第12讲 概率初步（9个知识清单+10类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第12讲 概率初步 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01事件的分类.......................................................................................................................................................................4 题型02判断事件发生的可能性的大小.......................................................................................................................................5 题型03概率的意义理解...............................................................................................................................................................8 题型04根据概率公式计算概率...................................................................................................................................................9 题型05已知概率求数量..............................................................................................................................................................11 题型06几何概率..........................................................................................................................................................................13 题型07列举法求概率..................................................................................................................................................................15 题型08列表法或树状图法求概率..............................................................................................................................................16 题型09游戏的公平性..................................................................................................................................................................19 题型10由频率估计概率.........................................................................................................................................................21 分层练习........................................................................................................................................................................................24 夯实基础........................................................................................................................................................................................24 能力提升........................................................................................................................................................................................41 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点5．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点6．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点7．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点8．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点9．模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 题型01事件的分类 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个凸多边形，其外角和是 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】解：A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D．任意画一个凸多边形，其外角和是，属于必然事件，符合题意． 故选：D． 2．（八年级下·上海杨浦·期末）“早上的太阳从东方升起”是 事件．（填“确定”或“不确定”） 【答案】确定 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了确定事件的定义．熟练掌握：必然事件即在一定条件下一定发生的事件；不可能事件即在一定条件下，一定不发生的事件；统称为确定事件是解题的关键． 根据事件的可能性得到相应事件的类型即可． 【详解】解：“早上的太阳从东方升起”是必然事件，属于确定事件， 故答案为：确定． 题型02判断事件发生的可能性的大小 3．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 【答案】A 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为；概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率． 根据概率的意义和必然发生的事件的概率、不可能发生事件的概率对选项进行判断即可． 【详解】解：A、必然事件发生的概率是1，此选项正确； B、随机事件发生的概率在0与1之间，此选项错误； C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，此选项错误； D、概率很大的事件不是一定发生，而是发生的机会较大，此选项错误； 故选：A． 4．（八年级下·上海闵行·期末）一个不透明的布袋中放有大小、质地都相同四个红球和五个白球，小敏第一次从布袋中摸出一个红球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，那么小敏第二次还是摸出红球的可能性为 ． 【答案】. 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为，据此可得两次摸出的球都是红球的概率． 【详解】∵小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：×=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．（2022八年级下·上海·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的是__________； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“电影票”的可能性大小是． 【答案】(1)抽到“手机”奖品的可能性是： (2)见解析 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】（1）一共有9张牌，其中2张手机的牌，再根据公式计算； （2）根据可能性的大小，保证“电影票”有4张即可，设计九张牌中有四张写着电影票，其它的五张牌中手机、微波炉、球拍各一张，谢谢参与两张，答案不唯一． 【详解】（1）由题意可知一共有9张牌，其中“手机”有2张，则抽到“手机”奖品的可能性是：； （2）设计九张牌中有四张写着电影票，其它的五张牌中手机、微波炉、球拍各一张，谢谢参与两张，答案不唯一． 如图所示， 题型03概率的意义理解 6．（2024八年级下·上海·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率介于0和1之间 D．不确定事件发生的概率为0.5 【答案】D 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题关键．概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：．其中必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率；随机事件，发生的概率大于0并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．据此分析判断即可． 【详解】解：A.必然事件发生的概率为1，该说法正确，不符合题意； B.不可能事件发生的概率为0，该说法正确，不符合题意； C.随机事件发生的概率介于0和1之间，该说法正确，不符合题意； D.不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故说法错误，符合题意． 故选：D． 7．（八年级下·上海杨浦·期末）确定事件的概率是 ． 【答案】0或1/1或0 【知识点】概率的意义理解、事件的分类 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可． 【详解】解：确定事件包括必然事件和不可能事件， 必然事件的概率为， 不可能事件的概率为， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中． 题型04根据概率公式计算概率 8．（八年级下·上海虹口·阶段练习）在李咏主持的幸运52栏目中，曾有一种竞赛活动，游戏规则是；在20个商标牌中，有5个商标的背面注明了一定的奖金，其余的商标的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的关注有三次翻拍的机会，且翻过的排不能再翻，如果有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】考虑清楚第三次翻牌时商标牌的总个数以及有奖金的商标牌的个数解题即可 【详解】共有20个商标牌，已经翻牌2次，所以还剩商标牌18个，因为共有5个有奖金，已经有一次获奖，那么剩余的18个商标牌中有4个有奖，翻到有奖金的商标牌的概率为，故选B 【点睛】本题考虑概率的计算，用“概率=所求情况数与总情况之比”解题 9．（2025八年级下·上海·专题练习）在不透明的袋子里装入3个红球和2个白球（除颜色不同外其余均相同），从中随机摸出一个球为白球的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；本题用白球的个数除以球的总个数即可得． 【详解】解：从中随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸出一个球为白球的有2种结果， 所以摸出一个球为白球的概率为， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率； （1）根据概率公式可得答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和为偶数的情况数，然后根据概率公式可得答案； （3）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和能被3整除的情况数，然后根据概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵共有4个小球，所标的数字不超过4的有4个， ∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是， 故答案为：； （2）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有12种等可能的情况，其中所标的数字和为偶数的情况有4种， ∴所标的数字和为偶数的概率是， 故答案为：； （3）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有16种等可能的情况，其中所标数字和能被3整除的情况有5种， ∴所标数字和能被3整除的概率是． 题型05已知概率求数量 11．（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 个球． 【答案】8 【知识点】解分式方程、已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．根据概率公式列方程计算． 【详解】解：设袋子中共有x个球，根据题意得： ， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：8． 12．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 【答案】(1) (2) (3)往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． （1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设往箱子里放红球x个，白球1个，根据“摸出白球的概率为”建立方程求解检验即可． 【详解】（1）解：摸出的球是白球的概率是； （2）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为2， 即两次都是摸出白球的概率为：； （3）解：设往箱子里放红球x个，白球1个，根据题意得： ，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 往箱子里放红球1个，白球1个，摸出白球的概率为 题型06几何概率 13．（2024八年级下·上海·专题练习）将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性． 首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：圆被等分成8份，其中红色部分占3份， 落在红色区域的概率． 故选：B． 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示，随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ．（指针停在扇形边界上时统计在逆时针方向相邻的扇形内）    【答案】/0.5 【知识点】根据概率公式计算概率、几何概率 【分析】本题考查了几何概率，直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：指针指向蓝色区域的概率， 故答案为：． 题型07列举法求概率 15．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）从1、2、3三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】列举法求概率 【分析】根据列举法可进行求解． 【详解】解：从1、2、3三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数有12、13、23、32、31、21，其中两位数是合数的有12、32、21，所以两位数是合数的概率为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键． 16．（八年级下·上海·期中）在甲、乙两个不透明的袋子中有红白两种颜色的小球（除颜色外其它都相同），甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球． (1)如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是________． (2)如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？请用树形图法说明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、列举法求概率 【分析】（1）用列举法求概率即可； （2）画出树状图，列出所有可能的结果，再找到符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）如果从乙袋中随机摸出两个小球，则有，，，，，共6种可能，其中摸到两球颜色相同的有3种可能， 故摸到两球颜色相同的概率是． 故答案为： （2）根据题意可画树状图如下： ∴共有12种可能，其中摸到两球颜色相同的情况有5种， ∴摸到两球颜色相同的概率为． 【点睛】本题考查用列举法求概率，画树状图法求概率．在计算（2）中，正确的画出树状图是解题的关键． 题型08列表法或树状图法求概率 17．（21-22八年级下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列举出所有情况，让恰好由甲将接力棒交给乙的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】解：根据题意，画树状图得： 所以一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种， 所以恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．还要注意题目是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．（2025八年级下·上海·专题练习）从4、6、8这三个数字中任选两个数组成一个两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能够被3整除的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了树状图与列表法求概率，通过树状图把所有可能的情况都列出来，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：从这三个数中任选两个数，画树状图得， 由树状图可以看出，组成的两位数共有6种等可能的情况，其中能被3整除的两位数只有两种情况， （能被3整除）． 故答案为：． 19．（八年级下·上海奉贤·期末）木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 【答案】(1)他的判断不正确 (2) 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． （1）根据概率的可能性进行判断即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到一个红球和1个白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）他的判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）根据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个白球的有6种结果， 所以摸到一个红球和一个白球的概率是． 题型09游戏的公平性 20．（八年级下·上海·单元测试）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 【答案】小强 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率 【分析】先画出树状图得出所有等可能结果，根据概率公式计算出两人获胜的概率，再比较大小即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可得共有4种等可能的结果，出现朝上的两个面都是正面的结果数有1种，出现朝上的两个面不都是正面的结果数有3种， ∴小明赢的概率为，小强赢的概率为， ∵， ∴该游戏对小强有利， 故答案为：小强． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 21．（2023八年级下·上海·专题练习）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． (1)从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ (2)从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 【答案】(1)规则公平，见解析 (2)规则公平，见解析 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）直接由概率公式求出甲获胜的概率等于乙获胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：规则公平，理由如下： 由题意得：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率， ∴规则公平； （2）（2）规则公平，理由如下：    共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率， ∴规则公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 题型10由频率估计概率 22．（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 机会均等就出现的可能性是相同的，但不一定在有限的实验中出现的次数相同，只是在大量实验时，两者出现的次数接近． 【详解】解：“正面”和出现“反面”的机会均等，随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5． 故选：C． 23．（2022八年级下·上海·专题练习）学习概率有关知识时，全班同学一起做摸球试验．布袋里装有红球和白球共5个，它们除了颜色不同其他都一样．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了100次，其中63次摸出红球，由此可以估计布袋中红球的个数是 ． 【答案】3 【知识点】由频率估计概率、已知概率求数量 【分析】根据题意，一共摸了100次，其中63次摸出红球，可以估计出得到红球的概率，进而求出红球个数． 【详解】解：∵小明共摸了100次，其中63次摸到红球， ∴得到红球的概率为：≈0.6， ∵布袋里装有红球和白球共5个， ∴可以估计布袋中红球的个数是：0.6×5＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了模拟实验，利用实验得出摸出红球的概率，是解题关键． 24．（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 【答案】(1)工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件 (2)；41 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、由频率估计概率、分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，用频率估计概率，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务，列出方程，解方程即可； （2）根据频率估计概率即可，设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意列出不等式，求出至少还要生产的件数即可． 【详解】（1）解：设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据题意得： ， 解得：，， 经检验是原方程的解， 答：工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件； （2）解：根据表格中的数据可知：模型报废的频率稳定在， ∴这批物理实验模型成品的报废率约为， 设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意得： ， 解得：， ∵y必须取整数， ∴至少还需生产41件产品才能完成订单的需求． 夯实基础 一、单选题 1．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．如果x2＝y2，那么x＝y B．车辆行驶到某十字路口，遇到绿灯 C．掷一枚1元的硬币，有数字的面向上 D．太阳每天都会从东方升起 【答案】D 【分析】根据时间发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【详解】A、如果x2＝y2，那么x＝y或x＝-y，所以x＝y是随机事件，不符合题意； B、车辆行驶到某十字路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； C、掷一枚1元的硬币，有数字的面向上是随机事件，不符合题意； D、太阳每天都会从东方升起是必然事件，符合题意． 故答案选：D 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（　　） A．P（A）＝1 B．P（A）＝0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质1知事件A是随机事件，由概率的意义可得答案． 【详解】解：若a＞b，根据不等式的基本性质知ac2≥bc2成立， ∴A是随机事件， ∴0＜P（A）＜1，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是概率的意义，必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；如果A为不确定事件，那么0＜P（A）＜1，解题的关键是确定事件A的类型． 3．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意画出树状图： ∴共有9种等可能的结果，小明获胜的有3种情况， ∴小明获胜的概率 P==， 故选: B. 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 4．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出阴影方砖在整个方砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】∵图中共有15个方砖，其中阴影方砖3个， ∴阴影方砖在整个方砖中所占面积的比值==， ∴最终停在阴影方砖上的概率为， 故选C． 【点睛】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解答此题的关键． 5．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵有实数根， ∴△=b−4ac=p−4q⩾0， ∵共有6种等可能的结果,满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的有(1,−1),(2,−1),(2,1)共3种情况， ∴满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的概率是： . 故选A. 【点睛】此题考查根的判别式，列表法与树状图法，解题关键在于利用判别式进行计算. 二、填空题 6．两直线平行，同旁内角相等，这个事件是 发生的．（填“可能”、“不可能”或“必然”） 【答案】可能. 【分析】根据不确定事件、不可能事件和必然事件的概念，平行线的性质即可解答. 必然事件:在一定条件下必然会发生的事件. 不可能事件:在一定条件下必然不会发生的事件. 不确定事件(或随机事件):在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件. 其中,必然事件和不可能事件都是确定事件. 【详解】两直线平行,同旁内角互补,互补的同旁内角也有可能相等, 故这个事件是不确定事件，是可能发生的. 故答案为可能. 【点睛】本题考查不可能事件，必然事件，随机事件（不确定事件），解题的关键是掌握平行线的性质及理解不确定事件、不可能事件以及必然事件的概念. 7．把质地均匀的小正方体的一个面涂成红色、两个面涂成黄色、三个面涂成蓝色，抛掷这个小立方体，那么向上一面的颜色可能性最大的是 ． 【答案】蓝色 【分析】根据每种颜色的面的数量大小即可判断向上一面的颜色可能性的大小． 【详解】解：一个质地均匀的正方体的6个面，三个面涂成蓝色，两个面涂成黄色，一个面涂成红色， 因为， 所以蓝色朝上的可能性最大， 故答案为：蓝色． 【点睛】本题主要考查了事件的可能性，通过比较所涂颜色的个数大小即可判断事件的可能性大小． 8．自我县开展道路交通安全法学习宣传活动后，我县人民更加自觉遵守交通规则，我校学生丽丽每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、绿、黄三色交通信号灯，该路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，当丽丽到达该路口时，恰好遇到绿灯的概率为 ． 【答案】 【分析】用随机事件的概率公式解答即可． 【详解】∵路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒， ∴恰好遇到绿灯的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 9．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1，－2，3，4．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 . 【答案】． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】 共有12种情况，其中乘积是负数的情况有8种，因此这两张卡片上的数字之积是负数的概率是． 10．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ． 【答案】0.5/ 【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可． 【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右， ∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5． 故答案为：0.5． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键． 11．纸箱里有两双拖鞋，除颜色不同外，其他都相同，从中随机取一只(不放回)，再取一只，则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为 ． 【答案】 【详解】假设两双拖鞋的颜色分别为红色与黑色，列表得出： 所有等可能的情况有12种，其中两次取出的鞋颜色恰好相同的情况有4种， 则P== 故答案为 点睛：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12．现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为 ． 【答案】 【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3， 所以点P（m，n）在第二象限的概率＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标． 13．元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个． 【答案】24 【分析】设袋中共有个白球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答． 【详解】解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率， 由题意得，， 解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 估计袋子中白球的数量是24个． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了利用样本估计总体和频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 14．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：列表得： （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） - （1，4） （2，4） （3，4） - （5，4） （1，3） （2，3） - （4，3） （5，3） （1，2） - （3，2） （4，2） （5，2） - （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） ∴一共有20种情况，这两个球上的数字之和为偶数的8种情况， ∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是． 【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键. 三、解答题 16．设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是． 【答案】答案见详解. 【分析】可把一个转盘分成面积相等的红、蓝两部分，另一个转盘被分成面积相等的红、蓝、白三部分，这样可进行“配紫色”游戏，且使配得紫色的概率是. 【详解】解：两个转盘，其中一个转盘被分成面积相等的红、蓝两部分，另一个转盘被分成面积相等的红、蓝、白三部分，同时转动两个转盘，把转盘停止时指针所指的两种颜色进行配色，求配得紫色的概率． 如图，画树状图： 共有6种可能的结果数，其中配得紫色（红+蓝）的结果数为2，所以配得紫色的概率＝． 【点睛】考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 17．用前面拋掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率． 【答案】 【分析】根据表格信息，用频数除以实验次数，得到频率，由于试验次数较多，可以用频率估计概率； 【详解】全班同学分组做掷骰子的试验，试验的结果如下： 投掷次数 10 20 30 60 120 240 1出现的次数 2 3 5 11 20 40 随着投掷次数增加，掷一次骰子时“点数是1”的频率稳定在左右，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率为：． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确用频率估计概率的方法，准确进行试验． 18．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 【答案】(1) (2)0.25 (3) 【分析】本题考查了列表法或树状图法： （1）根据概率公式求解； （2）根据频率的定义求解； （3）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为； 故答案为： （2）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是； 故答案为：0.25 （3）解：列表如下． 第二次第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种， 两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为． 19．某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．    请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由． 【答案】（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲，共6种；（2）两人坐到甲车的可能性一样，理由见解析 【分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数； （2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种； （2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲， 则张先生坐到甲车的概率是； 由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙， 则李先生坐到甲车的概率是； 所以两人坐到甲车的可能性一样． 【点睛】此题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1，2，3.从每组牌中各摸出一张牌． （1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？ （2）两张牌的牌面数字和等于2的概率是多少？ （3）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？ （4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是多少？ 【答案】（1）0；（2）；（3）两张牌的牌面数字和为4的概率最大；（4）． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （1）由树状图可求得两张牌的牌面数字和等于1的情况，继而求得答案； （2）由树状图可求得两张牌的牌面数字和等于2的情况，再利用概率公式求解即可求得答案； （3）由树状图即可求得两张牌的牌面数字和为1，2，3，4，5，6时的情况，继而求得答案； （4）由树状图可求得两张牌的牌面数字和大于3的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 则共有9种等可能的结果； （1）∵两张牌的牌面数字和等于1的没有， ∴两张牌的牌面数字和等于1的概率是0； （2）∵两张牌的牌面数字和等于2的有1种情况， ∴两张牌的牌面数字和等于2的概率是：； （3）∵两张牌的牌面数字和为4的有3种情况，两张牌的牌面数字和为3，5的有2种情况，两张牌的牌面数字和为1，6的有1种情况， ∴两张牌的牌面数字和为4的概率最大； （4）∵两张牌的牌面数字和大于3的有6种情况， ∴两张牌的牌面数字和大于3的概率是：＝． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意首先根据题意画出树状图，然后结合树状图求解是解此题的关键． 21．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果， 投篮次数（n） 50 100 150 209 250 300 350 投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 175 投中频率（n/m） 0.56 0.60 　 0.49 　 　 （1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）； （2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？ 【答案】（1）0.52，0.50，0.51，0.58；（2）P≈0.5； 【详解】试题分析：（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案； （2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 试题解析：（1）根据题意得： 78÷150=0.52； 104÷209≈0.50； 152÷300≈0.51； 175÷350≈0.58； 填表如下： 投篮次数（n） 50 100 150 209 250 300 350 投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 175 投中频率（n/m） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.49 0.51 0.58 故答案为0.52，0.50，0.51，0.58； （2）由题意得： 投篮的总次数是50+100+150+209+250+300+350=1409（次）， 投中的总次数是28+60+78+104+123+152+175=720（次）， 则这名球员投篮的次数为1409次，投中的次数为720， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5． 故答案为0.5 22．某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）． (2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问： ①这批花卉成活的棵数约为多少？ ②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①18000棵  ②80000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在附近，估计成活概率为． 故答案为：； （2）解：①（棵）， 答：这种花卉成活率约18000棵． ②（棵）， 答：估计还要移植80000棵． 能力提升 一、单选题 21．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现“一次正面，两次反面”的概率为(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用树状图列举出所有情况，看出现“一次正面，两次反面”的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：列树状图得： 共有8种情况，出现“一次正面，两次反面”的有3种情况，所以概率是， 故选C． 【点睛】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）． 22．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（　　） A．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C．把“小明赢1分”改为“小明赢3分” D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分” 【答案】D 【详解】解：如图， 因为p（正，正）=，则出现其他结果的概率为：． A．根据出现抛出两个相同面的概率为：，则把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”正确，故此选项正确不符合题意； B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为：，故此时公平，故此选项正确不符合题意； C．∵小明获胜概率为：，小刚获胜概率为：，故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”，故此时公平，故此选项正确不符合题意； D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分，此时不公平，故此选项错误符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 二、填空题 23．如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，若在格点上任意放置点C，恰好使得△ABC的面积为的概率为 ． 【答案】/0.375 【分析】按照题意分别找出点C所在的位置，根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：可以找到6个恰好能使△ABC的面积为的三角形， 则概率为：6÷16=， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点． 24．下列7个事件中：（1）掷一枚硬币，正面朝上．（2）从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张恰为黑桃．（3）随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页．（4）天上下雨，马路潮湿．（5）你能长到身高4米．（6）买奖券中特等大奖．（7）掷一枚正方体骰子，得到的点数＜7．其中（将序号填入题中的横线上即可）确定事件为 ；不确定事件为 ；不可能事件为 ；必然事件为 ；不确定事件中，发生可能性最大的是 ，发生可能性最小的是 ． 【答案】 （4）（5）（7）； （1）（2）（3）（6）； （5）； （4）（7）； （1）； （6） 【详解】解:（1）“抛掷一枚硬币，正面向上”是“随机事件”，发生的可能性为：； （2）“从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张恰为黑桃”是“随机事件”，发生的可能性为：； （3）“随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页”是“随机事件”，发生的可能性是：； （4）“天上下雨，马路潮湿”是“确定事件中的必然事件”； （5）“你能长到身高4米”是“确定事件中的不可能事件”； （6）“买奖券中特等大奖”是“随机事件”，发生的可能性很小； （7）“掷一枚正方体骰子，得到的点数＜7”是“确定事件中的必然事件”； 综上所述，在上述7个事件中，（4）（5）（7）属于“确定事件”；（1）（2）（3）（6）属于“不确定事件”；（5）属于“不可能事件”；（4）（7）属于“必然事件”；不确定事件中，（1）发生的可能性最大，（6）发生的可能性最小. 故答案为：①. （4）（5）（7）；  ②. （1）（2）（3）（6）；  ③. （5）； ④. （4）（7）；  ⑤. （1）；  ⑥. （6） . 【点睛】本题考查随机事件，解答本题有两个要点：（1）弄清“确定事件”、“不确定事件”、“必然事件”和“不可能事件”的含义；（2）知道“确定事件”包含“必然事件”和“不可能事件”两大类. 三、解答题 25．在七年级数学《谁转出的“四位数”大》一节课中，小明和小新分别转动标有“0﹣9”十个数字的转盘四次，每次将转出的数填入表示四位数的四个方格中的任意一个，比较两人得到的四位数，谁大谁获胜．已知他们四次转出的数字如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 小明 9 0 7 3 小新 0 5 9 2 （1）小明和小新转出的四位数最大分别是多少？ （2）小明可能得到的四位数中“千位数字是9”的有哪几个？小新呢？ （3）小明一定能获胜吗？请说明理由． 【答案】(1) 9730， 9520；(2) 9730,9703,9370,9307,9073,9037;9520,9502,9250,9205,9052,9025；(3)不一定,小新获胜. 【分析】（1）根据小明和小新转动转盘的次数所出现的四个数求出分别转出的最大的四位数即可； （2）根据小明和小新转动转盘的次数所出现的四个数分别列举出明可能得到的“千位数字是9”的四位数即可； （3）分别根据小新和小明得到的数进行解答． 【详解】解：(1)小明转出的四位数最大是9730;小新转出的四位数最大是9520. (2)小明可能得到的“千位数字是9”的四位数有6个,分别为9730,9703,9370,9307,9073,9037; 小新可能得到的“千位数字是9”的四位数有6个,分别为9520,9502,9250,9205,9052,9025. (3)不一定,因为如果小明得到的是9370,小新得到的是9520,则小新获胜. 【点睛】本题考查的是可能性的大小，根据题意列举出小新和小明分别得到的“千位数字是9”的四位数是解答此题的关键． 26．如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是多少？具体做做看！ 【答案】 【分析】如图，当所抛圆碟的圆心在图中阴影部分时，阴影部分的宽为圆的直径，圆碟将与地砖间的间隙相交，求得阴影部分面积和正方形的面积比即可． 【详解】如图，当所抛圆碟的圆心在图中阴影部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交，因此所求概率等于如图正方形地砖内的阴影部分和该正方形的面积比， 阴影部分的面积为：， 正方形的面积为：， 正方形地砖内的阴影部分和该正方形的面积比为， 圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为． 【点睛】本题考查了几何概率，理解题意，转化为面积比是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 概率初步 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01事件的分类.......................................................................................................................................................................4 题型02判断事件发生的可能性的大小.......................................................................................................................................5 题型03概率的意义理解...............................................................................................................................................................8 题型04根据概率公式计算概率...................................................................................................................................................9 题型05已知概率求数量..............................................................................................................................................................11 题型06几何概率..........................................................................................................................................................................13 题型07列举法求概率..................................................................................................................................................................15 题型08列表法或树状图法求概率..............................................................................................................................................16 题型09游戏的公平性..................................................................................................................................................................19 题型10由频率估计概率.........................................................................................................................................................21 分层练习........................................................................................................................................................................................24 夯实基础........................................................................................................................................................................................24 能力提升........................................................................................................................................................................................41 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点5．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点6．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点7．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点8．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点9．模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 题型01事件的分类 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个凸多边形，其外角和是 2．（八年级下·上海杨浦·期末）“早上的太阳从东方升起”是 事件．（填“确定”或“不确定”） 题型02判断事件发生的可能性的大小 3．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．必然事件的概率为1 B．随机事件的概率为0.5 C．概率很小的事件不可能发生 D．概率很大的事件一定发生 4．（八年级下·上海闵行·期末）一个不透明的布袋中放有大小、质地都相同四个红球和五个白球，小敏第一次从布袋中摸出一个红球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，那么小敏第二次还是摸出红球的可能性为 ． 5．（2022八年级下·上海·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题： (1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的是__________； (2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“电影票”的可能性大小是． 题型03概率的意义理解 6．（2024八年级下·上海·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率介于0和1之间 D．不确定事件发生的概率为0.5 7．（八年级下·上海杨浦·期末）确定事件的概率是 ． 题型04根据概率公式计算概率 8．（八年级下·上海虹口·阶段练习）在李咏主持的幸运52栏目中，曾有一种竞赛活动，游戏规则是；在20个商标牌中，有5个商标的背面注明了一定的奖金，其余的商标的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的关注有三次翻拍的机会，且翻过的排不能再翻，如果有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（2025八年级下·上海·专题练习）在不透明的袋子里装入3个红球和2个白球（除颜色不同外其余均相同），从中随机摸出一个球为白球的概率是 ． 10．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 题型05已知概率求数量 11．（23-24八年级下·上海长宁·期末）一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到红球的概率是，那么袋子中共有 个球． 12．（23-24八年级下·上海虹口·期末）一只箱子里放有2个白球与1个红球，它们除颜色外均相同． (1)如果从箱子中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______； (2)如果从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，再摸出一个球，利用树形图求两次摸出的球都是白球的概率； (3)如果可以往箱子里放除颜色外均相同的球，请你设计一个“摸出白球的概率为”的游戏方案． 题型06几何概率 13．（2024八年级下·上海·专题练习）将一个圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图．任意转动转盘，停止后指针落在每个扇形内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）．则指针落在红色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示，随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ．（指针停在扇形边界上时统计在逆时针方向相邻的扇形内）    题型07列举法求概率 15．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）从1、2、3三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是 ． 16．（八年级下·上海·期中）在甲、乙两个不透明的袋子中有红白两种颜色的小球（除颜色外其它都相同），甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球． (1)如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是________． (2)如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？请用树形图法说明． 题型08列表法或树状图法求概率 17．（21-22八年级下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（    ） A． B． C． D． 18．（2025八年级下·上海·专题练习）从4、6、8这三个数字中任选两个数组成一个两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能够被3整除的概率是 ． 19．（八年级下·上海奉贤·期末）木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 题型09游戏的公平性 20．（八年级下·上海·单元测试）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 21．（2023八年级下·上海·专题练习）暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负． (1)从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？ (2)从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由． 题型10由频率估计概率 22．（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 23．（2022八年级下·上海·专题练习）学习概率有关知识时，全班同学一起做摸球试验．布袋里装有红球和白球共5个，它们除了颜色不同其他都一样．每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了100次，其中63次摸出红球，由此可以估计布袋中红球的个数是 ． 24．（23-24八年级下·上海静安·期末）某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 夯实基础 一、单选题 1．下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．如果x2＝y2，那么x＝y B．车辆行驶到某十字路口，遇到绿灯 C．掷一枚1元的硬币，有数字的面向上 D．太阳每天都会从东方升起 2．如果用A表示事件“若a＞b，则ac2＞bc2”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（　　） A．P（A）＝1 B．P（A）＝0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1 3．众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种．石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平，小明和小红玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 4．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（     ） A． B． C． D． 5．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．两直线平行，同旁内角相等，这个事件是 发生的．（填“可能”、“不可能”或“必然”） 7．把质地均匀的小正方体的一个面涂成红色、两个面涂成黄色、三个面涂成蓝色，抛掷这个小立方体，那么向上一面的颜色可能性最大的是 ． 8．自我县开展道路交通安全法学习宣传活动后，我县人民更加自觉遵守交通规则，我校学生丽丽每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、绿、黄三色交通信号灯，该路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，当丽丽到达该路口时，恰好遇到绿灯的概率为 ． 9．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字－1，－2，3，4．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 . 10．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ． 11．纸箱里有两双拖鞋，除颜色不同外，其他都相同，从中随机取一只(不放回)，再取一只，则两次取出的鞋颜色恰好相同的概率为 ． 12．现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为 ． 13．元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个． 14．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 ． 15．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为 ． 三、解答题 16．设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是． 17．用前面拋掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率． 18．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 19．某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．    请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由． 20．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1，2，3.从每组牌中各摸出一张牌． （1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？ （2）两张牌的牌面数字和等于2的概率是多少？ （3）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？ （4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是多少？ 21．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果， 投篮次数（n） 50 100 150 209 250 300 350 投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 175 投中频率（n/m） 0.56 0.60 　 0.49 　 　 （1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）； （2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？ 22．某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）． (2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问： ①这批花卉成活的棵数约为多少？ ②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？ 能力提升 一、单选题 23．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现“一次正面，两次反面”的概率为(  ) A． B． C． D． 24．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（　　） A．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C．把“小明赢1分”改为“小明赢3分” D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分” 二、填空题 25．如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，若在格点上任意放置点C，恰好使得△ABC的面积为的概率为 ． 26．下列7个事件中：（1）掷一枚硬币，正面朝上．（2）从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张恰为黑桃．（3）随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页．（4）天上下雨，马路潮湿．（5）你能长到身高4米．（6）买奖券中特等大奖．（7）掷一枚正方体骰子，得到的点数＜7．其中（将序号填入题中的横线上即可）确定事件为 ；不确定事件为 ；不可能事件为 ；必然事件为 ；不确定事件中，发生可能性最大的是 ，发生可能性最小的是 ． 三、解答题 27．在七年级数学《谁转出的“四位数”大》一节课中，小明和小新分别转动标有“0﹣9”十个数字的转盘四次，每次将转出的数填入表示四位数的四个方格中的任意一个，比较两人得到的四位数，谁大谁获胜．已知他们四次转出的数字如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 小明 9 0 7 3 小新 0 5 9 2 （1）小明和小新转出的四位数最大分别是多少？ （2）小明可能得到的四位数中“千位数字是9”的有哪几个？小新呢？ （3）小明一定能获胜吗？请说明理由． 26．如图，地面上铺满了正方形的地砖（），现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是多少？具体做做看！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$