课时达标检测(14) 离散型随机变量的方差-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版）

课时达标检测(十四)　离散型随机变量的方差 基础达标 一、单项选择题 1.随机变量X的方差,反映其取值的 (C) A.平均水平 B.分布规律 C.波动大小 D.最大值和最小值 2.若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,则E(X)和D(X)分别为 (A) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 解析　因为X服从两点分布,所以X的分布列为 X 0 1 P 0.5 0.5 所以E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5,D(X)=(0-0.5)2×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25。 3.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量ξ=则ξ的方差D(ξ)等于 (D) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 解析　随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1-m m 所以E(ξ)=0×(1-m)+1×m=m。 所以D(ξ)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m)。故选D。 4.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则D(3X+5)等于 (A) A.6　　　B.9　　　C.3　　　D.4 解析　E(X)=1×+2×+3×=2,所以D(X)=×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=,所以D(3X+5)=9D(X)=9×=6。故选A。 5.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为 X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛,更适合参赛的运动员是 (A) A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定 解析　因为E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,所以D(X1)<D(X2),即甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好。 6.编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为 (D) A. B. C. D.1 解析　X的所有可能取值为0,1,3,,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=3)==,E(X)=0×+1×+3×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1。 二、多项选择题 7.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (ABC) A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4 C.D(X)= D.D(4X+1)=4 解析　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,E(X)=0×+1×=,所以P(X=1)=E(X),故A正确;E(4X+1)=4E(X)+1=4×+1=4,故B正确;D(X)=0-2×+1-2×=,故C正确;D(4X+1)=42D(X)=16×=3,故D不正确。故选ABC。 8.设0<p<,随机变量ξ的分布列如下表所示,则当p在0,内增大时 (BC) ξ 0 1 2 P 1-2p p p A.E(ξ)先减小后增大 B.E(ξ)一直增大 C.D(ξ)先增大后减小 D.D(ξ)一直增大 解析　由题,得E(ξ)=3p,易知,当p在0,内增大时E(ξ)一直增大。D(ξ)=(3p-0)2×(1-2p)+(3p-1)2×p+(3p-2)2×p=-9p2+5p=-9p-2+,所以当p在0,内增大时,D(ξ)先增大后减小。 三、填空题 9.已知随机变量X,且D(10X)=,则X的标准差为  。  解析　由题意可知D(10X)=,即100D(X)=,所以D(X)=,所以=,即X的标准差为。 10.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为 0.4 , 0.1 , 0.5 。  解析　由题意知, 解得 11.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表所示。 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误 天数Y 0 2 6 10 历史气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延误天数Y的方差为 9.8 。  解析　由题意,得P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(