专题06 整式的乘除易错必刷题型专训（90题30个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题06 整式的乘除易错必刷题型专训（90题30个考点） 【易错必刷一 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（24-25八年级上·河南焦作·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，则的值为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【易错必刷二 科学记数法】 4．（24-25九年级下·山西大同·阶段练习）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作600秒可做 次运算． 6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【易错必刷三 幂的乘方运算及其逆用】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，那么a等于（   ） A．2 B． C． D．以上都不对 8．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，则 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知n为正整数，且．求的值． 【易错必刷四 积的乘方运算及其逆用】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 11．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）规定，如：． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【易错必刷五 同底数幂的除法运算及其逆用】 13．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则a的值为 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【易错必刷六 幂的混合运算】 16．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）计算：． 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简：． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算 (1)； (2) 【易错必刷七 零指数幂】 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果，，，那么，，三个数的大小为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若，则的取值范围是 ． 21．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，则 ． 【易错必刷八 计算单项式乘单项式】 22．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)（把作为整体看作一个因式的底数）； (3)． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 【易错必刷九 计算单项式乘多项式及求值】 25．（24-25八年级上·广东广州·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 27．（23-24八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【易错必刷十 单项式乘多项式的应用】 28．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 29．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 30．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积． (2)当，时，阴影部分的面积是多少？ 【易错必刷十一 计算多项式乘多项式】 31．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 32．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考．请阅读下列材料，并完成相应的任务． “头同尾合十”的两位数乘法速算所谓“头同尾合十”的两位数是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10．其对应的乘法速算方法是： 第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示； 第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．像这样组成的数就是两位数相乘的结果． 例如： 速算，先算，再算，则； 速算，先算，再算，则． 任务： (1)利用上述速算方法，计算，先算，再算______，则______； (2)用和分别表示两个两位数，其中表示十位数字，和表示它们的个位数字，且， ①依据题意，两位数，则两位数______； ②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立． 【易错必刷十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 34．（24-25八年级上·河南新乡·期末）若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 35．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 36．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【易错必刷十三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 37．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 38．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）若的乘积中不含项，则 ． 39．（2023八年级上·全国·专题练习）小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 【易错必刷十四 多项式乘法的化简求值】 40．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 41．（23-24八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值，其中． 42．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，求的值． 【易错必刷十五 多项式乘多项式与图形面积】 43．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为，宽为的长方形，则需要C类卡片（   ） A．2张 B．3张 C．5张 D．6张 44．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且，那么阴影部分的面积为 ． 45．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【易错必刷十六 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）已知单项式与的积为，则 ． 48．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【易错必刷十七 整式乘法混合运算】 49．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 50．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 51．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷十八 多项式乘法中的规律性问题】 52．（2025·江西南昌·模拟预测）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 53．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 54．（24-25八年级上·重庆合川·期末）观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 【易错必刷十九 运用平方差公式进行运算】 55．（2025七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（    ） A．60 B．62 C．66 D．88 56．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 57．（24-25九年级上·山东德州·期末）某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算： ． 【易错必刷二十 平方差公式与几何图形】 58．（24-25八年级上·河南南阳·期中）街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加3米，东西向减少3米．改造后得到一块长方形的草坪． (1)求改造后的长方形草坪的面积； (2)改造后的图形面积是否变化？若有变化，面积增大或减小了多少平方米？ 59．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 60．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【易错必刷二十一 运用完全平方公式进行运算】 61．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 62．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 63．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算：． 【易错必刷二十二 通过对完全平方公式变形求值】 64．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 65．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 66．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 【易错必刷二十三 完全平方公式在几何图形中的应用】 67．（24-25八年级上·云南文山·期末）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)图1分别用两种方法表示整个图形的面积为：； 图2中阴影部分的面积为：________； (2)若，，请计算的值； 68．（24-25八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，完成文后任务. 小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果满足．求的值；怎么解决呢？小颖给出了如下两种方法： 方法1：设，则， 方法2：， (1)请你用材料中的任意一种方法解答问题：如果满足．求的值； (2)若，则的值为______； (3)如图，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为30，则图中阴影部分的面积和为______． (4) 69．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： (2)根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； (3)解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 【易错必刷二十四 求完全平方式中的字母系数】 70．（24-25八年级上·山东临沂·期末）若是关于的完全平方式，则的值为（   ） A． B．3 C． D．6 71．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）已知是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．7 B． C．14 D． 72．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知为实数，要使多项式是完全平方式，则k的值为 ． 【易错必刷二十五 整式的混合运算】 73．（24-25八年级上·河南信阳·期中）若，那么多项式的值是 ． 74．（24-25九年级上·全国·期中）已知，代数式的值为 ． 75．（24-25八年级上·广东中山·期末）计算：． 【易错必刷二十六 多项式除以单项式】 76．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 77．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 78．（24-25八年级上·吉林四平·期末）先化简，再求值，其中． 【易错必刷二十七 计算单项式除以单项式】 79．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）化简： (1)； (2)． 80．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) 81．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【易错必刷二十八 用科学记数法表示数的除法】 82．（23-24八年级·全国·课后作业）计算（结果用科学记数法表示）： (1)； (2)． 83．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要 秒． 84．（24-25七年级下·广西崇左·期末）月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时．（结果用科学记数法表示） 【易错必刷二十九 知二求三型计算】 85．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，且，则 ． 86．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知：，，则 ； 87．（24-25八年级上·新疆哈密·期末）已知，，求 ． 【易错必刷三十 整式的乘除新定义问题】 88．（24-25七年级下·四川达州·期中）我们定义一种新运算：，若，则 ． 89．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．则 ． 90．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式的乘除易错必刷题型专训（90题30个考点） 【易错必刷一 同底数幂的乘法及其逆用】 1．（24-25八年级上·河南焦作·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，求代数式的值，解题的关键是掌握：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法， 根据可得出，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷二 科学记数法】 4．（24-25九年级下·山西大同·阶段练习）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】直接利用有理数的乘法运算法则求出即可． 【详解】解：， 地球到太阳的平均距离约为千米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 5．（23-24八年级上·四川乐山·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作600秒可做 次运算． 【答案】 【分析】分析题意，每秒可做次运算，列出工作600秒可做的运算次数的算式；接下来进行解答，然后用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：它工作600秒可做的运算次数为：（次）， 故它工作600秒可做次运算． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 【易错必刷三 幂的乘方运算及其逆用】 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，那么a等于（   ） A．2 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 8．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解决本题的关键是将4转换为，实现同底数幂相乘的条件．将4转换为，再结合同底数幂乘法的运算，代入已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：32 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知n为正整数，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握幂的乘方法则是解此题的关键． 【详解】解：因为n为正整数，且， 所以． 【易错必刷四 积的乘方运算及其逆用】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用积的乘方与幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵， ， 则， ， 故答案为：64． 11．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则计算即可； （3）根据积的乘方的运算法则计算即可； （4）根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）规定，如：． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的含义，积的乘方的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）由新定义运算可得，再建立方程求解即可； （2）由新定义运算可得计算化为，再求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：； （2）∵， ∴ ． 【易错必刷五 同底数幂的除法运算及其逆用】 13．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法运算等知识，掌握相关运算并灵活应用是解题关键． 根据幂的乘方，同底数幂的除法运算将原式变形得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 故选：B ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂除法，熟悉此运算法则是关键．利用同底数幂除法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：6 15．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方运算： （1）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）先利用同底数幂的除法法则进行计算，再利用积的乘方法则进行计算即可； （4）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （5）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （6）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6） ． 【易错必刷六 幂的混合运算】 16．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方，首先计算同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方，然后合并同类项即可． 【详解】 ． 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据单项式乘以单项式，同底数幂的除法，积的乘方进行计算，然后合并同类项即可求解． 【详解】解：原式                     ． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的乘除运算法则得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、整式的乘除运算、实数的运算，正确化简各数是解题关键． 【易错必刷七 零指数幂】 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果，，，那么，，三个数的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，先根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出三个数的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 20．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的性质即可求解，正确掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，则 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查了零次幂以及负整数指数幂．根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可． 【详解】解：∵， ①当，解得； ②当，解得，； ③当，解得，不符合题意，舍去． ∴或． 故答案为：或0． 【易错必刷八 计算单项式乘单项式】 22．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)（把作为整体看作一个因式的底数）； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方和单项式乘单项运算法则进行计算即可； （2）把看作一个整体，结合单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方运算，合并同类项等知识，正确运用法则是解题的关键． （1）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则即可求解； （2）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则即可求解； （3）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则，合并同类项法则即可求解； （4）运用幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则，合并同类项法则即可求解． 【详解】（1）解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 24．（23-24七年级上·上海长宁·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解． 【详解】解： 【易错必刷九 计算单项式乘多项式及求值】 25．（24-25八年级上·广东广州·期末）如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，由得到、，将恒等变形，将已知等式整体代入即可得到答案，熟练掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 【详解】解：由得、， ∴ ， 故答案为：． 27．（23-24八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式的运算法则化简式子，再代入求值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握整式的相关运算法则是关键． 【易错必刷十 单项式乘多项式的应用】 28．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 【答案】(1) (2)共需喷上平方米的油漆 【分析】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式． （1）根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵长方体的长为米，宽为米，高为米， ∴该长方体的体积为立方米， 故答案为：； （2）解：长方体的表面积为： 平方米， 答：共需喷上平方米的油漆． 29．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a． (1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）． ②当时，求园子的面积． (2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）． 【答案】(1)①；②1200 (2)增大； 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键． （1）①先用和的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把，代入①中的代数式进行计算即可； （2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积． 【详解】（1）解：①总长为，宽为， 园子的长为：， 园子的面积为：； 故答案为：； ②当，时， ； （2）解：园子的宽不变，长增加了， 园子的面积增大了， 在园子的长边上开了1的门， 园子的长为：， 园子的面积为：， 园子增加的面积为：， 答：园子的面积增加了，此时园子的面积． 故答案为：增大． 30．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积． (2)当，时，阴影部分的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，以及整式乘法的混合运算，求代数式的值，熟练掌握整式乘法的混合运算法则是解题的关键． （1）根据代入求解即可； （2）将，代入求解即可． 【详解】（1）∵正方形和正方形的边长分别为a，b ∴ ； （2）当，时， ． 【易错必刷十一 计算多项式乘多项式】 31．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则求解即可； （2）根据多项式乘多项式法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查了多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据多项式乘多项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可； （3）根据多项式乘多项式法则计算即可； （4）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考．请阅读下列材料，并完成相应的任务． “头同尾合十”的两位数乘法速算所谓“头同尾合十”的两位数是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10．其对应的乘法速算方法是： 第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示； 第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．像这样组成的数就是两位数相乘的结果． 例如： 速算，先算，再算，则； 速算，先算，再算，则． 任务： (1)利用上述速算方法，计算，先算，再算______，则______； (2)用和分别表示两个两位数，其中表示十位数字，和表示它们的个位数字，且， ①依据题意，两位数，则两位数______； ②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立． 【答案】(1)，； (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，数字规律，理解数字间的规律，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据“头同尾合十”的速算方法即可求解； （2）①表示两个两位数，a表示十位数字，c表示它们的个位数字，由此即可求解； ②计算左边，将左边逐渐转化为右边的形式即可得证． 【详解】（1）解：，； （2）①； ②证明：， ， ， ， ， 该速算方法的正确性，即正确． 【易错必刷十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 34．（24-25八年级上·河南新乡·期末）若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的运算法则展开等号左边的式子，再与等腰右边的比较，可得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【答案】16 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出a与b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，， ， 故答案为：16． 36．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 【易错必刷十三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 37．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某一项的条件，理解多项式中不含某一项的条件是解题的关键． 将按多项式乘以多项式法则化简后，不含的一次项就是使得其系数为0，即可求解． 【详解】解： ， ∵结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：B． 38．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）若的乘积中不含项，则 ． 【答案】 【分析】先去括号，将项的项的系数变为0即可求解． 【详解】解：原式 ， 乘积中不含项， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 39．（2023八年级上·全国·专题练习）小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为，即可求出答案， （2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为，即可求出答案． 【详解】（1）解： 展开后的式子中不含x的二次项， ， 解得； （2）解：①若将中的3看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ， ． ②若将中的看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ， 解得． ③若指数2看作k，当时， 原式 不符合题意； ④若指数2看作k，当时， 原式 ， 不符合题意； 或． 【易错必刷十四 多项式乘法的化简求值】 40．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算−化简求值．原式利用单项式乘多项式以及多项式乘多项式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 41．（23-24八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】化简得：，求值得： 【分析】本题考查整式的混合运算之化简求值，根据完全平方公式、平方差公式将括号内的式子展开，再根据多项式除以单项式的方法化简，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解∶原式 当时，原式． 42．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据题意可得，化简式子，整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 【易错必刷十五 多项式乘多项式与图形面积】 43．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为，宽为的长方形，则需要C类卡片（   ） A．2张 B．3张 C．5张 D．6张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据长方形的面积等于长乘宽列式计算，再根据C类卡片的面积求解即可． 【详解】解：∵，C类卡片的面积为， ∴需要C类卡片5张， 故选：C． 44．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且，那么阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整式的乘法与几何图形的面积．利用大正方形的面积减去小正方形的面积以及两个三角形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积为 ， ∵， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：5． 45．（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题： (1)绿化的面积是多少？ (2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值． 【答案】(1)（平方米） (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积； （2）根据题意求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ，， ， （平方米）， 绿化面积的值为． 【易错必刷十六 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 47．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 48．（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十七 整式乘法混合运算】 49．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握幂的运算性质，整式的乘法运算法则． （1）根据，，，即可； （2）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则，进行计算，即可． 【详解】（1） ． （2） ． 50．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单项式乘以多项式的运算法则求解即可； （2）首先利用单项式乘以多项式的运算法则计算括号内，然后合并同类项，然后计算单项式乘以单项式． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 51．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案． （3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． 【易错必刷十八 多项式乘法中的规律性问题】 52．（2025·江西南昌·模拟预测）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 【答案】[验证] ；[探究] ． 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式； [验证]根据日历中的数字规律即可求解； [探究]根据题意得到规律，整式乘法公式，把．化简，即可证明． 【详解】解：[验证]根据题意，； [探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，， 规律为：． 依题意，． 53．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. （1）①直接计算即可； ②根据规律直接计算求值即可； （2）根据规律直接计算求值即可； （3）根据规律写出式子，证明即可. 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 54．（24-25八年级上·重庆合川·期末）观察下列等式： ； ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得出答案； （2）根据上述式子，即可得到规律； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； 故答案为：； （2）解：由（1）得到规律． 故答案为：； （3）解： ． 【易错必刷十九 运用平方差公式进行运算】 55．（2025七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，所以4，12，20都是“神秘数”．下面各个数中，是“神秘数”的是（    ） A．60 B．62 C．66 D．88 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是正确解答此题的关键． 利用“神秘数”的定义判断即可． 【详解】解：， 60是“神秘数”， 62、66、88不能表示为两个连续偶数的平方差， 故选：A． 56．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式将变形为，即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 57．（24-25九年级上·山东德州·期末）某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了运用平方差公式计算． 把原式前面乘，进一步利用平方差公式计算即可． 【详解】解： = ． 故答案为：2． 【易错必刷二十 平方差公式与几何图形】 58．（24-25八年级上·河南南阳·期中）街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加3米，东西向减少3米．改造后得到一块长方形的草坪． (1)求改造后的长方形草坪的面积； (2)改造后的图形面积是否变化？若有变化，面积增大或减小了多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)有变化，减小了9平方米 【分析】此题主要考查了列代数式，平方差公式，理解题意，熟练掌握长方形的面积公式和平方差公式是解决问题的关键．根据南北向增加3米，东西向减少3米可得改造后的长方体草坪的长为米，宽为米，然后根据长方形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：原来的正方形的边长为 ，则新的长方形的边长为， ， 改造后的长方形草坪的面积平方米； （2）变化了， 原来正方形草坪面积为： 改造后的长方形草坪的面积平方米 改造后的长方形草坪面积比原来的正方形草坪面积减小了9平方米． 59．（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 60．（24-25七年级上·江西赣州·期中）数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现 (1)如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形．小明和小红分别用了两种不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为____________________；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为______________________________； (2)【发现规律】 猜想：这三个代数式之间的数量关系是______________________________； (3)【运用规律】 运用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2) (3)1275 【分析】（1）大正方形面积为，小正方形的面积为，作差即可； 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可； （2）根据第（1）小题发现的规律写出等量关系即可； （3）每两个数为一组按照根据第（2）小题写出的规律进行变形，问题即可解决． 【详解】（1）解：小明的方法：大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 小红的方法：长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． （2）解：这三个代数式之间的数量关系为： ； （3）解： ． 【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律． 【易错必刷二十一 运用完全平方公式进行运算】 61．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 62．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）将原式进行变形，然后用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可； （4）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 63．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】先变形，再利用平方差公式，完全平方公式进而得出答案． 本题主要考查平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【易错必刷二十二 通过对完全平方公式变形求值】 64．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2)8 【分析】本题主要考查考查完全平方公式，正确进行完全平方公式的变形是解答本题的关键． （1）把变形为，再整体代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）， ； （2）， ． 65．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)7 (3)47 【分析】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）利用完全平方公式的变形求解即可； （3）利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ． 66．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式变形即可求解； 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷二十三 完全平方公式在几何图形中的应用】 67．（24-25八年级上·云南文山·期末）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)图1分别用两种方法表示整个图形的面积为：； 图2中阴影部分的面积为：________； (2)若，，请计算的值； 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图2中阴影部分的边长为，根据正方形面积公式得出答案即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分的边长为，面积为：； （2）解：∵， 又∵，， ∴， ∴． 68．（24-25八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，完成文后任务. 小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果满足．求的值；怎么解决呢？小颖给出了如下两种方法： 方法1：设，则， 方法2：， (1)请你用材料中的任意一种方法解答问题：如果满足．求的值； (2)若，则的值为______； (3)如图，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为30，则图中阴影部分的面积和为______． (4) 【答案】(1) (2) (3)76 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， （1）设，可得，再将待求式整理为，整体代入求值即可； （2）仿照（1）解答即可； （3）根据题意可知可得，然后得出，接下来得，最后根据完全平方公式的化简计算可得结果． 【详解】（1）解：设， ∴， 则； （2）解：设， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， 即； 故答案为：； （3）解：根据题意可知 ∴，根据题意，得 ， 令，可知， ． 故答案为：76． 69．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： (2)根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； (3)解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）根据完全平方公式变形求值，即可求解； （3）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：． 故答案为：；；． （2）解：∵ 由（1）得：， （3）设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【易错必刷二十四 求完全平方式中的字母系数】 70．（24-25八年级上·山东临沂·期末）若是关于的完全平方式，则的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出a的值． 【详解】∵是关于的完全平方式 ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 71．（24-25八年级下·西藏拉萨·期末）已知是一个完全平方式，则k的值是（    ） A．7 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，准确理解完全平方式的结构是解题的关键．根据完全平方公式：，逆用此公式即可确定k的值而得解． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴原式可化成， 展开可得， ∴， ∴，即． 故选D． 72．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知为实数，要使多项式是完全平方式，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：∵ 故答案为：． 【易错必刷二十五 整式的混合运算】 73．（24-25八年级上·河南信阳·期中）若，那么多项式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题以考查整式的化简求值知识点，解题的关键是先将多项式化简，再整体代入已知条件； 先根据完全平方公式和多项式乘法法则将多项式展开并合并同类项进行化简，再把已知的整体代入化简后的式子求值 【详解】， ， ， ， ， 故答案为：8． 74．（24-25九年级上·全国·期中）已知，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，根据整式的运算法则即可得到答案． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 75．（24-25八年级上·广东中山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多形式、多项式与单项式的乘法，合并同类项，先根据多项式与多形式、多项式与单项式的乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【易错必刷二十六 多项式除以单项式】 76．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据多项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 77．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式法则进行计算即可． （2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 78．（24-25八年级上·吉林四平·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了平方差公式和多项式除以单项式以及代数求值， 根据平方差公式和多项式除以单项式运算法则化简，然后代数求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【易错必刷二十七 计算单项式除以单项式】 79．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是单项式乘法与单项式的除法，积的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键． （1）先计算单项式乘以单项式，再计算单项式除以单项式，从而可得答案； （2）先计算单项式除以单项式与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 80．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式： （1）直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 81．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 本题考查了整式的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 【易错必刷二十八 用科学记数法表示数的除法】 82．（23-24八年级·全国·课后作业）计算（结果用科学记数法表示）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． 【详解】（1）解： （2） 83．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要 秒． 【答案】 【分析】根据时间=路程速度，列式计算即可． 【详解】解：秒． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查科学记数法的实际应用，同底数幂的除法，解题的关键是根据题意列出算式． 84．（24-25七年级下·广西崇左·期末）月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据时间路程速度，即可求解． 【详解】解：由题意得： 飞机飞行时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除法的应用，掌握相关运算法则是解题关键． 【易错必刷二十九 知二求三型计算】 85．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，根据，，且，进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 86．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）已知：，，则 ； 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 已知等式，利用完全平方公式化简，相减即可得出的值． 【详解】解：∵①， ， 得：， 解得：． 故答案为：． 87．（24-25八年级上·新疆哈密·期末）已知，，求 ． 【答案】19 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：19． 【易错必刷三十 整式的乘除新定义问题】 88．（24-25七年级下·四川达州·期中）我们定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，先根据题意得到，再由新定义得到，再把代入中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 89．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．则 ． 【答案】/ 【分析】根据，代入运算即可求解． 【详解】由题意得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查定义新运算，解题的关键是根据运算规则，正确运算． 90．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若定义  表示，  表示，则运算  的结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$