21.4-21.6 无理方程、二元二次方程（组）-2022-2023学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（沪教版）

21.4-21.6无理方程、二元二次方程（组） 一、无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 要点： 简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程． 二、有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程. 三、代数方程 有理方程和无理方程统称为代数方程. 要点： 代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算. 四、解无理方程的一般步骤 1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边； ②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程； ③解整式方程； ④验根； ⑤写答案. 要点： 解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为： 2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边； ②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程； 以下与1步骤相同. 要点： 解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。 五、代数方程分类 ( 整式方程 ) ( 有理方程 ) ( 分式方程 ) 代数方程 ( 无理方程 ) 六、二元二次方程 1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 要点诠释： （a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项. 2.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解. 要点： 二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况. 七、二元二次方程组 1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点： 不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组. 2. 二元二次方程组的解: 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解. 八、二元二次方程组的解法 1. 代入消元法 代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 　②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 　③解这个一元二次方程，求得未知数的值； 　④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； 　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解. 要点： （1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组； （2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误. 2、因式分解法 　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. 　　(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解. 九、方程（组）的应用 应用二元二次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案. 要点： 一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求. 题型1：无理方程的概念 1．以下方程是无理方程的是（    ） A． B． C． D． 题型2：解无理方程 2．下列说法正确的是（    ） A．方程无实数根 B．方程变形所得有理方程为 C．方程的根是 D．关于x的方程有实数根，那么 3．解方程：． 4．解方程：2x1． 5．解方程：2x2﹣3x+2x1． 题型3：有无实数根的问题 6．下列方程中，有实数根的是（　　） A． B． C． D． 7．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 8．下列关于的方程中，一定有实数解的是（    ） A． B． C． D． 9．在下列方程中，无实数根的方程有（    ） ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． A．2 B．3