下列问题： （1）本次调查方式是______调查，共调查了______名学生； （2）扇形统计图中项目D所对应的圆心角为______度；请补齐条形统计图； （3）已知项目D中男女学生人数相等，若从项目D的学生中随机抽取2名学生参加冰上运动宣讲会，请用列表或画树状图的方法，求抽取学生恰好为一男一女的概率． 20. 已知一个长方体包装盒的表面展开图如图（单位：）． （1）的长为 ；（用含有的代数式表示） （2）若此包装盒的容积为，请列出关于的方程，并求出的值； （3）是否存在这样的的值，使得此包装盒的容积最大？若存在，请求出相应的的值和最大容积；若不存在，请说明理由． 21. 如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知斜屋面的倾斜角为，长度为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平管长米，为铁架的垂直管．（参考值：） （1）求的长度（结果精确到米）； （2）求铁架垂直管的长度（结果精确到米）． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，四边形内接于，，为的直径，，垂足为点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，分别延长相交于点，点为的中点，连接，若切于点，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，若，则的长为 ． 23. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$