第四章 三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024）

第四章 三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一﹑选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，3，5 C．3，4，8 D．4，4，8 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、，能组成三角形，符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 2．如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，D为边上的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故选：A． 4．如图．点在同一条直线上，补充下列一个条件后．不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，由能判定与全等，该选项不合题意； 、∵， ∴， ∵，由能判定与全等，该选项不合题意； 、∵， ∴， 即， ∵，由能判定与全等，该选项不合题意； 、，，由两边及一边的对角相等不能判定与全等，该选项符合题意； 故选：． 5．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键． 根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：， ， ， 折叠凳的宽可能是， 故选：A． 6．如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案． 【详解】在和中， ， ∴， 故选：B． 7．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等． 【详解】解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 9．如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、三角形面积公式判断求解即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确，符合题意； ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确，符合题意； ，，， ； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得 ，即，；③由①可知 ，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知 ，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，则，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， 故答案为：． 12．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形书写时各对应顶点应在相应位置，可由此准确地找到对应关系． 【详解】解：∵，且与，与是对应顶点， ∴． 故答案为：． 13．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成12，9两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】6或8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为12和9两部分，列方程解得即可． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y，则 或， 解得：或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8． 故答案为：6或8 14．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 【详解】∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 15．如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过 秒时，． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值． 【详解】解：动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，． 理由如下： ①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． 综上可知，当或时． 故答案为：2或4． 3、 解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，点是线段的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 证明，即可得证． 【详解】证明：点是线段的中点， ， 在与中， ， ， ． 18．（8分）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：6． 19．（8分）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）由，推导出，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，根据同位角相等，两直线平行得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在与中， ． （2）由（1）得， ， ． 20．（8分）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 21．（8分）秋千问题 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点时，过点作于点．此时点到的距离． 【问题解决】当乐乐从处摆到处时，则有，过点作于点． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，直角三角形的性质： （1）由垂直的定义可得，通过等量代换可得； （2）证明，可得． 【详解】（1）证明：于点于点于点， ， ，， ． （2）解：在和中， ， ， 的长为． 22．（10分）如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． 根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中 ， ； （2）解：， ， ． 23．（10分）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（12分）等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求B点的坐标； (3)如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以、为腰，第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，9 【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）先过点作轴于，再判定，求得，，进而得出，即可得到点的坐标； （3）先过作，交轴于，再，得出，，然后判定，得出，即可求得（定值）． 【详解】（1）解：如图1，，， ， ；    （2）如图2，过点作轴于，则，    在和中， ， ， ，， ， 又点在第三象限， ； （3）的长度不会发生改变． 理由：如图3，过作，交轴于，则，   等腰、等腰， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终是9． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一﹑选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，3，5 C．3，4，8 D．4，4，8 2．如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在中，D为边上的中点， 的面积为4，则的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．如图．点在同一条直线上，补充下列一个条件后．不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 5．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 9．如图，在中，，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④的面积是的面积的2倍；上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，，则的度数为 ． 12．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则 ． 13．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成12，9两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 14．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    15．如图，小明用一些长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内．经测量，，则两面木墙之间的距离 cm． 16．如图，在中，已知，，AH是的高，，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接，经过 秒时，． 3、 解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）如图，点是线段的中点，．求证：． 18．（8分）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 19．（8分）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)． 20．（8分）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 21．（8分）秋千问题 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点时，过点作于点．此时点到的距离． 【问题解决】当乐乐从处摆到处时，则有，过点作于点． (1)求证： (2)求的长． 22．（10分）如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 23．（10分）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 24．（12分）等腰，，，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求B点的坐标； (3)如图3，点，Q、A两点均在x轴上，且．分别以、为腰，第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$