精品解析：河南省商丘市虞城县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学情质量监测卷（B） 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面是河南各地博物馆的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 人体内一种线粒体的直径约为0.56微米，相当于米．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是一副直角三角尺拼成图案，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 春节游河南，寻根溯源，品味地道年味！现有游客人到河南游玩，需要住宿，共有个大小相同的间房，结果还有个人无房住，则每间房可住的人数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和的平分线交于点于点．若的面积是，，则的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 18 D. 12 10. 如图，两个正方形的边长分别为．若，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 已知，，则___________． 13. 如图，这是被撕掉一块正多边形纸片，若直线的夹角为，则该正多边形的边数是___________． 14. 如图，，，，，则___________． 15. 如图，在中，是边上中线． （1）若，则的度数是______．（用含的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，在等边中，是边上的一点，是延长线上的一点，连接，．若，，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）作出关于轴对称的，并直接写出点的坐标． （2）在（1）中作图的基础上，连接，求的面积． 19. 如图，在中，作的平分线，交于点．在射线上，截取线段，使． （1）请用直尺和圆规补全图形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证：． 20. 无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的倍多元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了元和元． （1）求甲、乙两种无人机的单价． （2）该公司拟计划再订购这两种无人机共台，且总费用不超过元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？ 21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下． 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流的宽度． 问题：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺等．他们在河流北岸的点处，测得河流南岸的一棵树底部点恰好在点的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是同学们展示的两种测量方案． 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图1，观测者从点出发，沿着与直线成角的方向前进至点，在点处测得，测量出的长． 如图2，观测者从点向正西方向走到点，是的中点，从点沿垂直于的方向前进，直到点A，E，N在同一条直线上，测量出的长． 测量结果 ，，． ，，． （1）根据方案一，河宽为___________． （2）方案二的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽，请你根据所学的知识，给出证明． 22. 阅读下列材料，并解答相关问题． 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：． 解：原式 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到“整体思想”是数学解题中常见的思想方法． （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：． （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． （3）当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由． 23. 如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学情质量监测卷（B） 八年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下面是河南各地博物馆的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 人体内一种线粒体的直径约为0.56微米，相当于米．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 3. 如图，为了估计池塘两岸，之间的距离，明明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∴四个选项中，只有D选项中的符合题意， 故选：D． 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，幂的运算，积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，这是一副直角三角尺拼成的图案，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，根据外角的性质得，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 6. 如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为，，得到是等边三角形，得出， 根据题意得到垂直平分，得到，即可得到答案． 【详解】解； ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， 故选：A． 8. 春节游河南，寻根溯源，品味地道年味！现有游客人到河南游玩，需要住宿，共有个大小相同的间房，结果还有个人无房住，则每间房可住的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，每间房可住的人数为， 故选：． 9. 如图，和的平分线交于点于点．若的面积是，，则的面积为（ ） A 48 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质是解题的关键．过点O作，垂足分别为E，F，根据和的平分线交于点O，得到，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示，过点O作，垂足分别为E，F， ∵和的平分线交于点O， ∴， ∵的面积，且， ∴ 解得 ∴， ∴的面积为, 故选D． 10. 如图，两个正方形的边长分别为．若，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用数形结合思想和完全平方公式求解是解题的关键． 分别用字母表示出大正方形的面积和两个空白三角形的面积，相减后再化简，最后将数值代入计算即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知， 阴影部分的面积 ， 阴影部分的面积为 故选A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算．根据同底数幂除法的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，这是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线的夹角为，则该正多边形的边数是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握正多边形的每一个内角相等成为解题的关键． 如图：根据正多边形的每个内角相等可得，再结合题意可得，最后根据三角形的外角和为即可解答． 【详解】解：如图：∵这是被撕掉一块的正多边形纸片， ∴， ∵直线的夹角为， ∴， ∴这个多边形的边数为：． 故答案为：6． 14. 如图，，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据题意得出，可证明，得出，计算即可得到答案． 详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在中，是边上的中线． （1）若，则的度数是______．（用含的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得出，，再根据三角形内角和即可得出答案； （2）连接，过点作交与点，根据等腰三角形的性质可得出的最小值是的长，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：（1），是表上的中线， ，平分， ，， ， ； （2）连接，过点作交与点， 所在直线是等腰三角形的对称轴， ， ， 的最小值是的长， ， ， 的最小值是， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可； （2）先进行括号内计算，再计算除法即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 如图，在等边中，是边上的一点，是延长线上的一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键， 先利用等边三角形的性质可得，利用三角形的外角性质求出，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用角的和差进行计算，即可解答． 【详解】解： 是等边三角形， ． ，是的一个外角， ． ， ， ， 的度数为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）作出关于轴对称的，并直接写出点的坐标． （2）在（1）中作图的基础上，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，作轴对称图形．熟练掌握关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的特征，确定三点的坐标，再进行连线即可作出，然后根据点的位置即可得出点的坐标； （2）根据割补法即可得出答案． 【小问1详解】 如图， 即为所求． 点 的坐标为． 【小问2详解】 面积 ． 19. 如图，在中，作的平分线，交于点．在射线上，截取线段，使． （1）请用直尺和圆规补全图形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质． （1）根据角平分线的作法和线段的作法即可补全图形； （2）连接，由角平分线的定义得，再根据证，即可证出结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：如图，连接， 为 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ． 20. 无人机作为一项前沿无人驾驶飞行器，在各个领域的应用越来越广泛，某公司决定购买甲、乙两种型号的无人机，已知购买乙种无人机的单价比购买甲种的倍多元，采购相同数量的甲、乙两种型号的无人机分别用了元和元． （1）求甲、乙两种无人机的单价． （2）该公司拟计划再订购这两种无人机共台，且总费用不超过元，则该公司最多可以购买多少台乙种型号的无人机？ 【答案】（1）甲种无人机的单价是元， 乙种无人机的单价是元； （2）该公司最多可以购买台乙种型号的无人机． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． （）设甲种无人机的单价是 元，则乙种无人机的单价为 元．根据题意列出方程 ，然后解方程并检验即可； （）设购买乙种无人机 台，则购买甲种无人机台，根据题意得 ，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种无人机的单价是元，则乙种无人机的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种无人机的单价是元，乙种无人机的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买乙种无人机台，则购买甲种无人机台， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：该公司最多可以购买台乙种型号的无人机． 21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下． 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流的宽度． 问题：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺等．他们在河流北岸的点处，测得河流南岸的一棵树底部点恰好在点的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是同学们展示的两种测量方案． 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图1，观测者从点出发，沿着与直线成角的方向前进至点，在点处测得，测量出的长． 如图2，观测者从点向正西方向走到点，是的中点，从点沿垂直于的方向前进，直到点A，E，N在同一条直线上，测量出的长． 测量结果 ，，． ，，． （1）根据方案一，河宽为___________． （2）方案二的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽，请你根据所学的知识，给出证明． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，等角对等边，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键． （1）首先由三角形外角的性质得到，然后根据等角对等边求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得到即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：是的中点 ， 在和 中， 长就是所求的河宽． 22. 阅读下列材料，并解答相关问题． 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：． 解：原式 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法． （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：． （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． （3）当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解； （3）先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 设 ， 则 ， ； 【小问3详解】 解： 是等腰三角形． 理由： ， ， ， ， 解得 ， ， 是等腰三角形． 23. 如图，在中，，将沿着斜边翻折，得到分别是射线和射线上的点，且． 【初步探索】 （1）如图1，点分别在线段和线段上，试探究线段之间的数量关系． 小明同学探究此问题的思路：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可得到之间的数量关系．请依照小明的思路，把过程补充完整． 【探索延伸】 （2）如图2，点分别在线段的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究线段之间新的数量关系，并说明理由． 【灵活运用】 （3）在Rt中，若，请直接写出的周长． 【答案】（1）见解析 （2）不成立，，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）如图，延长至点，使得，连接，证明得，，证明即可得； （2）如图，在上截取，连接，证明得，，证明即可得； （3）分两种情况：如图，当点在线段上时；如图，当点在线段的延长线上时，求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至点，使得，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立，，理由： 如图，在上截取，连接， 将沿着斜边翻折，得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 的周长； 如图，当点在线段的延长线上时， 的周长， 综上所述，的周长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $