第06讲 二元二次方程组与列方程（组）解应用题（4个知识清单+4类热点题型讲练+分层练习） 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第06讲 二元二次方程组与列方程（组）解应用题 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01 二元二次方程和方程组..................................................................................................................................................3 题型02二元二次方程组及其解法...............................................................................................................................................5 题型03列分式方程.......................................................................................................................................................................7 题型04分式方程的实际应用.......................................................................................................................................................9 分层练习.........................................................................................................................................................................................11 夯实基础.........................................................................................................................................................................................11 能力提升.........................................................................................................................................................................................27 知识点1．二元二次方程组 二元二次方程组． 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法． 一般解法： 二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出x，再根据（3）解出y． 二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点3．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点4．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01二元二次方程和方程组 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 3．（22-23八年级下·上海虹口·期末）解方程组： 题型02二元二次方程组及其解法 4．（2022八年级下·上海·专题练习）由方程组消去y后化简得到的方程是（　　） A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 6．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程组 题型03列分式方程 7．（2023八年级下·上海·专题练习）甲安装队为A小区安装66台空调，已安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，若设乙队每天安装x台，则下面所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 9．（21-22八年级下·上海·期末）有一段河道需要进行清淤疏通，现有甲乙两家清淤公司可供选择，如果甲公司单独做4天，乙公司再单独做6天，那么恰好能完成全部清淤任务的一半；如果甲公司先做4天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，那么乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所需时间多2天，求甲乙两公司单独完成清淤任务各需多少天． 题型04分式方程的实际应用 10．（23-24八年级下·上海·阶段练习）甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来每小时增加了40千米，时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时x千米，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 11．（2022八年级下·上海·专题练习）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是 元． 12．（23-24八年级下·上海松江·期末）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 夯实基础 一、单选题 1．某超市一月份的营业额为10万元，一至三月份的总营业额为45万元，若平均每月的增长率为x，则依题意列方程为（　　） A．10（1+x）2＝45 B．10+10×2x＝45 C．10+10×3x＝45 D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝45 2．为了配合 “我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元，若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款： A．140元 B．150元 C．160元 D．200元 3．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，不是二元二次方程的是（　　） A．x2+xy﹣3=0 B．x2﹣y=x（x+3） C．x（y﹣2）=7 D．y=x2﹣2x+3 5．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为，那么通道宽应设计成多少？设通道宽为，则由题意列得方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ． 7．当 时，代数式的值与互为倒数． 8．如图，在 3×3 方格内填入 9 个数，使图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， 则 x 的值是 .   9．用一根长为28 cm的铁丝围成一个长方形，使该长方形的长比宽多4 cm，此时，长方形的长为 cm，宽为 cm. 10．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为 ． 11．甲、乙两地相距360千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2个小时，试确定原来的平均车速，若设客车原来的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程 ． 12．某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率 . 13．如图，在3×3的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，按以上规则的幻方中，x的值为 ． 14．若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆，且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为 . 15．观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第 个图形中一共有54个小圆圈……按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数是 ． 三、解答题 16．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 17．设A是－4的相反数与－12的绝对值的差，B是比－6大5的数． 求：（1）A－B；   （2）B－A； （3）从（1）、（2）的计算结果，你能知道A－B与B－A之间有什么关系吗？ 18．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 19．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ (2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？ 20．小强家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有21分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸爸骑电瓶车送他去学校已知小强爸爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟，且小强爸爸骑电瓶车的平均速度是小强步行速度的5倍，小强到家取课本与小强爸爸启动电瓶车等共用4分钟． （1）求小强步行的平均速度与小强爸爸的骑车速度； （2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由． 21．某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务． （1）原来每天生产健身器械多少台？ （2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？ 22．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元． ①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？ 能力提升 一、单选题 23．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（    ） A．95 B．59 C．26 D．62 24．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、�三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（    ） A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2=250 二、填空题 25．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．设每年的平均增长率为x，列方程为 ，增长率为 ． 26．大瑞铁路东起大理站，西至瑞丽站，分为大保段和保瑞段，2022年7月大瑞铁路大保段开通运营，保山市结束了不通火车的历史．已知大理到瑞丽全程公路长约为540千米，高铁开通后，高铁路程比公路路程少了210千米，高铁的平均速度比公路的平均速度每小时快57千米，且所花时间少3小时．设高铁速度为x千米/时，则根据题意列方程为 ． 三、解答题 27．为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间． 28．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书　 　本（用含x的代数式表示）； （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二元二次方程组与列方程（组）解应用题 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01 二元二次方程和方程组..................................................................................................................................................3 题型02二元二次方程组及其解法...............................................................................................................................................5 题型03列分式方程.......................................................................................................................................................................7 题型04分式方程的实际应用.......................................................................................................................................................9 分层练习.........................................................................................................................................................................................11 夯实基础.........................................................................................................................................................................................11 能力提升.........................................................................................................................................................................................27 知识点1．二元二次方程组 二元二次方程组． 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法． 一般解法： 二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程．因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有实数解．将（3）代入（2）中，解出x，再根据（3）解出y． 二元二次方程组最多可能有四组解．用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点3．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点4．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01二元二次方程和方程组 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列方程组是二元二次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了高次方程和二元二次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义（由两个整式方程组成，方程组中共含有两个不同未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，这样的方程组叫二元二次方程组）是解此题的关键． 根据二元二次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1，是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； B．方程组中共含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2，是二元二次方程组，故本选项符合题意； C．方程组中两个方程是分式方程，不是整式方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意； D．方程组中第一个方程是无理方程，不是有理方程，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】， 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看成常量，把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键． 【详解】解：， ， ，． 故答案为：，． 3．（22-23八年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【答案】， 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】把方程②化为或，再转化为两个二元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由②得． ∴或． 则原方程组可化为，， 解这两个方程组，得，， ∴原方程组的解为，； 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，熟练的把二元二次方程组化为二元一次方程组的方法是解本题的关键． 题型02二元二次方程组及其解法 4．（2022八年级下·上海·专题练习）由方程组消去y后化简得到的方程是（　　） A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 【答案】D 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】根据题目中方程组的特点，由x﹣y﹣1＝0，可以得到y＝x-1，然后将x-1看成一个整体，换为y代入第二方程，再化简即可解答本题． 【详解】解：， 由①，得y＝x-1③， 将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0， 化简，得2x2﹣2x+5＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查二元二次方程组，解答本题的关键是明确消元法，利用方程的思想解答． 5．（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 【答案】3 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【详解】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 6．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）解方程组 【答案】 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查解二元二次方程组，将，转化为：，得到或，分别代入第一个方程进行求解即可． 【详解】解：由，得：， ∴或， ∴或， 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； ∴原方程组的解为：． 题型03列分式方程 7．（2023八年级下·上海·专题练习）甲安装队为A小区安装66台空调，已安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，若设乙队每天安装x台，则下面所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查的是由实际问题抽象出分式方程．找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意：工作时间工作总量工作效率． 【详解】解：乙队用的天数为：，甲队用的天数为：． 则所列方程为：． 故选：A． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 9．（21-22八年级下·上海·期末）有一段河道需要进行清淤疏通，现有甲乙两家清淤公司可供选择，如果甲公司单独做4天，乙公司再单独做6天，那么恰好能完成全部清淤任务的一半；如果甲公司先做4天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，那么乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所需时间多2天，求甲乙两公司单独完成清淤任务各需多少天． 【答案】甲公司单独完成清淤任务需要16天，乙公司单独完成清淤任务需要24天． 【知识点】列分式方程、分式方程的实际应用 【分析】设甲公司单独完成清淤任务需要天，乙公司单独完成清淤任务需要天，根据总工程量＝甲完成的部分＋乙完成的部分，即可得出关于、的方程组，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设甲公司单独完成清淤任务需要天，乙公司单独完成清淤任务需要天， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 经检验，为原方程组的解． 答：甲公司单独完成清淤任务需要16天，乙公司单独完成清淤任务需要24天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及解方程组，找准等量关系，列出分式方程组是解题的关键． 题型04分式方程的实际应用 10．（23-24八年级下·上海·阶段练习）甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来每小时增加了40千米，时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时x千米，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】根据从实际问题抽象出分式方程，根据时间缩短了1.5小时列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选C． 11．（2022八年级下·上海·专题练习）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是 元． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】根据题意可知6000元分两次购进口罩，每次3000元；先设未知数第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元，利用数量关系式：“总价÷单价=数量”分别求出两次的数量后加起来等于两次购买数量总和2200列出方程，再解方程． 【详解】解：设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元， 依题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用题，找出题目中的数量关系式“总价÷单价=数量”是解决问题的关键． 12．（23-24八年级下·上海松江·期末）某条高速铁路全长1320千米，高速列车与普通动车组列车在该高速铁路上运行时，高速列车的平均速度比普通动车组列车每小时快110千米，且高速列车比普通动车组列车的全程运行时间少用2小时，求高速列车全程的运行时间． 【答案】高速列车全程的运行时间为4小时 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：普通动车组列车的全程运行时间高速列车全程的运行时间小时，高速列车的平均速度普通动车组列车的平均速度千米；据此列方程求解即可；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设高速列车全程的运行时间为x小时，则普通动车组列车全程的运行时间为小时， 由题意得 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，符合实际意义，不符合实际意义； 答：高速列车全程的运行时间为4小时． 夯实基础 一、单选题 1．某超市一月份的营业额为10万元，一至三月份的总营业额为45万元，若平均每月的增长率为x，则依题意列方程为（　　） A．10（1+x）2＝45 B．10+10×2x＝45 C．10+10×3x＝45 D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝45 【答案】D 【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元，由一至三月份的总营业额为45万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设平均每月的增长率为x，则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元， 依题意，得：10[1+（1+x）+（1+x）2]＝45． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．为了配合 “我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元，若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款： A．140元 B．150元 C．160元 D．200元 【答案】B 【详解】试题分析：此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x=x﹣10解得：x=150，即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元． 故选B． 考点：一元一次方程的应用 3．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，列出方程即可． 【详解】解：设读前一半时，平均每天读x页，则读后一半时平均每天读页，由题意，得：，即：； 故选C． 4．下列方程中，不是二元二次方程的是（　　） A．x2+xy﹣3=0 B．x2﹣y=x（x+3） C．x（y﹣2）=7 D．y=x2﹣2x+3 【答案】B 【详解】二元二次方程就是含有两个未知数，并且最高次数是二次的整式方程，据此即可判断． 解：A、C、D都是二元二次方程，故正确； B、化简以后是：y+3x=0，是二元一次方程，故选项错误． 故选B． 5．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为，那么通道宽应设计成多少？设通道宽为，则由题意列得方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通道的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m，根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78． 【详解】通道的宽为xm，由题意得 （30-2x）（20-x）=6×78， 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 二、填空题 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ． 【答案】-5 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：由题意，得 x2+3x=x+15， 解得x=-5，或x=3，x=3时，它们不是最简二次根式， ∴x= -5． 故答案为-5． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法和同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式．结果需要检验． 7．当 时，代数式的值与互为倒数． 【答案】 【分析】根据倒数的关系，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由代数式3x-2的值与互为倒数，得3x-2=2． 解得x=． 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据倒数关系得出关于x的方程是解题关键． 8．如图，在 3×3 方格内填入 9 个数，使图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， 则 x 的值是 .   【答案】1 【分析】根据已知的一条对角线上的数字之和与第二行的数字之和相等，列出关系等式，计算出x的值即可. 【详解】由题意可知： 解得： 故答案为1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的简单应用，解题关键在于根据题干给出的条件，列出等量关系式，得到一元一次方程求解. 9．用一根长为28 cm的铁丝围成一个长方形，使该长方形的长比宽多4 cm，此时，长方形的长为 cm，宽为 cm. 【答案】 9 5 【详解】设长方形的宽为 cm，则长为cm， 由题意得，，解得， ∴ 长方形的长为9 cm，宽为5 cm． 10．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为 ． 【答案】 【分析】设小林每分钟跳x下，那么小群每分钟跳（x+20）下．题中有等量关系：小林跳90下所用的时间=小群跳120下所用的时间，据此可列出方程． 【详解】解：设小林每分钟跳x下，则小群每分钟跳（x+20）下． 根据题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键． 11．甲、乙两地相距360千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2个小时，试确定原来的平均车速，若设客车原来的平均速度为x千米/时，则根据题意可列方程 ． 【答案】=+2 【详解】设客车原来的平均速度为x千米/时，根据甲、乙两地相距360千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的客车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2个小时，可列出方程． 解：设客车原来的平均速度为x千米/时， =+2． 故答案为=+2． 12．某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率 . 【答案】20℅ 【详解】设这两个月平均每月增长的百分率是x，依题意得，5000（1+x）2=7200，解得x1= =20%，x2=- （舍去），所以这两个月平均每月增长的百分率是20%． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，要根据实际情况确定解得取舍． 13．如图，在3×3的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，按以上规则的幻方中，x的值为 ． 【答案】5 【详解】分析：根据同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等，列出方程4+x+x+1=2x﹣1+x+1，解方程即可求得x的值. 详解： ∵同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的三个数的和都相等， ∴4+x+x+1=2x﹣1+x+1，解得：x=5． 故答案为5． 点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 14．若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时，工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆，且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为 . 【答案】(无需写成一般式) 【分析】根据AD=xm，就可以得出AB=38-x，由矩形的面积公式结合矩形是“优美矩形”就可以得出关于x的方程. 【详解】∵AD=xm，且AB大于AD， ∴AB=38-x， ∵矩形ABCD是“优美矩形”， ∴ 整理得：. 故答案为. 【点睛】考查了根据实际问题列一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 15．观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第 个图形中一共有54个小圆圈……按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数是 ． 【答案】 6 【分析】仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式即可． 【详解】观察题图得第1个图形有（个）小圆圈， 第2个图形有（个）小圆圈， 第3个图形有（个）小圆圈，…， 第n个图形有个小圆圈． 令， 解得，（舍去）． 故答案为：6； 【点睛】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．解题的关键是通过观察分析得出规律． 三、解答题 16．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】20 【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种棵树每棵桃树的产量就会减少个（即是平均产个），桃树的总共有棵，所以总产量是个．要使产量增加，达到个． 【详解】解：设应多种棵桃树，根据题意，得 整理方程，得 解得，， ∵多种的桃树不能超过100棵， ∴（舍去） ∴ 答：应多种20棵桃树。 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键在于搞懂题意去列出方程即可. 17．设A是－4的相反数与－12的绝对值的差，B是比－6大5的数． 求：（1）A－B；   （2）B－A； （3）从（1）、（2）的计算结果，你能知道A－B与B－A之间有什么关系吗？ 【答案】（1）-7；（2）7；（3）互为相反数 （2）B－A＝7（8分） （3）互为相反数（10分） 【分析】由题意求出A与B， （1）代入A-B中计算即可求出值； （2）代入B-A中计算即可求出值； （3）比较即可得到结果． 【详解】解：∵A是-4的相反数与-12的绝对值的差，B是比-6大5的数， ∴A=4-|-12|=4-12=-8，B=-6+5=-1， （1）A-B=-8-（-1）=-8+1=-7； （2）B-A=-1-（-8）=-1+8=7； （3）A-B与B-A互为相反数． 【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 18．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】(1)A种商品进价50元，B种商品进价30元； (2)共有5种进货方案，购买A种商品18件，B种22件，获得利润最大． 【分析】（1）设A种每件进价为x元，则B种每件（x−20）元，根据题意列分式方程，解方程求解即可； （2）设购A种商品m件，则购B种商品（40−m）件，根据题意列一元一次不等式组，根据不等式组的解集可得进货方案，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设A种每件进价为x元，则B种每件（x−20）元，根据题意，得 解得 经检验是原方程的解， 答：A种商品进价50元，B种商品进价30元； （2）设购A种商品m件，则购B种商品（40−m）件，根据题意，得 解得 共有5种进货方案， 设商店共获利润为y元，则y＝（80−50）x＋（45−30）（40−x）＝15x＋600， ∵15＞0， ∴y随x增大而增大， ∴当x＝18时，y最大＝870（元）， 此时，A种商品18件，B种22件． 答：购买A种商品18件，B种22件，获得利润最大． 【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式和函数关系式． 19．为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ (2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？ 【答案】(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 (2)购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个 【分析】（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题； （2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题． 【详解】（1）解：设绳子的单价为x元，则实心球的单价为元， 根据题意，得：， 解分式方程，得：， 经检验可知是所列方程的解，且满足实际意义， ∴， 答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元． （2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为条， 根据题意，得：， 解得 ∴ 答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 20．小强家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有21分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸爸骑电瓶车送他去学校已知小强爸爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟，且小强爸爸骑电瓶车的平均速度是小强步行速度的5倍，小强到家取课本与小强爸爸启动电瓶车等共用4分钟． （1）求小强步行的平均速度与小强爸爸的骑车速度； （2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由． 【答案】（1）小强步行的平均速度为80米分钟，小强爸爸骑电瓶车的平均速度为400米/分钟；（2）小强不能按时上学，理由见解析 【分析】（1）设小强步行的平均速度为x米/分钟，则小强爸爸骑电瓶车的平均速度为米/分钟，根据小强爸爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟列出方程求解即可； （2）计算出小强从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和21进行比较即可． 【详解】解：（1）设小强步行的平均速度为x米/分钟， 小强爸爸骑电瓶车的平均速度为米/分钟， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则， 答：小强步行的平均速度为80米分钟，小强爸爸骑电瓶车的平均速度为400米/分钟； （2）由（1）得，小强走回家需要的时间为：（分钟）， 小强爸爸骑车到学校的时间为：（分钟）， 则小强从发现忘带课本到到达学校所用的时间为：， ∵， ∴小强不能按时上学． 答：小强不能按时上学． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程，注意检验． 21．某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务． （1）原来每天生产健身器械多少台？ （2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？ 【答案】（1）原来每天生产健身器械50台；（2）方案一：当m=8时，n=5，费用为：16000元；方案二：当m=9时，n=3,费用为：15900元，方案二费用最低． 【分析】（1）设原来每天生产健身器械x台，根据等量关系是150台所用天数+余下350台改速后工作天数=8列分式方程，解分式方程与检验即可； （2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆，根据题意列方程与不等式组解不等式组求出m的范围8≤m10，方案一：当m=8时，n=5，费用为： 16000元，方案二：当m=9时，n=3,费用为15900元即可． 【详解】解：（1）设原来每天生产健身器械x台， 根据题意得： 解这个方程得x=50， 经检验x=50是原方程的根，并符合实际 答原来每天生产健身器械50台； （2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆 根据题意 由②得④， 把④代入③得 解得m≥8 ∵m10 ∴8≤m10 方案一：当m=8时，n=25-20=5， 费用为：8×1500+5×800=12000+4000=16000元； 方案二：当m=9时，n=3, 费用为9×1500+3×800=13500+2400=15900元， 方案二费用最低． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，与列不等式组解决方案设计问题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列不等式组解决方案设计问题是解题关键． 22．某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元． ①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？ 【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；（2）①不够用，需追加预算2万元；②甲工程队至少需要施工40天 【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断； ②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论． 【详解】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天． 根据题意，得：， 解得 x＝60． 经检验，x＝60是原方程的根． ∴1.5x＝60×1.5＝90． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， ， 解得：y＝36， 36×（2.5+2）＝162（万元）， ∵162＞160， ∴不够， 需追加162﹣160＝2（万元）， 答：不够用，需追加预算2万元； ②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天， 根据题意得：， 由得：2b＝180﹣3a， 把2b＝180﹣3a代入得：2.5a+180﹣3a≤160， a≥40， ∴甲工程队至少需要施工40天． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键． 能力提升 一、单选题 23．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（    ） A．95 B．59 C．26 D．62 【答案】D 【分析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，根据等量关系：新两位数与原两位数的积为1612，列出方程求解即可． 【详解】解：令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，则 （10x+y）×（10y+x）=1612，即（11x-4）×（11x-40）=1612， 解得x=6， 10x+y=60+（6-4）=62． 故这个两位数是62． 故选：D． 【点睛】此题考查了组成数的数字的特点，也考查了用数字如何表示几位数． 24．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、�三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（    ） A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2=250 【答案】B 【分析】设平均每月的增长率为x，根据一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 100（1+x）+100（1+x）2=250． 故选B． 【点睛】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道一月份的，和增长两个月后三月份的，列出方程． 二、填空题 25．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．设每年的平均增长率为x，列方程为 ，增长率为 ． 【答案】 （1+x）2=（1+44%） 20% 【分析】设原产量为1，则第一年底的产量为1×(1+x)，第二年是以第一年底的产量为基础而增长的，故产量为1×(1+x)×(1+x)，据此列出方程：(1+x)2=（1+44%） 【详解】设原产量为1，由题意列出方程： (1+x）2=（1+44%）， 解得x=0.2或-2.2(不合题意，舍去)， 故增长率为20%. 【点睛】本题中，理解第二年的增长是以第一年为基础，这是关键点. 26．大瑞铁路东起大理站，西至瑞丽站，分为大保段和保瑞段，2022年7月大瑞铁路大保段开通运营，保山市结束了不通火车的历史．已知大理到瑞丽全程公路长约为540千米，高铁开通后，高铁路程比公路路程少了210千米，高铁的平均速度比公路的平均速度每小时快57千米，且所花时间少3小时．设高铁速度为x千米/时，则根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】设高铁速度为x千米/时，则公路的平均速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合高铁列车比公路全程运行时间少3小时，即可得出关于x的分式方程即可． 【详解】解：设高铁平均速度为x千米/时，则公路的平均速度为千米/小时，根据题意得， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 三、解答题 27．为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间． 【答案】0.6h． 【分析】设城际铁路现行速度是xkm/h，设计时速是（x+110）xkm/h；现行路程是120km，设计路程是114km，由时间=，运行时间=现行时间，就可以列方程了． 【详解】解：设城际铁路现行速度是xkm/h． 由题意得：×=． 解这个方程得：x=80． 经检验：x=80是原方程的根，且符合题意． 则×=×=0.6（h）． 答：建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间是0.6h． 28．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书　 　本（用含x的代数式表示）； （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 【答案】（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元． 【详解】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解. 试题解析： （1）∵每本书上涨了x元， ∴每天可售出书（300﹣10x）本． 故答案为300﹣10x． （2）设每本书上涨了x元（x≤10）， 根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750， 整理，得：x2﹣20x+75=0， 解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）． 答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$