精品解析：湖北省宜昌市葛洲坝中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

2025年春季学期宜昌市葛洲坝中学高一年级3月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. ★祝考试顺利★ 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，. 故选：B 2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性及特殊角的三角函数值比较大小. 【详解】因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递减，且， 所以，即， 因为， 所以, 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案. 【详解】 , 故选：D 4. 函数的图像大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果. 详解：函数， 可得， 函数是奇函数，排除B， 时，，排除D， 时，，对应点在第四象限，排除C. 故选：A. 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 5. 若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数型函数求出定点坐标，再利用三角函数的定义即可求得结果. 【详解】因为函数图象经过定点，所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上所以． 故选：A． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角的正弦余弦的平方关系求得，，根据，结合两角和的正弦公式可求值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为，所以，又， 所以， 故选：D. 8. 已知，，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两角和差公式计算化简结合同角三角函数关系计算，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】因为， 所以， 即，即. 又， 等号当且仅当时成立. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（ ） A. 分针转过的角的弧度为 B. 分针转过的角的弧度为 C. 分针尖端所走过的弧长为 D. 分针扫过的扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由任意角的概念及扇形弧长、面积公式逐个判断即可； 【详解】由题意得分针转过的角的弧度为， 所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为． 故选：BC 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】用代入检验的思想，结合正弦函数的性质判断ABC，根据函数的最值，结合周期判断D选项. 【详解】A选项，时，，因为不是的对称轴，故A错误； B选项，时，，因为是对称中心，故B正确； C选项，时，，因在上单调递增，故C正确； D选项，因为，由得， 所以的最小值即为两条相邻对称轴之间的距离，即为，因为，所以的最小值为. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若函数的值域为，则实数 B. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，运用复合函数得性质，结合二次函数图象性质列方程，求出即可；对于B，运用复合函数单调性判定，结合分类讨论，即可解题；对于C，因为的定义域为，分类讨论，得；对于D，因为的值域为R，和分类讨论，结合二次函数性质计算. 【详解】对于A，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值，由二次函数图象性质可知， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数在区间上为增函数， 当时，，定义域为，不符合题意； 当时，由复合函数单调性可知在单调递增， 则，且， 又在上恒成立， 联立，解得，故B错误. 对于C，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，由有意义，可得，显然不满足题意； 当时，则，解得，故C正确； 对于D，因为的值域为R，当时显然满足题意； 当时，则解得， ∴．故 D错误. 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系及二倍角正弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知是定义在上周期为4的奇函数，且时，，则________ 【答案】 【解析】 【详解】利用函数的周期性与奇偶性可求得，，可求值. 【分析】因为是定义在上的周期为4的奇函数，所以，， 令，得，所以， 因为， 所以. 故答案为：. 14. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为________________. 【答案】5 【解析】 【分析】由题可得有对称轴为轴，对称中心，然后在同一坐标系中画出与图象，即可得答案. 【详解】函数的图象是中心对称图形，对称中心为. 定义在上的偶函数满足， 则函数有对称轴为轴，对称中心；又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 当，， 令， 则，且， 所以存在，使得当时，，单调递增， 所以当时，，即， 结合图象可得，与的图象有5个交点， 又均是与的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为5. 故答案为：5 四、解答题（共77分，请在答题卡上相应区域内写清楚解答过程） 15. 已知. （1）求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，再由商数关系得，最后应用和角正切公式、诱导公式求的值； （2）根据已知得，再由及差角正弦公式求的值. 【小问1详解】 ， ， ； . 【小问2详解】 ，， ， 由（1）知：，则. 16. 已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. （1）求和的值； （2）若，求的单调递增区间； （3）若，且方程有解，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用周期求，把代入求出； （2）对利用复合函数单调性法则列不等式，求出单调递增区间； （3）先求出若时，的值域，即可求出k的范围. 【小问1详解】 依题可得：，则， 又函数图像的一个对称中心为， 所以，则，， 又，则； 【小问2详解】 由（1）知， 当时，由，得，， 得函数单调递增区间为； 【小问3详解】 若，， 由得， ，，， 要在时有解，则. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律.现有以下两种函数模型供选择：①；② （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； （2）若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（精确到0.1min） （参考数据：，） 【答案】（1）选用模型①，理由见解析，. （2）7.5分钟 【解析】 【分析】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可求得解析式； （2）根据（1）的解析式，将代入解析式求得的值即可. 【小问1详解】 由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①， 代入前三组数据，解得， 所以函数模型解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，即，所以， ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感. 18. 已知. （1）化简函数； （2）若，求的值； （3）若，且，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【小问1详解】 由题意. 【小问2详解】 由（1）得若，则， 所以. 【小问3详解】 由（1）得若，， 则，，所以，， 所以， 又因为，所以，， 所以. 19. 设b为实数，已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明函数在上的单调性； （2）若对任意，都存在，使得成立，求实数m的取值范围； （3）设方程的两个根为，若，求的取值范围. 【答案】（1），证明见解析； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出的值；再利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （2）由（1）的信息，求出在上的最值，结合已知构建不等式分类求出范围. （3）由单调性脱去法则“f”，利用对数运算建立关系的一元二次方程，利用韦达定理得，再利用对数函数单调性，结合已知求出范围. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，，则， 所以在上单调递减. 【小问2详解】 依题意，， 而函数在上单调递减， 则，， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. 【小问3详解】 由（2）知，，且函数是上的单调递减函数， 方程等价于， 整理得，化为， 令，则有， 且恒成立， 则关于的一元二次方程有两个不等实根，设为、，且，， 于是，， ， 又，则， 由，得，则， 解得或，因此或， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期宜昌市葛洲坝中学高一年级3月考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. ★祝考试顺利★ 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致是 A. B. C. D. 5. 若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（ ） A. 分针转过的角的弧度为 B. 分针转过的角的弧度为 C. 分针尖端所走过的弧长为 D. 分针扫过的扇形面积为 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 若，则的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确有（ ） A. 若函数的值域为，则实数 B. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 计算：________ 13. 已知是定义在上的周期为4的奇函数，且时，，则________ 14. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为________________. 四、解答题（共77分，请在答题卡上相应区域内写清楚解答过程） 15. 已知. （1）求的值； （2）若且，求的值. 16. 已知函数，其中，，，若图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. （1）求和的值； （2）若，求的单调递增区间； （3）若，且方程有解，求的取值范围. 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 6024 设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律.现有以下两种函数模型供选择：①；② （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； （2）若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（精确到0.1min） （参考数据：，） 18 已知. （1）化简函数； （2）若，求的值； （3）若，且，，求的值. 19. 设b为实数，已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明函数在上的单调性； （2）若对任意，都存在，使得成立，求实数m的取值范围； （3）设方程两个根为，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $