精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学3月试卷 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件计算等差数列的首项和公差，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，，解得， ∴. 故选：B. 2. 记为等比数列的前项和，若，则公比（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列求和公式及通项公式即可求解； 【详解】由， 当时，显然不满足， 当时，， 解得：， 故选：C 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断①选项；利用等差数列的通项公式可判断②选项；利用等差数列的求和公式可判断③④选项. 【详解】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列， 记数列的前项和为， 对于①，由题意可得，解得，①结论正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，， 而，故④错误； 故选：D. 4. 已知数列满足，则的前60项的和为（ ） A. B. C. D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】先求出数列的周期，即可求出的前60项的和. 【详解】由可得：， ，， ，…… 所以数列的周期为，所以的前60项的和为： . 故选：A. 5. 已知数列满足，且对任意，都有，记数列的前项和为，若，则的最小取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，由此得到数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列前项和公式计算可得结果. 【详解】令，则，故， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，故， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴. 由得，，即， ∵，∴，即， ∴的最小取值为. 故选：B. 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，即可得解. 【详解】， 令，则，令，则， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 所以. 故选：C. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，由即可求解； 【详解】由， 解得：， 所以函数的单调递减区间为； 故选：B 8. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导可求得，由此可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴，解得， ∴，故. 故选：D. 9. 如图，这是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊点及特殊区间的函数值，结合排除法可确定选项. 【详解】B.对于函数，当时，，不合题意，B错误. C.当时，，与图象不符，C错误. D.当时，，，，故，与图象不符，D错误. A.令，定义域为， ∵，∴为奇函数， ，与图象相符. 当时，，，故，与图象相符，A正确. 故选：A. 10. 若函数有2个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式得到函数定义域，求出函数的导数，讨论当时，导数恒大于零，函数单调，不合题意.当时，求得导数的零点，然后得到函数的最大值，且函数最大值大于0建立不等式，求得取值范围. 【详解】函数定义域为：， ∵，令，即，则， ∴当时，，此时函数单调递增，则函数至多存在1个零点，舍去； 当时，则函数在上单调递减， ∴当，，即函数递增；当，，即函数递减； ∴， 又∵时，；时，， ∴由题意可得：，即， 即，∴. 故选：B 11. 设函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可判断D; 【详解】 令解得，令解得或， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 因为，极大值，且极小值， 所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确， 令即，，无解； 故C错误； ， 所以，即点是曲线的对称中心，正确； 故选：ABD 12. （多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列可以是等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求得，数列是递减数列判断A、C，假设是等比数列，求得矛盾判断B，化为，利用累加法判断D. 【详解】因为，整理有，又，由此可得， 对于A选项，因为，所以数列为递减数列，所以A正确； 对于B选项，若是等比数列，则由可知为定值， 又因为，所以，所以，即， 与矛盾，所以数列不可以是等比数列，所以B错误； 对于C，因为，且为递减数列，又，所以， 所以C正确； 对于D，由，，两边取倒数有， 整理有：， 即，，，， 累加得： ， 即，又，所以， 整理得：，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于对已知条件变形、分析，得到数列的性质. 二、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 已知数列的通项公式为，若是与的等比中项，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项的概念列方程，解方程可得结果. 【详解】由得，，，， ∵是与的等比中项， ∴，即，解得或（舍）. 故答案为：. 14. 函数的图象在点处的切线方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】因， 则，， 则函数在点处的切线方程为， 即：. 故答案为： 15. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件得到数列的性质，从而得到数列的通项公式，然后得到数列的通项公式，由裂项相消得到其前项和为.然后整理不等式得到，借助基本不等式求得最小值，从而知道的最小值. 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ，∴ ， ， ∵，∴，当且仅当，即时取等号， ∴， 则k的最小值为. 故答案为：. 三、解答题:本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， . 17. 已知在等差数列中，，等比数列的公比，且，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式列式求得，从而得解； （2）用错位相减法求数列的前n项和． 【小问1详解】 依题意，设数列的公差为，而数列的公比为，，， 所以，则，，， 因为，所以，解得， 所以， 则，故. 【小问2详解】 由（1）知， 则， ， 两式相减，得 . 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值; （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）极大值，极小值. （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，得到的单调性，再根据极值的定义即可得出答案. （2）由题意知在上恒成立，分，和，分离参数，求出函数的最值即可得出答案. 【小问1详解】 ，， 令可得：或， 令可得：， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有极大值， 当时，函数有极小值. 【小问2详解】 由题意知在上恒成立，当时，显然成立; 当时，，函数在上单调递减， 当时，，所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，所以. 综上可知:求的取值范围为. 19. 已知函数，且曲线在点处与轴相切. （1）求函数的解析式; （2）求函数在区间上的最大值和最小值.（参考数据:） 【答案】（1）. （2）最大值为，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求得其导数，由题意可知，求得的值，从而得到函数解析式； （2）由（1）知道函数导数，令，求得导数，由得到导数，即函数在单调，从而求得导数和对应区间，然后得到函数单调区间，从而求得函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，， 由题意知，解得，. 【小问2详解】 由（1）知，设， 则，当时，， 函数在上单调递增，， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，则， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 20. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式; （2）设 ，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系式，可构造出与的关系等式，结合裂项相消法可求出的通项公式，注意的取值，要验证前两项满足所求通项； （2）先讨论为偶数的情况，发现相邻项之和是等差数列，合并求和即可，再据此计算为奇数时的前项和. 【小问1详解】 由题意，当时，，即，所以. 当时，， 所以， 即，， 累加可得 则， 又满足该式，故. 【小问2详解】 由题意，， 当为偶数时，即有，， 则； 当为奇数时，则为偶数，. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学3月试卷 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等比数列的前项和，若，则公比（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 4. 已知数列满足，则的前60项的和为（ ） A. B. C. D. 70 5. 已知数列满足，且对任意，都有，记数列的前项和为，若，则的最小取值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，这是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数有2个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 12. （多选题）已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列可以是等比数列 C. D. 二、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 已知数列的通项公式为，若是与的等比中项，则____. 14. 函数的图象在点处的切线方程为____. 15. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为____. 三、解答题:本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 17. 已知在等差数列中，，等比数列的公比，且，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值; （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围. 19. 已知函数，且曲线在点处与轴相切. （1）求函数的解析式; （2）求函数在区间上的最大值和最小值.（参考数据:） 20. 记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式; （2）设 ，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $