数学试题-【名校面对面】河南省三甲名校2024-2025学年校内自测卷（二）

数学试题 第 1 页 共 4 页 河南省三甲名校25年校内自测卷（二）（ssyzx-2） 数学试题 一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．设集合   2 , 1,1M y y x x    ，   2log 1N x y x   ，则M N  （ ） A．  1 2， B． 1 2， C． 2 1 ， D． 21 ， 2．若复数 z满足  1 2i 3 4iz     （ i是虚数单位），则复数 z的虚部是（ ） A．1 B．2 C． i D． 2i 3．已知等比数列 na 的公比为 q，且 1 0a  ，则“0 1q  ”是“ na 是递减数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．过抛物线 2: 4C y x 焦点 F 作倾斜角为30o的直线交抛物线于 ,A B，则 AB （ ） A． 1 3 B． 2 3 C．1 D．16 5．已知圆    2 2 1, 4, , 4,C x y A a B a  : ，若圆 C上有且仅有一点 P使 PA PB ，则正实数 a 的取值为（ ） A．2或 4 B．2或 3 C．4或 5 D．3或 5 6．设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，且      1 1 1, , 4 3 2 P A P B P A B    ，则  |P B A （ ） A． 14 B． 1 6 C． 1 3 D． 1 12 7．学校决定派甲、乙、丙等六名教师去包括建安中学在内的三所学校支教（每所学校至少安 排一名教师），甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去建安中学，则不同的分配方法 有（ ）种. A．144 B． 260 C．320 D．540 8．在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数 数学试题 第 2 页 共 4 页 tanh是比较常用的一种，其解析式为   e etan e e x x x xh x      .关于函数  tanh x ，下列结论错误．．的 是（ ） A．  tanh 1x   有解 B．  tanh x 是奇函数 C．  tanh x 不是周期函数 D．  tanh x 是单调递增函数 二、多选题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9．已知 2 3 6a b  ，则下列关系中正确的是（ ） A． 4a b  B． 2ab  C． 2 2 8a b  D． 2 2( 1) ( 1) 2a b    10．e是自然对数的底数， ,m nR ，已知 e ln lnmm n n n m   ，则下列结论一定正确的是（ ） A．若 0m  ，则 0m n  B．若 0m  ，则 e 0m n  C．若 0m  ，则 ln 0m n  D．若 0m  ，则 e 2m n  11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点 A，B的距离之比为定值 ( 1)   的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为 阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系 xOy中， (1,0)A ， (3,0)B ，点 P满足 2 PA PB  ， 点 P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是（ ） A．曲线C的方程为 2 2 10 17 0x y x    B．直线3 4 0x y  与曲线C有公共点 C．曲线C被 x轴截得的弦长为 4 2 D． ABP 面积的最大值为 2 2 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知向量 a  ，b  满足 2 4a b   ，且 2 5a b   ，则向量a  ，b  夹角的余弦值是 . 13．已知定义在  0,  上的函数   2f x x m  ，   6ln 4g x x x  ，设曲线  y f x 与  y g x 在公共点处的切线相同，则实数m  ． 数学试题 第 3 页 共 4 页 14．如图，已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     上的三个点， AB经过原点 ,O AC经过 右焦点 F .若以 AB为直径的圆经过右焦点 F 且 2CF FA   ，则该双曲线的离心率等 于 . 四、解答题（共 5 小题，共 77 分） 15．（本小题 13分）已知 ABC△ 内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c， sin sin 2a B b A ． (1)求A； (2)若 6a  ， 2 15AB AC    ，求 ABC△ 的周长． 16．（本小题 15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， E是 PD的中 点，点 F 在线段 PB上． (1)证明： //PB 平面 ACE． (2)若 PA 平面 ABCD， 3PA AB  ， 5BC  ， 4AC  ，平面 FAD与平面PAC夹角的余弦值 为 4 29 29 ，求 PF FB 的值． 数学试题 第 4 页 共 4 页 17．（本小题 15分）已知函数     1 ln 1 .f x x x   (1)求曲线  y f x 在   1, 1f 处的切线方程; (2)证明：   1 . 2 f x   18.（本小题 17分）已知点 (0, 3), (0, 3)A B  ，点 P在以 AB为直径的圆上运动， PD y 轴， 垂足为D，点M 满足 3 2 DP DM   ，点M 的轨迹为C . (1)求C的方程： (2)过点 (0,1)N 的直线 l交C于点 E F､ ，设直线 AE BF､ 的斜率分别为 1k ､ 2k ，证明 2 1 k k 为定值， 并求出该定值. 19.（本小题 17 分）已知椭圆 C：y 2 a2 ＋ x2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率是 5 3 ，点 A(－2,0)在 C上． (1)求 C的方程； (2)直线 l交 C于不同于点 A 的 P，Q两点，直线 AP，AQ与 y轴的交点分别为 M，N，线段 MN的中点恒为定点（0,3）．证明直线 l过定点 河南省三甲名校25年校内自测卷（二)(SSyZX--2) 数学答案 殿号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 c B c A 0 A ABD BC 题号 11 答案 ACD 12. 7 32 13.5 14.⑦ 3 15.【详解】(1)由正弦定理及二倍角公式得sin Asin B=2 sin B sin AcosA, 因为4，Be0,对，所以simA>0,s如B>0,故cosA= 1 所以A= 3 5分 (2)由2A正.AC=15,得2 bc cosA=15,则bc=15, 由余弦定理得d=b2+c2-2 bccos A=(b+d2-3bc, 所以(b+c)2=a+3c=81,故b+c=9, 所以△ABC周长为a+b+c=1513分 16.【详解】(1)法一：如图，连接BD,设BDOAC=G,连接GE. D 因为四边形ABCD是平行四边形，所以G为BD的中点， 因为E为PD的中点，所以由中位线定理得GBPB, 因为GBc平面ACE,PB丈平面ACE, 所以PB∥平面ACE.6分 法二：因为AB=3,BC=3,，AC=4,所以AB2+AC2=BC2, 则AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD,所以AB,AC,AP两两垂直. 以A为坐标原点，AB,AC,AP的方向分别为x,y,轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示 由PA=AB=3,BC=5,AC=4,可知A(0,0,0),C(0,4,0), 第1页共4页 BBa0叭.PQ0).(-340,32 则c=Q40.-(2引 PB=(3,0,-3) 设石=(5，，二)是平面ACE的法向量， a.AC=0, 4y=0, 则 得 3 a.AF=0, 2+2y+2=0, 取=1，可得a=(L,0,1).因为a.PB=3-3=0, 所以aLPB,则PB∥平面ACE. (2)因为AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB2+AC2=BC2,则AB LAC 又PA⊥平面ABCD,所以AB,AC,AP两两垂直. 以A为坐标原点，A正，AC,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示. 9分 由PA=AB=3,BC=5,AC=4, B 可知A(000),B(3,0,0),P(0.0,3),D(-3.40). 设PF=2PB(0≤A≤1)， 则AF=AP+P℉=(31,0,3-3)，AD=(-3,4,0). 设i=(x,y,)是平面FAD的法向量， i-AD=0,「-3x+4y=0, i.证=0，得32x+(3-3)2=0取x=4,可得i=4,3,42 由 得 …11分 取平面PAC的一个法向量为m-(L,0,0). 设平面FAD与平面PAC的夹角为日， 元.列 4 4W29 c0s0= 园 4 29, 16+9 -1 解得1= 所以PR1 =月 3 】4分 FB215分 17.【详解】(1)由题意可得f0)=0,f”x)=1nx-1,则f①)=-1， 第2页共4页 故曲线y=f(x)在(1，f(但)处的切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.5分 (2)“f(x)=hx-1 设1=)=m->0,则r-士宁>0，故了a)在区间0o)上单调造增。 而f0=-1<0,f2=h2-号h2-hv6>0, 必然存在x∈(1,2)，满足f(x)=0, 且当xe(0,)时f'(x)<0,当xe(6,+∞)时f(x)>0, 即f(x)在区间(0，x)上单调递减，在区间(x,+∞)上单调递增， 当x=x。时，f(x)取得最小值， 则f(x)=(x-1)(nx-1), …10分 由/)-0同箱名)2-飞* ~对勾函数y=】+x在区间L,2)上单调递增， 215分 18.【详解】(1)依题意，点P在圆x2+y2=3上运动，设M(x,y),P(),D(0), 由丽-5am,得化，0=5x-w: ,又x2+⅓2=3.即+=3 2 yo=y 所以C的方程为+卫 43 =16分 (2)依题意，直线1斜率存在，设直线的方程为y=+1,E(化，)，F(x,y,), y=kx+1 -8k -8 一任+号得3++8-80则+3+4护3+9分 又5=-5k=+5 +=1分 则2=g+-你+1+_+0+5+s+0+ k(y-V3)x2(,+1-B)xx,+0-6)x:x+x,+Q-)x, 第3页共4页 B =+2+B压=2+5. (2-√3)x,+x 所以会为定值2517分 b=2, a=3, 19.(1)解 由题意可得=b2+c2, 解得b=2, 合 c=V5, 以椭圆C的方程为+ 94 (2)证明由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图， P61,),Q,,因为A(-2,0,则直线AP:y=h《+2). x1+2 0,29 令x=0,解得y=2少，即d01十2 x1+2 0,2) 2y1+2y2 同理可得，2十2则x1十2x2+2=3, …,8分 (2)设直线1的方程为y=kx+c,代入椭圆方 程得交点P(x1,h1)和Q(x2,h)。直线AP和AQ 与y轴交于M0)和N0架。由 MN中点恒为(0,3)，得： 2 0+22+2=3 利用韦达定理及代数化简，最终解得c=2k+ 3,即直线1的方程为y=k(x+2)+3,恒过定 点(-2,3)。故直线1过定点： (-2,3) ……,17分 第4页共4页