2025年上海市金山区中考数学一模试卷

2025年上海市金山区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的。选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．（4分）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．（其中m是常数） B．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x2 2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，下列叙述正确的是（　　） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是（20，25） B．抛物线有最高点，最高点的坐标是（﹣20，25） C．抛物线有最高点，最高点的坐标是（20，25） D．抛物线有最低点，最低点的坐标是（﹣20，25） 4．（4分）下列说法中，正确的是（　　） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含45°角的两个等腰三角形一定相似 D．含105°角的两个等腰三角形一定相似 5．（4分）在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．下列结论中．错误的是（　　） A．△ADE∽△ABC B． C． D．DE∥BC 6．（4分）已知二次函数y＝f（x）的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若f（﹣5）、f（﹣1）、f（4）、f（7）这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0是（　　） A．f（﹣5） B．f（﹣1） C．f（4） D．f（7） 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）已知a、b是不等于0的实数，7a＝5b，那么 　 　． 8．（4分）已知f（x）＝4x2﹣1，那么 　 　． 9．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为 　 　． 10．（4分）第七届中国国际进口博览会（同称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为2.6厘米．那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 　 　千米． 11．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使△ADE∽△ACB（顶点A、D、E分别与顶点A、C、B对应）．这个条件可以是 　 　．（写出一种情况即可） 12．（4分）（洞孔成像）如图，AB∥A′B′，物像A′B′所在正方体的面与平面A′B′AB垂直，根据图中尺寸，已知物像A′B′的长为4，那么物AB长为 　 　． 13．（4分）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差2.4厘米，那么这两条高的长度和为 　 　厘米． 14．（4分）在△ABC中，如果AB＝AC，这个三角形的重心为点G，设，那么向量用向量、表示为 　 　． 15．（4分）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么残疾人通道的坡度为 　 　．（结果保留根号的形式） 16．（4分）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段AB分割成两条线段． （1）过点B作BC⊥AB，使． （2）联结AC，在线段CA上被取CD＝CB． （3）在线段AB上截取AE＝AD．那么 　 　． 17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝13，点E在边DC上，将矩形ABCD沿AE翻折，点D恰好落在边BC上的点F处，那么EC的长为 　 　． 18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线l1：y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0），以原点为中心，旋转180°得抛物线l2，则称l2是l1的“中心对称抛物线”．已知抛物线y1＝x2﹣3x﹣4，将抛物线y1向左平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为A、B．将抛物线y1的“中心对称抛物线”y2向右也平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C、D．当线段BC是线段AB、BD的比例中项时，n的值为 　 　． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知：抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，3）和B（2，1）． （1）求抛物线的表达式； （2）若点C（6，m）在抛物线y＝ax2+bx上，求∠ACO的正弦值． 21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点E在边AD上，且∠AEO＝∠AOE． （1）求AE的长； （2）求tan∠AEO的值． 22．（10分）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）． 是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）． 23．（12分）已知：如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AE与DC交于点F，与BC的延长线交于点H． （1）求证：AE2＝EF•EH； （2）联结DH，若DH＝AB，AD2＝AE•AH，求证：四边形ABCD是菱形． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0），f（x）的图象与x轴的两个交点分别为点P、点Q（其中点P在点Q左侧）． （1）若将f（x）的图象向上平移2个单位，得到的新抛物线g（x）经过点（1，﹣3），求新抛物线g（x）的表达式； （2）若f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势，求b的取值范围； （3）在（1）中所求的g（x）的图象与y轴的交点记为点B，与x轴的正半轴交点记为点A，点M在g（x）的图象上．当直线MQ与直线PB垂直，且时，求点M的坐标． 25．（14分）已知三角形ADE的顶点E在三角形ABC的内部，点D、点E在直线AC同侧． （1）如图1，联结BD、BE、CE，若△ABC和△ADE是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．CE：DE＝1：2，求S△ADE：S△ABC的比值； （2）如图2，联结BD、BE、CE，∠BAC＝∠DAE＝n°（0＜n＜90），若AB＝AC，AD＝AE，求∠BEC﹣∠DBE的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC，点E在高BH上，点D在HB的延长线上，联结AE并延长交边BC于点F，联结DF，DA，若∠DAE＝∠ABH，△ABD与△BDF相似时，求EH的长． 2025年上海市金山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C D B D 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的。选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．（4分）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．（其中m是常数） B．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可解答． 【解答】解：A、yx+m2（其中m是常数），是一次函数，故不符合题意； B、y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数），当a≠0时是二次函数，故B不符合题意； C、y＝（2x﹣1）x＝2x2﹣x，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x．y是变量，a，b，c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，然后利用锐角三角函数定义的定义逐项判断即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC， sinB，则A符合题意； cosB，则B不符合题意； cotB，则C不符合题意； tanB，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，下列叙述正确的是（　　） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是（20，25） B．抛物线有最高点，最高点的坐标是（﹣20，25） C．抛物线有最高点，最高点的坐标是（20，25） D．抛物线有最低点，最低点的坐标是（﹣20，25） 【分析】根据抛物线顶点式特征确定正确选项即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣20）2+25，开口向下，有最高点，最高点坐标（20，25），只有选项C符合条件． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数性质、二次函数最值，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（4分）下列说法中，正确的是（　　） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含45°角的两个等腰三角形一定相似 D．含105°角的两个等腰三角形一定相似 【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【解答】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含45°角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含105°角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 5．（4分）在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．下列结论中．错误的是（　　） A．△ADE∽△ABC B． C． D．DE∥BC 【分析】根据题意画出图形，再利用三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：如图， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC，DE∥BC，△ADE∽△ABC，故A、C、D正确； ∵AD＝BD， ∴， ∴， ∴S△ADES△ABC，故B错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟知以上知识是解题的关键． 6．（4分）已知二次函数y＝f（x）的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在y轴右侧．当抛物线与x轴两交点的距离为9时，若f（﹣5）、f（﹣1）、f（4）、f（7）这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0是（　　） A．f（﹣5） B．f（﹣1） C．f（4） D．f（7） 【分析】根据抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴两交点的距离为9，且f（﹣5）、f（﹣1）、f（4）、f（7）这四个函数值中有且只有一个值不大于0，根据二次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴右侧，且抛物线与x轴两交点的距离为9， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线与x轴两交点到对称轴的距离为4.5， 若f（﹣5）≤0，则f（﹣1）＜0，不符合题意，故f（﹣5）＞0； 若f（﹣1）≤0，则抛物线与x轴的一个交点范围为﹣4.5＜x≤﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点范围为4.5＜x≤8， ∴f（4）＜0，不符合题意，故f（﹣1）＞0； 当f（4）≤0时，抛物线与x轴的一个交点范围为﹣1＜x≤4， ∴抛物线与x轴的另一个交点范围为8＜x≤13， ∴f（7）＜0，不符合题意，故f（4）＞0； 故只能是f（7）≤0， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）已知a、b是不等于0的实数，7a＝5b，那么 　　． 【分析】先利用内项之积等于外项之积得到，然后根据合比性质求解． 【解答】解：∵7a＝5b， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 8．（4分）已知f（x）＝4x2﹣1，那么 　7　． 【分析】将x代入f（x）计算即可． 【解答】解：f（）＝4×（）2﹣1＝8﹣1＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查函数值，掌握求函数值的方法是解题的关键． 9．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为 　y＝（x﹣2）2﹣1　． 【分析】利用完全平方公式变形即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键． 10．（4分）第七届中国国际进口博览会（同称“进博会”）于2024年11月5日至10日在国家会展中心（上海）隆重举办．以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为2.6厘米．那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为 　52　千米． 【分析】比例尺＝图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【解答】解：设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为x千米， ∴2.6：x＝1：20， ∴x＝52， 答：小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为52千米． 故答案为：52． 【点评】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义． 11．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使△ADE∽△ACB（顶点A、D、E分别与顶点A、C、B对应）．这个条件可以是 　∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）　．（写出一种情况即可） 【分析】利用相似三角形的判定可直接求解． 【解答】解：添加∠ADE＝∠ACB， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， 故答案为：∠ADE＝∠ACB（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 12．（4分）（洞孔成像）如图，AB∥A′B′，物像A′B′所在正方体的面与平面A′B′AB垂直，根据图中尺寸，已知物像A′B′的长为4，那么物AB长为 　12　． 【分析】先过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交A′B′于点C′，依题意得OC＝15，OC′＝5，证明△OAB∽△OA′B′，再根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交A′B′于点C′，如图， 依题意得：OC＝15，OC′＝5， ∵AB∥A′B′，OC⊥AB， ∴OC⊥A′B′， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴，即， 解得：AB＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 13．（4分）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差2.4厘米，那么这两条高的长度和为 　5.6　厘米． 【分析】利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比列式计算即可． 【解答】解：设较短高为x厘米，则较长的高为（x+2.4）厘米， 根据题意得：x：（x+2.4）＝2：5， 解得：x＝1.6， 所以x+2.4＝4厘米， 所以两条高的长度的和为1.6+4＝5.6（厘米）， 故答案为：5.6． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应高的比等于相似比，难度不大． 14．（4分）在△ABC中，如果AB＝AC，这个三角形的重心为点G，设，那么向量用向量、表示为 　2　． 【分析】延长AG交BC于D，由三角形重心的性质得到BD＝CD，DGAG，因此，求出，得到22． 【解答】解：延长AG交BC于D， ∵G是△ABC的重心， ∴BD＝CD，DGAG， ∴， ∴， ∴， ∴22． 故答案为：2． 【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，关键是掌握平面向量的运算法则． 15．（4分）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么残疾人通道的坡度为 　1：3　．（结果保留根号的形式） 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据坡度的概念计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3.2米，BC＝0.4米， 由勾股定理得：AC（米）， 则残疾人通道的坡度为：0.4：1：3， 故答案为：1：3． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 16．（4分）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段AB分割成两条线段． （1）过点B作BC⊥AB，使． （2）联结AC，在线段CA上被取CD＝CB． （3）在线段AB上截取AE＝AD．那么 　　． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，作直线BC⊥AB于B，然后截取BCAB即可； （2）根据题意作出图形即可； （3）根据勾股定理得到ACAB，求得AD＝AE＝AC﹣CDABAB，得到BE＝AB﹣AE＝AB﹣（ABAB）AB，于是得到结论． 【解答】解：（1）如图所示；点C即为所求； （2）如图所示，点D即为所求； （3）如图所示，点E即为所求． ∵BC＝CD，ACAB， ∴AD＝AE＝AC﹣CDABAB， ∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣（ABAB）AB， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键． 17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝13，点E在边DC上，将矩形ABCD沿AE翻折，点D恰好落在边BC上的点F处，那么EC的长为 　　． 【分析】先根据翻折的性质得出AF＝AD，FE＝DE，然后在Rt△ABF中由勾股定理求出BF＝12，FC＝1，设DE＝x，则EF＝x，EC＝5﹣x，在Rt△EFC中，由勾股定理求出列方程求出x即可． 【解答】解：∵△AFE是△ADE沿AE翻折得到的， ∴△AFE≌△ADE， ∴AD＝AF，DE＝FE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，AD＝BC＝13， 在Rt△ABF中，BF12， ∴FC＝BC﹣BF＝13﹣12＝1， 设DE＝x，则EC＝5﹣x，EF＝x， 在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2， 即x2＝（5﹣x）2+12， 解得：x， ∴DE，EC＝5 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，根据翻折得△AFE≌△ADE是解题的关键． 18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线l1：y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0），以原点为中心，旋转180°得抛物线l2，则称l2是l1的“中心对称抛物线”．已知抛物线y1＝x2﹣3x﹣4，将抛物线y1向左平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为A、B．将抛物线y1的“中心对称抛物线”y2向右也平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C、D．当线段BC是线段AB、BD的比例中项时，n的值为 　　． 【分析】根据题意，求出A，B，C，D四点的坐标，进而求出AB，BD，BC的长，根据比例中项的定义，得到BC2＝AB•BD列出方程进行求解即可． 【解答】解：当y1＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴抛物线y1＝x2﹣3x﹣4与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（4，0）， ∵抛物线y1＝x2﹣3x﹣4向左平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为A、B， ∴A（﹣1﹣n，0），B（4﹣n，0）， ∵y1＝x2﹣3x﹣4＝（x）2， ∴抛物线y1的顶点坐标为（，）， 点（，）关于原点的对称点为（，）， ∴物线y1的“中心对称抛物线”y2的解析式为y2＝﹣（x）2， 当y2＝0时，﹣（x）20， 解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴抛物线y2与x轴的交点坐标为（﹣4，0），（1，0）， ∵抛物线y2向右平移n个单位长度，与x轴的交点从左到右依次为C、D， ∴C（﹣4+n，0），D（1+n，0）， ∴AB＝4﹣n+1+n＝5，BC＝4﹣n+4﹣n＝|8﹣2n|，BD＝4﹣n﹣1﹣n＝|3﹣2n|， ∵线段BC是线段AB、BD的比例中项， ∴BC2＝AB•BD， ∴（8﹣2n）2＝5|3﹣2n|， 解得：， 故答案为： 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：． 【分析】把特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【解答】解：原式（）2 3+4﹣2 ． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及实数的混合运算的法则是正确解答的关键． 20．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知：抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，3）和B（2，1）． （1）求抛物线的表达式； （2）若点C（6，m）在抛物线y＝ax2+bx上，求∠ACO的正弦值． 【分析】（1）把点A、点B的坐标分别代入y＝ax2+bx得到a、b的方程组，然后解方程组即可； （2）把C（6，m）代入（1）中解析式求出m，从而得到C（6，8），再分别计算出OA、OC、AC的长，则利用勾股定理的逆定理可判断△AOC为直角三角形，∠AOC＝90°，然后根据正弦的定义求解． 【解答】解：（1）把A（﹣4，3）、B（2，1）分别代入y＝ax2+bx得， 解得， ∴抛物线解析式为yx2x； （2）把C（6，m）代入yx2x得m366＝8， ∴C（6，8）， ∵A（﹣4，3）， ∴OA5，OC10， ∵AC5， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC为直角三角形，∠AOC＝90°， ∴sin∠ACO， 即∠ACO的正弦值为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和解直角三角形． 21．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点E在边AD上，且∠AEO＝∠AOE． （1）求AE的长； （2）求tan∠AEO的值． 【分析】（1）∵根据矩形的性质得到∠ABC＝90°，AOAC，根据勾股定理得到AC2，求得AO，于是得到结论； （2）过O作OH⊥AD于H，根据矩形的性质得到OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到AH＝DHAD，求得EH＝AE﹣AH2，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AOAC， ∵AB＝2，BC＝4， ∴AC2， ∴AO， ∵AE＝AO， ∴AE； （2）过O作OH⊥AD于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴AH＝DHAD， ∴EH＝AE﹣AH2， ∵OH1， ∴tan∠AEO2． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 22．（10分）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）． 是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）． 【分析】（1）根据锐角的正切值可以得到tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF，故过点E的直线交边DF于点G，使得∠DEG＝∠B，即可； （2）根据相似的性质，求出DG的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：存在，分割方案：（答案不唯一）， 如图： 过点E的直线交边DF于点G，使得∠DEG＝∠B， 证明：∠A＝∠D＝90°AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n， ∴，，tan∠DEF，， ∵n＞b＞a＞m， ∴， 即tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF， ∴∠E＞∠B＞∠C＞∠F， ∵∠A＝∠D＝90°，∠DEG＝∠B， ∴△ABC∽△DEG； （2）∵△ABC∽△DEG， ∴， ∵AB＝a，AC＝b，DE＝m， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．（12分）已知：如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AE与DC交于点F，与BC的延长线交于点H． （1）求证：AE2＝EF•EH； （2）联结DH，若DH＝AB，AD2＝AE•AH，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，CB∥AD，可证明△ABE∽△FDE，得，再证明△HBE∽△ADE，得，推导出，所以AE2＝EF•EH； （2）由AD2＝AE•AH，得，可证明△EAD∽△DAH，得∠ADE＝∠AHD＝∠HBD，进而证明△HDE∽△BDH，得∠AEB＝∠HED＝∠BHD，因为DH＝AB＝CD，所以∠BHD＝∠DCH＝∠ABH，则∠AEB＝∠ABH，可证明△AEB∽△ABH，得，则AB2＝AE•AH，所以AB2＝AD2，则AB＝AD，即可证明四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CB∥AD， ∵AB∥FD， ∴△ABE∽△FDE， ∴， ∵HB∥AD， ∴△HBE∽△ADE， ∴， ∴， ∴AE2＝EF•EH． （2）联结BD， ∵AD2＝AE•AH， ∴， ∵∠EAD＝∠DAH， ∴△EAD∽△DAH， ∴∠ADE＝∠AHD， ∵∠ADE＝∠HBD， ∴∠AHD＝∠HBD， ∵∠HDE＝∠BDH， ∴△HDE∽△BDH， ∴∠AEB＝∠HED＝∠BHD， ∵DH＝AB＝CD， ∴∠BHD＝∠DCH＝∠ABH， ∴∠AEB＝∠ABH， ∵∠EAB＝∠BAH， ∴△AEB∽△ABH， ∴， ∴AB2＝AE•AH， ∴AB2＝AD2， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明△ABE∽△FDE、△HBE∽△ADE及AB2＝AE•AH是解题的关键． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0），f（x）的图象与x轴的两个交点分别为点P、点Q（其中点P在点Q左侧）． （1）若将f（x）的图象向上平移2个单位，得到的新抛物线g（x）经过点（1，﹣3），求新抛物线g（x）的表达式； （2）若f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势，求b的取值范围； （3）在（1）中所求的g（x）的图象与y轴的交点记为点B，与x轴的正半轴交点记为点A，点M在g（x）的图象上．当直线MQ与直线PB垂直，且时，求点M的坐标． 【分析】（1）把点（1，﹣3）代入解析式f（x）中即可解出b的值； （2）先求出抛物线f（x）的对称轴为直线x，开口向上，当x时，y随x的增大而增大，又f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势，从而1，解得：﹣3≤b＜0． （3）先求出B（0，），A（3，0），P（﹣1，0），Q（﹣b，0），则QP＝﹣b+1，QA，根据建立方程﹣b+1＝3，解得b，所以Q（，0），当直线MQ与直线PB垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图1所示，可证明tan∠OQG＝tan∠HBG，即，解得OG，从而可得G（0，），根据待定系数法可求得直线QG的解析式为y，最后联立，可求M点坐标． 【解答】解：（1）由题知，g（x）＝x2+（b+1）x+b+2（b＜0），又过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝1+b+1+b+2，b， 故抛物线g（x）的表达式为g（x）． （2）抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0）的对称轴为直线x，开口向上， 当x时，y随x的增大而增大，又f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势， ∴1，解得：﹣3≤b＜0． （3）由（1）得g（x）（x﹣3）（x）， 则B（0，），A（3，0）， 而f（x）＝x2+（b+1）x+b＝（x+b）（x+1）（b＜0）， 故P（﹣1，0），Q（﹣b，0）， 则QP＝﹣b+1，QA，且， 即﹣b+1＝3，解得b或7（舍去）． ∴Q（，0）， 当直线MQ与直线PB垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图1所示， ∵∠GHB＝∠GOQ＝90°，∠OGQ＝∠HGB， ∴∠OQG＝∠HBG，从而tan∠OQG＝tan∠HBG， 即，即，解得OG， 从而G（0，）， 根据待定系数法可求得直线QG的解析式为y， 联立，整理得：6x2﹣19x﹣7＝0， 解得：，， 故点M的坐标为（，）或（，2）． 【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 25．（14分）已知三角形ADE的顶点E在三角形ABC的内部，点D、点E在直线AC同侧． （1）如图1，联结BD、BE、CE，若△ABC和△ADE是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．CE：DE＝1：2，求S△ADE：S△ABC的比值； （2）如图2，联结BD、BE、CE，∠BAC＝∠DAE＝n°（0＜n＜90），若AB＝AC，AD＝AE，求∠BEC﹣∠DBE的值（用含n的代数式表示）； （3）在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC，点E在高BH上，点D在HB的延长线上，联结AE并延长交边BC于点F，联结DF，DA，若∠DAE＝∠ABH，△ABD与△BDF相似时，求EH的长． 【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，设DH＝HE＝CE＝a，则AHa，CH＝DE＝2a，勾股定理求出AC，证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质即可解答； （2）证明△ADB≌△AEC（SAS），利用三角形内角和定理及角的等量代换即可解答； （3）①根据题意及角的等量代换求得DF＝AF，设DF＝AF＝5k，AD＝6k，利用相似三角形的性质求出CF，过点F作FG⊥AC于点G，求出FG，AG，根据tan∠FAG，列式求解即可；②证明△ABD≌△FBD（ASA），得到AD＝FD，则E、H重合，C、F重合，即可解答． 【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥CD于点H， ∵△ADE是等边三角形， ∴DH＝HE＝CE， 设DH＝HE＝CE＝a，则AHa，CH＝DE＝2a， 在Rt△AHC中，ACa， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴△ABC∽△ADE， ∴； （2）如图， ∵∠BAC＝∠DAE＝n°， ∴∠DAB＝∠EAC， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠1＝∠2， ∵∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）， ＝180°﹣[180°﹣（∠BAC+∠2+∠3）] ＝∠BAC+∠2+∠3 ＝∠BAC+∠1+∠3 ＝n°+∠DBE， ∴∠BEC﹣∠DBE＝n°； （3）①如图，∠1＝∠2时， ∵AB＝BC＝5，AC＝8，BH⊥AC， ∴AH＝CH＝4，∠ABH＝∠CBH， ∵∠ABH＝∠1+∠DAB，∠DAE＝∠3+∠DAB，∠DAE＝∠ABH ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ADF＝∠DAF， ∴DF＝AF， 设DF＝AF＝5k，AD＝6k， ∵△ABD∽△DBF， ∴， 即， ∴BF＝（）2， ∴CF＝5， 过点F作FG⊥AC于点G， ∴FG，CG， ∴AG＝8， ∴tan∠FAG， ∴， 解得EH； ②如图，∠1＝∠2时， ∵AB＝BC，BH⊥AC， ∴∠ABH＝∠CBH， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD≌△FBD（ASA）， ∴AD＝FD， ∴E、H重合，C、F重合， ∴EH＝0， 综上，EH或0． 【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$