精品解析：山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 贴窗花是古老的传统节日习俗，新春佳节时，中国许多地区的人们都喜欢在窗户上贴各种剪纸窗花．窗花不仅烘托了喜庆的节日气氛，也为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是太原市现存最高的古建筑．如图所示的正八边形是双塔平面示意图，其每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 7 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（ ） A. B. C D. 7. 大同到太原的铁路长274千米，动车运行后的平均速度是原来火车平均速度的1.8倍，这样由大同到太原的行驶时间缩短了2小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，于点是的中点，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10 9. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 的取值 4 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 10. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. 118° B. 125° C. 136° D. 124° 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______． 12. 如图，直线分别与的边，平行，，，则的度数是______． 13. 计算的结果是______． 14. 科技创新加速中国高铁技术发展．某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 你们是用天完成了米长的高架桥铺设任务吗？ 是的，我们铺设米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设的长度是原来的倍．最后按期完成了任务． 若设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则可列方程为______． 15. 如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝ BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，，分别是的高，且，求证：． 18. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 小颖： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 任务： （1）经过讨论，他们发现小彬解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为______，小颖的解答错误，从第______步开始出错，错误的原因在______． （2）按照小颖的思路，写出正确的解答过程． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于直线m对称的，若点为内部任意一点，请直接写出这个点在内部对应点Q的坐标． 20. 阅读下面材料：在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某月份的月历，我们任意选择两组数（阴影表示），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的结果都是48．例如：． （1）再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律？ （2）请利用整式的运算对这个规律加以证明． 21. 【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》， 随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． （1）【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． （2）【解后反思】 以上解题过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？ 22. 综合与实践 在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务． 作法：如图1． ①分别作，的垂直平分线，交于点； ②连接，， 结论：沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形 理由：∵点在线段的垂直平分线上， ∴______．（依据） 同理，得 ∴ ∴，，都是等腰三角形． 任务： （1）上述过程中，横线上的结论为______，括号中的依据为______． （2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数． （3）如图3，在等腰三角形纸片中，，．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴上，点的坐标为，以为边在第一象限作等边三角形，连接垂直平分，与轴交于点，垂足为点． （1）求的长． （2）连接，求证：． （3）连接，交于点，则与有何数量关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末考试八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并填入下表相应的位置） 1. 贴窗花是古老的传统节日习俗，新春佳节时，中国许多地区的人们都喜欢在窗户上贴各种剪纸窗花．窗花不仅烘托了喜庆的节日气氛，也为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．下列窗花作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是太原市现存最高的古建筑．如图所示的正八边形是双塔平面示意图，其每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和，熟记正多边形的外角和等于是解题关键．根据正多边形的外角和求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：三条线段的长分别是5，5，，它们能构成三角形， ， ， 整数的最大值是9． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：D． 5. 如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的判定方法：，，，即可判断． 【详解】解A、由可以判定，故不符合题意； B、，这两个角分别是，的对角，不能判定，故符合题意； C、由可以判定，故不符合题意； D、由可以判定，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 6. 如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积， 根据题意可知大长方形的面积为，等于一个小正方形的面积加上三个长方形的面积再加上两个正方形的面积，可得答案． 详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 7. 大同到太原的铁路长274千米，动车运行后的平均速度是原来火车平均速度的1.8倍，这样由大同到太原的行驶时间缩短了2小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，根据题意可知动车的平均速度为，再根据动车行驶的时间等于原来火车行驶的时间减去2小时得出方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：C． 8. 如图，在中，，，于点是的中点，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：， ， 是的中点， ， 为等边三角形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9. 已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ） 的取值 4 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确， ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：，D选项正确，A选项错误， 由上分析，原分式为， ∵当时，原分式值为1， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键． 10. 如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ） A. 118° B. 125° C. 136° D. 124° 【答案】D 【解析】 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 如图，直线分别与的边，平行，，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据“两直线平行同旁内角互补”得，再根据三角形的外角的性质得，然后根据“两直线平行同位角相等”得出答案． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∴． 根据三角形外角的性质得， ∴． ∵直线， ∴． 故答案为：． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．先根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 科技创新加速中国高铁技术的发展．某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 你们是用天完成了米长的高架桥铺设任务吗？ 是的，我们铺设米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设的长度是原来的倍．最后按期完成了任务． 若设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． 设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥米，利用工作时间工作总量工作效率，即可得关于的分式方程． 【详解】解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度为米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥米， 根据题意得：， 故答案为：． 15. 如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝ BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等判定定理与性质可得，再根据角的和差、直角三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，同理可得出，最后根据角的和差即可得． 【详解】如图，连接BD、AE， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形，， 即， 同理可得：， 即， ， 又， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键； （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后检验； （2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算． 【详解】解：（1）方程两边乘 ，得 ． 解得 ． 检验： 当 时， ． 所以，原分式方程的解为 ． （2）原式 ， ， 当时，原式． 17. 如图，，分别是的高，且，求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可； 【详解】证明：∵，分别是的高， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 18. 在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 小颖： 原式 ……第1步 ……第2步 ……第3步 任务： （1）经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为______，小颖的解答错误，从第______步开始出错，错误的原因在______． （2）按照小颖的思路，写出正确的解答过程． 【答案】（1）；1；没有变号 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照分解因式的正确步骤对计算过程进行逐步检查即可 （2）正确写出完整的解答过程． 【小问1详解】 解：； 小颖的解答错从第 1步开始出错，错误的原因是没有变号， 正确的应是：； 【小问2详解】 原式， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的基本步骤，关键在于熟练掌握因式分解的算法，并对解题过程进行正确检验． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于直线m对称的，若点为内部任意一点，请直接写出这个点在内部对应点Q的坐标． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图，再由点的坐标关于x对称可写出点的坐标； （2）利用轴对称变换的性质作图，再根据与到直线的距离相等即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即所求， ∵与点B关于x轴对称的对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解；如图，即所求， ∵与关于直线m对称， ∴与到直线的距离相等， ∴内点与点Q到直线的距离相等， ∵在第三象限， ，， ∴点P和点Q到直线直线的距离是， ∴点Q的坐标为． 20. 阅读下面材料：在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某月份的月历，我们任意选择两组数（阴影表示），分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，得到的结果都是48．例如：． （1）再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律？ （2）请利用整式的运算对这个规律加以证明． 【答案】（1）选择4，10，12，18，符合这个规律； （2）见解析 【解析】 【分析】本题是规律探索题，考查了有理数混合运算的应用，整式混合运算的应用，理解已知规律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据月历表选择一组数，按照题干规律计算即可； （2）设左边的数字是，则上边的数字是，下边的数字是，右边的数字是，根据题干规律列式，，再根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则展开后合并，即可证明规律． 【小问1详解】 解：根据月历表选择4，10，12，18， ，符合这个规律． 【小问2详解】 证明： 设左边的数字是，则上边的数字是，下边的数字是，右边的数字是． 根据题意，得 ， 这个规律成立． 21. 【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》， 随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． （1）【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． （2）【解后反思】 以上解题的过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？ 【答案】（1）见解析 （2）方程思想 【解析】 【分析】（1）问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可；问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x人．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可； （2）这充分体现了方程思想，即可． 【小问1详解】 解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设：乙校的人数为x人．根据题意可列方程： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人 ， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为x人．根据题意可列方程： 解得： 经检验，是原方程得解，且符合题意， 册 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 【小问2详解】 解后反思：方程思想 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 22. 综合与实践 在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务． 作法：如图1． ①分别作，的垂直平分线，交于点； ②连接，， 结论：沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形 理由：∵点在线段的垂直平分线上， ∴______．（依据） 同理，得 ∴ ∴，，都是等腰三角形． 任务： （1）上述过程中，横线上的结论为______，括号中的依据为______． （2）受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数． （3）如图3，在等腰三角形纸片中，，．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线） 【答案】（1）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 （2）是顶角为的等腰三角形；是顶角为的等腰三角形；是顶角为的等腰三角形（答案不唯一） （3）见解析；（答案不唯一） 【解析】 【分析】对于（1），根据线段垂直平分线的性质得出结论； 对于（2），根据等腰三角形的性质得出，进而得出，即可判断和 的特征，然后根据等腰三角形的判定说明即可； 对于（3），根据线段垂直平分线的性质定理得出结论． 【小问1详解】 ， 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 故答案为：， 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 【小问2详解】 答案不唯一，如图，连接，，则，即为所求． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形． ∵， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形； 【小问3详解】 如图，作，的垂直平分线，交于点D，E，连接，.裁剪线为和． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴上，点的坐标为，以为边在第一象限作等边三角形，连接垂直平分，与轴交于点，垂足为点． （1）求的长． （2）连接，求证：． （3）连接，交于点，则与有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据含直角三角形的性质解答； （2）根据直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质可得 ，再结合等边三角形的性质得，然后根据“边角边”证明，可得答案； （3）作于点，则，根据“角角边”证明，可得，由（2）可得，然后根据“角角边”证明，进而得出答案． 【小问1详解】 解： ． 在 Rt 中， ； 【小问2详解】 证明： ， ． 垂直平分 ， ， ， ． 是等边三角形， ， ， ， ． ； 【小问3详解】 解：． 理由：如图，过点作于点，则． 是等边三角形， ． ， ． 又 ， ， ． 由（2）知 ． ． ， ． 又 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$