6.3 三元一次方程组及其解法（教学课件）数学新教材华东师大版七年级下册

6.3 三元一次方程组及其解法 主讲： 华东师大版七年级 第6章 一次方程组 学习目标 目标 1 1、掌握三元一次方程组的概念与解法； 2、掌握三元一次方程组的实际应用； 重点 2 1.了解三元一次方程组的概念.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想. 2.会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力. 难点 3 1、特殊类型的三元一次方程组的解法； 2、学会运用三元一次方程组的相关知识解决实际问题； 新课导入 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张. 问1：想一想题干中有哪些数量关系？ 1元纸币张数＋2元纸币张数+5元纸币张数＝总张数 1元纸币金额＋2元纸币金额+5元纸币金额＝总金额 1元纸币张数＝ 2元纸币张数×4 问2：可以怎样设未知数列出方程？ 新课讲授 知识点一 三元一次方程组的概念 解：设1元纸币x张，2元纸币y张，5元纸币z张. x＋y＋z=12 x＋2y＋5z=22 x=4y 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 如何求解三元一次方程组？ 新课讲授 【三元一次方程组的定义】 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且方程组中有两个或两个以上的方程（一般情况下，是三个方程），像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【命名解读】 ①三元：共含有三个未知数； ②一次：每个方程中含未知数的项的次数都是1． eg： 新课讲授 【三元一次方程组需要满足的3个条件】 ①方程组中的每个方程都是整式方程； ②方程组中共含有三个未知数； ③每个方程都是一次方程． 【注意点】 方程组中的每个方程都是一次方程，但不一定都是三元一次方程，方程组中共计含有三个未知数即可 eg：也是三元一次方程组 练一练 议一议1：下列方程中是三元一次方程组的有_________个 (1)；(2)；(3)； (4)。 (2)×，y+2yz=1不是一次方程； (4)×，y+=1不是整式方程； (1)×，多了一元； 1 (3)√； 新课讲授 知识点二 三元一次方程组的解法 思考：如何解三元一次方程组： 【回顾】解二元一次方程组的关键是什么？ 二元一次方程组 一元一次方程 以此类推~ 消元法 （先消去一个元） 三元一次方程组 消元法（先消去一个元） 【结论】解三元一次方程组的关键也是消元法 新课讲授 【分析】选择一个未知数去消元——以消去y为例 由②-①得：2x-z=25……④， 联立③、④得：， 将③代入④得：2(4z+2)-z=25， 解得：z=3， 将z=3代入③得：x=14， 将代入①得：14+y+3=22， 解得：y=5， ∴原方程组的解为. 新课讲授 思考：解方程组： 【分析】选择一个未知数去消元——以消去z为例 由①+②得：5x-y=7……④， 由②×2+③得：8x+5y=-2……⑤， 联立④、⑤得：， 由④×5+⑤得：33x=33，解得：x=1， 将x=1代入④得：5-y=7，解得：y=-2， 将代入①得：2-2-z=4， 解得：z=-4， ∴原方程组的解为. 新课讲授 【消元法解三元一次方程组的一般步骤】 （1）代入/加减消元：利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）求值：解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值； （3）代回：把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程，求出第三个未知数的值； （4）写解：把求得的x、y、z的值用“{”联立起来，就是方程组的解． 典例分析 【例1】解方程组： 【解答】以消去z为例 由①+③得：5x+6y=17……④， 由③×2+②得：5x+9y=23……⑤， 联立④、⑤得：， 由⑤-④得：3y=6，解得：y=2， 将y=2代入④得：5x+12=17，解得：x=1， 将代入①得：3+8+z=14， 解得：z=3， ∴原方程组的解为. 典例分析 【例2】解方程组： 【解答】以消去z为例 由①+②得：x+5y=-4……④， 由②×2+③得：-8x+5y=-22……⑤， 联立④、⑤得：， 由④-⑤得：9x=18，解得：x=2， 将x=2代入④得：2+5y=-4，解得：y=-， 将代入①得：12--z=3， 解得：z=， ∴原方程组的解为. 练一练 1、解方程组： 【解答】以消去x为例 由①-②得：3y=3，解得：y=1， 由③-②得：4y+2z=0， 整理得：2y+z=0……④， 将y=1代入④得：2+z=0, 解得：z=-2， 将代入①得：x+1-2=2， 解得：x=3， ∴原方程组的解为. 练一练 2、解方程组： 【解答】以消去z为例 由①+③得：3y=3，解得：y=1， 由②+③得：x+y=2……④， 将y=1代入④得：x+1=2, 解得：x=1， 将代入①得：1+1+z=4， 解得：z=2， ∴原方程组的解为. 新课讲授 知识点三 解特殊的三元一次方程组 解方程组： 【分析】含比例式，可用设k法 设===k，则a=3k，b=4k，c=5k， 代入2a-3b+c=6得：6k-12k+5k=6， 解得：k=-6， ∴原方程组的解为. 新课讲授 解方程组： 【解答】含比例式，可用设k法 ∵a：b：c=3：4：5， ∴可以假设a=3k，b=4k，c=5k， ∵4a-5b+3c=7， ∴12k-20k+15k=7， ∴k=1， ∴原方程组的解为. 新课讲授 解方程组： 【分析】未知数的系数轮换，可直接将三式相加： 由①+②+③得：2x+2y+2z=10， 整理得：x+y+z=5……④， 由④-①得：z=4， 由④-②得：x=-1， 由④-③得：y=2， ∴原方程组的解为. 新课讲授 解方程组： 【解答】设===k，则x=2k，y=3k，z=4k， 代入2x-y+2z=27得：4k-3k+8k=27， 解得：k=3， ∴原方程组的解为. 典例分析 【例3】已知==，且x+y+z=102，求x的值． 【解答】设===k， 则x=3k-4，y=4k-6，z=5k-8， 代入x+y+z=102得：3k-4+4k-6+5k-8=102， 解得：k=10， ∴x=26. 练一练 1、已知a：b：c=2：3：4，a+b+c=27，求a-2b-3c的值． 【解答】 ∵a：b：c=2：3：4， ∴可以假设a=2k，b=3k，c=4k， ∵a+b+c=27， ∴9k=27， ∴k=3， ∴a=6，b=9，c=12， ∴a-2b-3c=6-18-36=-48. 练一练 2、已知==，且2x+4y-6z=120，求x、y、z的值． 【解答】设===k，则， 由①+②+③得：2x+2y+2z=9k， 整理得：x+y+z=4.5k……④， 由④-①得：z=2.5k， 由④-②得：x=1.5k， 由④-③得：y=0.5k， 代入2x+4y-6z=120得：3k+2k-15k=120， 解得：k=-12， ∴原方程组的解为. 学以致用 1.已知三元一次方程组 ，则x+y+z=（　　） A．20 B．30 C．35 D．70 C 2.若x＋2y＋3z=10，4x＋3y＋2z=15，则x＋y＋z的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 D 学以致用 3.解方程组 解：由方程②得 x=y+1 ④ 把④分别代入①③得 2y+z=22 ⑤ 3y-z=18 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得y=8,z=6 把y=8代入④，得x=9 所以原方程的解是    x=9 y=8 z=6 学以致用 4.解方程组： 解：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12， 所以x＋y＋z＝6.④ ④－①，得z＝3. ④－②，得x＝1. ④－③，得y＝2. 所以原方程组的解为 学以致用 5.解下列三元一次方程组： 解：③－①，得2z＋2y＝56，即y＋z＝28 ④， ②＋④，得2y＝31，所以y＝15.5. 把y＝15.5代入①，得x＝22. 把y＝15.5代入②，得z＝12.5. 所以原方程组的解为 学以致用 6.若|a-b-1|＋(b-2a＋c)2＋|2c-b|＝0，求a，b，c的值． 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0. 可得方程组 解得 7、解方程组： 【分析】未知数的系数轮换，可直接将三式相加： 由①+②+③得：x+y+z=10，整理得：x+y+z=4……④， 由④-①得：x=2，解得：x=4， 由④-②得：y=-1，解得：y=-2， 由④-③得：z=1，解得：z=2， ∴原方程组的解为. 学以致用 课堂小结 【三元一次方程组的定义】 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且方程组中有两个或两个以上的方程（一般情况下，是三个方程），像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【命名解读】 ①三元：共含有三个未知数；②一次：每个方程中含未知数的项的次数都是1． 【三元一次方程组需要满足的3个条件】 ①方程组中的每个方程都是整式方程； ②方程组中共含有三个未知数； ③每个方程都是一次方程． 主讲： 华东师大版七年级 感谢聆听 $$