重难点10 勾股定理与实际应用的八大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）（

重难点10 勾股定理与实际应用 ▲知识点1： 勾股定理解决实际问题 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 【题型一 应用勾股定理解决旗杆高度问题】 【例题1】（2024秋•管城区校级期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【分析】旗杆的长＝BC+AB，利用勾股定理求出AB即可解决问题． 【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，AB13（m）， 所以旗杆折断之前高度为BC+AB＝13+5＝18（m）． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-2】（2024秋•中卫期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离． 【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD5（cm）； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-3】（2024秋•宜兴市期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　 　尺． 【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【解答】解：设木柱长为x尺，根据题意得： AB2+BC2＝AC2， 则x2+82＝（x+3）2， 解得：x， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-4】（2024春•罗庄区期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝42+（x﹣1）2， 解得：x＝8.5， 答：绳索AD的长度是8.5m． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 【题型二 应用勾股定理解决风吹树折问题】 【例题2】（2024春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10m B．15m C．18m D．20m 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论． 【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， ∴原来树的高度为：13（m）， ∴这棵树原来的高度＝5+13＝18（m）． 即：这棵大树在折断前的高度为18m． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 【变式2-1】（2024秋•兰州期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【分析】设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【解答】解：设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴x2+42＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.2， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2-2】（2024春•随县期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为　 　尺． 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺 在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， 即水深12尺，芦苇长13尺． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 【变式2-3】有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？ 【分析】关键是水深、荷花径移动的水平距离及荷花径的长度构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【解答】解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺， 由勾股定理得：x2+32＝（x+1）2． 解得：x＝4． 答：水池的水深有4尺． 【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键． 【题型三 应用勾股定理解决梯子滑落问题】 【例题3】（2024春•南岗区期中）如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑（　　）米． A．0.6 B．0.8 C．1 D．2 【分析】由勾股定理得BO＝3米，再由勾股定理得DO＝4米，即可解决问题． 【解答】解：如图， 由题意可知，AB＝CD＝5米，∠AOB＝90°，AC＝1米， 在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO3（米）， 在Rt△COD中，CO＝AO﹣AC＝4﹣1＝3（米）， 由勾股定理得：DO4（米）， ∴BD＝DO﹣BO＝4﹣3＝1（米）． 即梯足B外滑1米， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出BO和DO的长是解题的关键． 【变式3-1】（2024秋•项城市期末）如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，那么小巷的宽度为（　　） A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m 【分析】先根据题意求得∠ACB，∠EDB的度数，再根据CB，AC，DE的长，利用勾股定理求得AB的长； 然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可． 【解答】解：如图，∠ACB＝∠EDB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.4m，DE＝2m． 在Rt△ABC中， AB2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解题的关键． 【变式3-2】（2024秋•太康县期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　） A．5m B．6m C．3m D．7m 【分析】设BO＝x m，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度． 【解答】解：设BO＝x m， 由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2， ∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2， 解得：x＝3， ∴AB5（m）， 即梯子AB的长为5m， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式3-3】如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝　 　米． 【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC8（米）， ∴DC＝AC﹣AD＝8﹣2＝6（米）， 在Rt△DCE中，CE8（米）， ∴BE＝CE﹣BC＝8﹣6＝2（米）， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键． 【变式3-4】（2024春•赤坎区期末）《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高六尺，依木于垣，上于垣齐．引木却行二尺，其木至地，问木长几何？意思是：如图，一道墙AB高6尺，一根木棒AC靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．若木棒下端向右滑，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好落到地上B处，则木棒长 　 尺． 【分析】设BC长为x尺，则AC＝BD＝（x+2）尺，根据勾股定理可求出x的值． 【解答】解：如图，设BC长为x尺，则AC＝BD＝（x+2）尺， 在Rt△ABC中， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴62+x2＝（x+2）2， 解得，x＝8， 故木棒长为8+2＝10（尺）． 故答案为：10． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【题型四 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题】 【例题4】（2024春•太湖县期末）如图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为24cm，将一根筷子插入其中，留在杯外最长4cm，最短3cm，则这只玻璃杯的内径是 　 　cm． 【分析】根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，利用勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长， 根据四边形A′ECD是矩形， 故A′E＝CD＝24（cm）， 根据题意得筷子的长度为A′B＝A′E+BE＝24+4＝28（cm）， 当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短， 根据题意得筷子的长度为AB′＝AC+B′C＝AC+3＝28（cm）， 解得AC＝25（cm）， ∴（cm）， 故答案为：7． 【点评】本题考查了圆柱的高，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式4-1】（2024秋•崇明区期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，今有一根长22cm的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 　 　cm． 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【解答】解：∵底面半径为半径为6cm，高为16cm， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：2222﹣20＝2（cm）． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【变式4-2】（2024•潮州模拟）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是 　 　． 【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝18﹣12＝6（cm）． 当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图，此时，AB13（cm）， 则h＝18﹣13＝5（cm）． ∴h的取值范围是5≤h≤6． 故答案为：5≤h≤6． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 【变式4-3】（2024秋•洛宁县期末）将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为a cm，则a的取值范围是（　　） A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6 【分析】分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可． 【解答】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，最短为14144； 如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为14﹣8＝6， 故a的取值范围是4≤a≤6， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【变式4-4】（2024秋•伊川县期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是（　　） A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm 【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒内部长度12cm， 所以这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是12cm≤l≤15cm． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 【题型五 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题】 【例题5】（2024春•德州期末）如图，一只小鸟从树尖C点径直飞向塔尖A处．已知树高6米，塔高12米，树与塔的水平距离为8米，则小鸟飞行的最短距离为（　　） A．8米 B．10米 C．11米 D．12米 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，由勾股定理求出AC的长，即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，CD＝6米，AB＝12米，BD＝8米， 如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 则BE＝CD＝6米，CE＝BC＝8米， ∴AE＝AB﹣BE＝12﹣6＝6（米）， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC10（米）， 即小鸟飞行的最短距离为10米， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式5-1】（2024秋•观山湖区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两 树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（米）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【变式5-2】（2024秋•崂山区期末）有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行 　 　米． 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【解答】解：如图，设大树高为AB＝11米，小树高为CD＝4米， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC， ∴EB＝CD＝4m，EC＝BD＝24米，AE＝AB﹣EB＝11﹣4＝7（米）， 在Rt△AEC中，AC25（米）， 答：小鸟至少飞行25米． 故答案为：25． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【变式5-3】（2024春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB． 【分析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x． 【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°， 设BC＝a（米），AC＝b（米），AD＝x（米） 则10+a＝x+b＝15（米）． ∴a＝5（米），b＝15﹣x（米） 又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2， ∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2， 解得，x＝2，即AD＝2（米） ∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米） 答：树高AB为12米． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键． 【题型六 应用勾股定理解决台阶地毯问题】 【例题6】（2024秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC4米， 故可得地毯长度＝AC+BC＝7米， 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键． 【变式6-1】（2024秋•福田区校级期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 　 　元． 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为12米、 ∴地毯的长度为12+5＝17米，地毯的面积为17×2＝34平方米， ∴购买这种地毯至少需要30×34＝1020元． 故答案为：1020． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 【变式6-2】（2024春•藁城区期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　 　m． 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）． 故答案为：17． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性． 【变式6-3】（2024秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元． 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【解答】解：由勾股定理得AB12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）． 故答案为：680． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【题型七 应用勾股定理解决是否受台风影响问题】 【例题7】（2024春•富县期末）如图，点A处的居民楼与马路BC相距30米，当居民楼与马路上行驶的汽车的距离在50米内时就会受到噪音污染．如果汽车以每秒20米的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪音污染？ 【分析】如图，作AH⊥BC于点H，在BC上取一点M，使得AM＝50，连接AM．再利用勾股定理求解HM即可得到答案． 【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，在BC上取一点M，N，使得AM＝50＝AN，连接AM． 在Rt△AHM中，AM＝50＝AN，AH＝30，∠AHM＝90°， ∴HM＝HN，（米）， ∴2×40÷20＝4（秒）． 答：会给这栋居民楼带来4秒的噪音污染． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的建立几何模型是解本题的关键． 【变式7-1】（2024秋•栖霞市期末）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． （1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝600米，求得PQ＝1200米，于是得到结论． 【解答】解：（1）村庄能听到宣传， 理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米， ∴村庄能听到宣传； （2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响， 则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米， ∴BP＝BQ600（米）， ∴PQ＝1200米， ∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4（分钟）， ∴村庄总共能听到4分钟的宣传． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意． 【变式7-2】（2024秋•榆林期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为20km/h， ∴140÷20＝7（小时） 即台风影响该海港持续的时间为7小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【变式7-3】（2024秋•嵩县期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为25km/h， ∴140÷25＝5.6（小时） 即台风影响该海港持续的时间为5.6小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【变式7-4】（2024秋•内江期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断． 【解答】解：（1）着火点C受洒水影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， 由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m， ∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴S△ABCAC•BCCD•AB， ∴600×800＝1000CD， ∴CD＝480， ∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响， ∴着火点C受洒水影响； （2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C， 在Rt△CDE中，ED140（m）， ∴EF＝280m， ∵飞机的速度为10m/s， ∴280÷10＝28（秒）， ∵28秒＞13秒， ∴着火点C能被扑灭， 答：着火点C能被扑灭． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【题型八 应用勾股定理解决是否超速问题】 【例题8】（2024秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案． 【解答】解：小汽车已超速，理由如下： 根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC32（米）， ∵小汽车1.5秒行驶32米， ∴小汽车行驶速度为76.8千米/时， ∵76.8＞60， ∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键． 【变式8-1】根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速． 【分析】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断． 【解答】解：在Rt△AMN中，AM＝50米，MN＝30米， ∴AN40（米）， 在Rt△MNB中，BM＝34米，MN＝30米， ∴BN16（米）， ∴AB＝AN+NB＝40+16＝56（米）， ∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（米/秒）， ∵11.2米/秒＝40.32千米/时＜60千米/时， ∴此车没有超速． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键． 【变式8-2】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． （1）求小汽车6秒走的路程； （2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度＝路程÷时间，即可判断． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示： 由题意可得：AD＝50米，AE＝130米， 在Rt△ADE中， DE ＝120（米）， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时）， ∵72＞70， ∴小汽车超速了． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． 【变式8-3】（2024春•路北区期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m． （1）求BC的长． （2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【分析】（1）由勾股定理求出BC的长即可； （2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【解答】解：（1）根据题意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m， ∴BC40（m）， 答：BC的长为40m； （2）这辆小汽车超速了，理由如下： ∵该小汽车的速度为40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h， ∴这辆小汽车超速了． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出BC的长是解题的关键． 【变式8-4】（2024春•蜀山区期中）校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路l旁取一点A，在公路l上确定点B，C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒．（参考数据：1.73） （1）求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； （2）利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，则∠DEA＝90°，求出∠ADE＝30°，再求出AE的长度，最后根据勾股定理求出DE的长度即可； （2）根据已知条件求出∠CBD＝15°，则BD平分∠ABC，得出CD＝DE＝35m，从而AC＝40+35＝75m，再求出车速，最后比较即可． 【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E， 则∠DEA＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ADE＝90°﹣∠BAC＝30°， ∵AD＝40m， ∴Rt△ADE中，m， ∴m， ∴D到线段AB得距离为35米． （2）∵∠BDC＝75°，AC⊥l， ∴∠BCD＝90°，∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝15°， ∴， ∴BD平分∠ABC， ∵DE⊥AB，DC⊥l， ∴CD＝DE＝35m， ∴AC＝40+35＝75m， ∴Rt△ABC中AB＝2AC＝150m， （m）， ∴车速为7510≈12.99（米/秒）， ∵12.99米/秒＝46.76千米/时＜50千米/时， ∴这辆车在本路段未超速． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． 1．（2024春•德州期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈＝10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，AB＝3尺，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度BC为（　　） A．4尺 B．尺 C．尺 D．尺 【分析】设BC＝x尺，则AC＝（10﹣x）尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设BC＝x尺，则AC＝（10﹣x）尺， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得AB2+BC2＝AC2， 即32+x2＝（10﹣x）2， 解得：，即BC的长为尺； 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理得出方程是解题的关键． 2．（2024秋•桥西区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：（米）， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 3．（2024春•南部县校级期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m 【分析】设BO＝xm，由勾股定理得AB2＝22+x2，CD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，则22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，求出x＝1.5，即可解决问题． 【解答】解：设BO＝xm， 依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m． 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， ∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2， 解得：x＝1.5， ∴AB2.5（m）， 即梯子的长度AB为2.5m， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由AB＝CD得出方程是解题的关键． 4．（2025•江北区校级开学）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米 B．米 C．2米 D．3米 【分析】作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，即可解答． 【解答】解：作CF⊥AB于点F， ∵绳索AB的长度为5米，DE＝3米， ∴AB＝AC＝5米，CF＝DE＝3米， ∵AF2+CF2＝AC2， ∴（米）， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1（米）， ∴此时木马上升的高度为1米， 故选：A． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 5．（2024春•济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 　　米． 【分析】设滑轮到地面的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设滑轮到地面的高度为x米， 根据勾股定理，得x2+122＝（x+6）2， 解得：x＝9； 答：滑轮到地面的高度为9米． 故答案为：9． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键． 6．（2024秋•中卫期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得DE＝AC＝2.4，AE＝CD＝0.3，DE＝1，再根据勾股定理求解即可 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， 则AE＝CD＝0.3米，DE＝AC＝2.4米， ∴BE＝AB﹣AE＝1米， ∴BD2.6（米）． 所以此时牵狗绳BD的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键． 7．（2024秋•铁西区期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 　 　尺. 【分析】设AC的长度为x尺，则AB'＝AB＝（x+0.5）尺，在Rt△AB'C中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'＝AB＝（x+0.5）尺， 在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+22＝（x+0.5）2， 解得：x＝3.75， 即AC的长度为3.75尺， 故答案为：3.75． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 8．（2024春•梁山县期中）如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为 　 米． 【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可． 【解答】解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知， BO6． 在Rt△COD中，根据勾股定理知， DO8． 则BD＝DO﹣BO＝8﹣6＝2（米）． 即线段BD的长为2米． 故答案为2． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键． 9．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m）．踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是 　 　． 【分析】设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，CF＝3 m，BE＝1m， ∴BD＝2m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， ∴AD＝AB﹣BD＝（x﹣2）m． 在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2， 即（x﹣2）2+42＝x2， ∴x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AD，AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 10．（2024秋•大名县期末）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）根据勾股定理求出CD的长即可得出结果； （2）根据勾股定理求出BF的长即可得出结果． 【解答】解：（1）由勾股定理得，CD20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）； （2）如图，由勾股定理得， BF17（米）， 25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 11．（2024春•黔东南州期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为海港，AC＝300km，BC＝400km，∠ACB＝90°，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域． （1）求海港C到直线AB的距离； （2）台风中心由A向B移动的过程中，海港C受台风影响吗？为什么？ 【分析】（1）根据勾股定理先求出AB的长度，再运用等面积法即可求解； （2）根据台风半径与CD长度的大小比较，即可求解． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴（km）， 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D， ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD240（km）， ∴海港C到直线AB的距离为240km． （2）由（1）可知，海港C到直线AB的距离为240km， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响，如图所示，以点D为圆心，以260km为半径作圆， ∵260＞240， ∴海港C受台风影响． 【点评】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 12．（2024春•济南期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一B辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16.7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由． 【分析】（1）根据垂线段最短解决问题； （2）求出BE的长以及速度，可得结论． 【解答】解：（1）过点A作 AD⊥l，交l于点D． ∵AB＝AC，AD⊥l，BC＝120°， ∴°， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD 中，∠ADB＝90°， 由勾股定理得 AD2+BD2＝AB2， ∵AB＝100，BD＝60， ∴AD＝80， ∴新路AD长度是80米． （2）该车超速． 理由：在Rt△ADE 中，∠ADE＝90°， 由勾股定理得 AD2+DE2＝AE2， ∵AE＝170，AD＝80， ∴DE＝150， ∴BE＝DE﹣DB＝90， ∵该车经过BE区间用时5s， ∴该车的速度为 ， ∵18m/s＞16.7m/s． ∴该车超速． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点10 勾股定理与实际应用 ▲知识点1： 勾股定理解决实际问题 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 【题型一 应用勾股定理解决旗杆高度问题】 【例题1】（2024秋•管城区校级期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【变式1-2】（2024秋•中卫期末）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【变式1-3】（2024秋•宜兴市期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 　 　尺． 【变式1-4】（2024春•罗庄区期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 【题型二 应用勾股定理解决风吹树折问题】 【例题2】（2024春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10m B．15m C．18m D．20m 【变式2-1】（2024秋•兰州期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【变式2-2】（2024春•随县期末）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为　 　尺． 【变式2-3】有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？ 【题型三 应用勾股定理解决梯子滑落问题】 【例题3】（2024春•南岗区期中）如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑（　　）米． A．0.6 B．0.8 C．1 D．2 【变式3-1】（2024秋•项城市期末）如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，那么小巷的宽度为（　　） A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m 【变式3-2】（2024秋•太康县期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　） A．5m B．6m C．3m D．7m 【变式3-3】如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝　 　米． 【变式3-4】（2024春•赤坎区期末）《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高六尺，依木于垣，上于垣齐．引木却行二尺，其木至地，问木长几何？意思是：如图，一道墙AB高6尺，一根木棒AC靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．若木棒下端向右滑，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好落到地上B处，则木棒长 　 尺． 【题型四 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题】 【例题4】（2024春•太湖县期末）如图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为24cm，将一根筷子插入其中，留在杯外最长4cm，最短3cm，则这只玻璃杯的内径是 　 　cm． 【变式4-1】（2024秋•崇明区期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，今有一根长22cm的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 　 　cm． 【变式4-2】（2024•潮州模拟）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是 　 　． 【变式4-3】（2024秋•洛宁县期末）将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为a cm，则a的取值范围是（　　） A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6 【变式4-4】（2024秋•伊川县期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔在笔筒内部的长度l的取值范围是（　　） A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm 【题型五 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题】 【例题5】（2024春•德州期末）如图，一只小鸟从树尖C点径直飞向塔尖A处．已知树高6米，塔高12米，树与塔的水平距离为8米，则小鸟飞行的最短距离为（　　） A．8米 B．10米 C．11米 D．12米 【变式5-1】（2024秋•观山湖区期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两 树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式5-2】（2024秋•崂山区期末）有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行 　 　米． 【变式5-3】（2024春•海淀区校级期中）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB． 【题型六 应用勾股定理解决台阶地毯问题】 【例题6】（2024秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【变式6-1】（2024秋•福田区校级期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 　 　元． 【变式6-2】（2024春•藁城区期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　 　m． 【变式6-3】（2024秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　 　元． 【题型七 应用勾股定理解决是否受台风影响问题】 【例题7】（2024春•富县期末）如图，点A处的居民楼与马路BC相距30米，当居民楼与马路上行驶的汽车的距离在50米内时就会受到噪音污染．如果汽车以每秒20米的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪音污染？ 【变式7-1】（2024秋•栖霞市期末）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． （1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 【变式7-2】（2024秋•榆林期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式7-3】（2024秋•嵩县期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式7-4】（2024秋•内江期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【题型八 应用勾股定理解决是否超速问题】 【例题8】（2024秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 【变式8-1】根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速． 【变式8-2】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． （1）求小汽车6秒走的路程； （2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【变式8-3】（2024春•路北区期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m． （1）求BC的长． （2）这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【变式8-4】（2024春•蜀山区期中）校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路l旁取一点A，在公路l上确定点B，C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒．（参考数据：1.73） （1）求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； （2）利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 1．（2024春•德州期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？”（说明：1丈＝10尺）．如图，根据题意，设折断后竹子顶端落在点A处，竹子底端为点B，AB＝3尺，折断处为点C，可以求得折断处离地面的高度BC为（　　） A．4尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（2024秋•桥西区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.1米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 3．（2024春•南部县校级期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（　　） A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m 4．（2025•江北区校级开学）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米 B．米 C．2米 D．3米 5．（2024春•济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 　　米． 6．（2024秋•中卫期末）如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB＝1.3米，小狗的高CD＝0.3米，小狗与小方的距离AC＝2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长 　 　． 7．（2024秋•铁西区期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．则AC的长度为 　 　尺. 8．（2024春•梁山县期中）如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为 　 米． 9．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推4m至C处时（即水平距离CD＝4m）．踏板离地的垂直高度CF＝3m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是 　 　． 10．（2024秋•大名县期末）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 11．（2024春•黔东南州期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为海港，AC＝300km，BC＝400km，∠ACB＝90°，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域． （1）求海港C到直线AB的距离； （2）台风中心由A向B移动的过程中，海港C受台风影响吗？为什么？ 12．（2024春•济南期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一B辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16.7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$