课时达标检测(14) 离散型随机变量的方差(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课时达标检测(十四)　离散型随机变量的方差 基础达标 一、单项选择题 1.随机变量X的方差,反映其取值的 (C) A.平均水平 B.分布规律 C.波动大小 D.最大值和最小值 2.若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,则E(X)和D(X)分别为 (A) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 解析　因为X服从两点分布,所以X的分布列为 X 0 1 P 0.5 0.5 所以E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5,D(X)=(0-0.5)2×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25。 3.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量ξ=则ξ的方差D(ξ)等于 (D) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 解析　随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1-m m 所以E(ξ)=0×(1-m)+1×m=m。 所以D(ξ)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m)。故选D。 4.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则D(3X+5)等于 (A) A.6　　　B.9　　　C.3　　　D.4 解析　E(X)=1×+2×+3×=2,所以D(X)=×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=,所以D(3X+5)=9D(X)=9×=6。故选A。 5.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为 X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛,更适合参赛的运动员是 (A) A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定 解析　因为E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,所以D(X1)<D(X2),即甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好。 6.编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为 (D) A. B. C. D.1 解析　X的所有可能取值为0,1,3,,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=3)==,E(X)=0×+1×+3×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1。 二、多项选择题 7.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (ABC) A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4 C.D(X)= D.D(4X+1)=4 解析　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,E(X)=0×+1×=,所以P(X=1)=E(X),故A正确;E(4X+1)=4E(X)+1=4×+1=4,故B正确;D(X)=0-2×+1-2×=,故C正确;D(4X+1)=42D(X)=16×=3,故D不正确。故选ABC。 8.设0<p<,随机变量ξ的分布列如下表所示,则当p在0,内增大时 (BC) ξ 0 1 2 P 1-2p p p A.E(ξ)先减小后增大 B.E(ξ)一直增大 C.D(ξ)先增大后减小 D.D(ξ)一直增大 解析　由题,得E(ξ)=3p,易知,当p在0,内增大时E(ξ)一直增大。D(ξ)=(3p-0)2×(1-2p)+(3p-1)2×p+(3p-2)2×p=-9p2+5p=-9p-2+,所以当p在0,内增大时,D(ξ)先增大后减小。 三、填空题 9.已知随机变量X,且D(10X)=,则X的标准差为  。  解析　由题意可知D(10X)=,即100D(X)=,所以D(X)=,所以=,即X的标准差为。 10.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为 0.4 , 0.1 , 0.5 。  解析　由题意知, 解得 11.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表所示。 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误 天数Y 0 2 6 10 历史气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延误天数Y的方差为 9.8 。  解析　由题意,得P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1。所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8。故工期延误天数Y的方差为9.8。 四、解答题 12.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a,b的值; (2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况。 解　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3。同理0.3+b+0.3=1,b=0.4。 (2)E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,D(ξ)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,D(η)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6。由于E(ξ)>E(η),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(ξ)>D(η),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优劣。 13.某超市准备销售某种食品,厂家提供的返利方案如下:每天卖出30件以内(含30件)的食品,每件食品返利5元,超出30件的部分每件返利8元。该超市经10天试销获得如下销售数据:28,30,31,29,31,30,29,32,31,31(单位:件)。 (1)从试销的10天中任意抽取两天,求这两天的销售量都小于30的概率; (2)若将频率视作概率,记厂家的日返利额为X(单位:元),求随机变量X的分布列、数学期望和方差。 解　(1)设事件A为“抽取的两天销售量都小于30”。因为试销的10天中销售量小于30的有3天,所以P(A)===。 (2)设超市的日销售量为a件,则 当a=28时,X=28×5=140;当a=29时,X=29×5=145;当a=30时,X=30×5=150;当a=31时,X=30×5+1×8=158;当a=32时,X=30×5+2×8=166。 所以X的所有可能取值为140,145,150,158,166,且P(X=140)=,P(X=145)==,P(X=150)==,P(X=158)==,P(X=166)= ,所以X的分布列为 X 140 145 150 158 166 P 所以E(X)=140×+145×+150×+158×+166×=152.8。 所以D(X)=(140-152.8)2×+(145-152.8)2×+(150-152.8)2×+(158-152.8)2×+(166-152.8)2×=58.36。 素养提升 14.如图,某工人的住所在A处,上班的企业在D处,开车上下班有三条路程几乎相等的路线供选择:环城南路经过路口C,环城北路经过路口F ,中间路线经过路口G。如果开车到五个路口B,C,E,F ,G因遇到红灯而堵车的概率分别为,,,,,再无别的路口红灯。 (1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数,这位工人应该选择哪条行驶路线? (2)对于(1)所选择的路线,求其堵车次数的方差。 解　(1)设这位工人选择行驶路线A—B—C—D,A—F —E—D,A—B—G—E—D分别堵车X1,X2,X3次,则X1=0,1,2,X2=0,1,2,X3=0,1,2,3。由于P(X1=0)=×=,P(X1=1)=×+×=,P(X1=2)=×=,则E(X1)=0×+1×+2×=。由于P(X2=0)=×=,P(X2=1)=×+×=,P(X2=2)=×=,则E(X2)=0×+1×+2×=。由于P(X3=0)=××=,P(X3=1)=××+××+××=,P(X3=2)=××+××+××=,P(X3=3)=××=,则E(X3)=0×+1×+2×+3×=。比较知E(X2)最小,所以这位工人应该选择行驶路线A—F —E—D。 (2)由(1),知E(X2)=,P(X2=0)=,P(X2=1)=,P(X2=2)=,则D(X2)=0-2×+1-2×+2-2×=,所以堵车次数的方差为。 15.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数。 (1)求方差D(ξ)的最大值; (2)求的最大值。 解　随机变量ξ的所有可能取值为0,1,并且有P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,从而E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,D(ξ)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2。 (1)D(ξ)=p-p2=-p2-p++=-p-2+,因为0<p<1,所以当p=时,D(ξ)取得最大值,最大值为。 (2)==2-2p+,因为0<p<1,所以2p+≥2。当2p=,即p=时,取等号。因此,当p=时,取得最大值2-2。 学科网（北京）股份有限公司 $$