第06讲 一元一次不等式（5个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第06讲 一元一次不等式 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01一元一次不等式的定义...................................................................................................................................................3 题型02求一元一次不等式的解集...............................................................................................................................................4 题型03求一元一次不等式的整数解...........................................................................................................................................6 题型04求一元一次不等式解的最值...........................................................................................................................................7 题型05解|x|≥a型的不等式.........................................................................................................................................................10 题型06列一元一次不等式............................................................................................................................................................13 题型07用一元一次不等式解决实际问题...................................................................................................................................15 题型08用一元一次不等式解决几何问题...................................................................................................................................17 题型09在数轴上表示不等式的解集...........................................................................................................................................22 分层练习........................................................................................................................................................................................25 夯实基础.........................................................................................................................................................................................25 能力提升........................................................................................................................................................................................36 知识点1．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点3．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 知识点5．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型01一元一次不等式的定义 1．（21-22·广东湛江·期中）下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据含有一个未知数且未知数最高指数为1次的不等式叫作一元一次不等式，化简后，根据定义判定即可． 本题考查了一元一次不等式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．含有2个未知数，不符合题意； B．未知数的最高次数是2，不符合题意； C．整理后不含未知数，不符合题意； D．是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 题型02求一元一次不等式的解集 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 5．（22-23八年级下·四川成都·期中）不等式的解集为 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式．解不等式即可求解． 【详解】解：由原不等式得：， 解得， 故答案为：． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）解不等式 (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项即可得解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可得解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得 题型03求一元一次不等式的整数解 7．（24-25八年级下·全国·期末）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，注意非负整数包括0和正整数．直接从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：不等式的非负整数解为:共4个， 故选：C． 8．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）不等式的正整数解是 ． 【答案】，2，3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 先解一元一次不等式，然后找出符合题意的正整数解即可． 【详解】解： ∴的正整数解是，2，3． 故答案为：，2，3． 9．（23-24八年级下·广东佛山·期中）二元一次方程，若x的取值范围如图所示，求y的正整数值． 【答案】y的正整数值为1和2． 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先根据得出，再根据x的取值范围求出y的取值范围，然后求出y的正整数值即可． 【详解】解：由得：， 根据数轴可知，， ∴， 解得：， ∴y的正整数值为1，2． 题型04求一元一次不等式解的最值 10．（20-21八年级下·重庆南岸·期中）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 11．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 【答案】8 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 12．（2023·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)的最小整数值为 【知识点】求一元一次不等式解的最值、整式的加减运算 【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案； （2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得到，， 故答案为：， （2）由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小整数值为． 【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键． 题型05解|x|≥a型的不等式 13．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 14．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）在平面直角坐标系中，，点，，若a，b满足．    (1)求点A，B的坐标； (2)如图1，连接，，，求的面积： (3)如图2，将线段平移到，点E在x轴上，点F在y轴上，点D在直线上，且点D的纵坐标为t，当满足时，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)10 (3)t的取值范围是或 【知识点】坐标与图形、解|x|≥a型的不等式、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据二次根式和平方的非负性可求得，，即可求得； （2）分别过点A，B作轴于C，轴于D，根据，求得，，，，，根据三角形面积公式，梯形面积公式，即可求得； （3）根据平移的性质可得，，根据点D在直线上，且D点的纵坐标为t和三角形的面积公式求得，根据，得到，即可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，． （2）分别过点A，B作轴于C，轴于D，如图：    ∵， ∴，，，，， ∴． （3）∵平移到点E，平移到点F， ∴点，， ∵点D在直线上，且D点的纵坐标为t， ， ∵， ∴， ∴， ∴解得：或， 当满足时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，平方的非负性，三角形面积公式，梯形面积公式，平移的性质，解不等式等，熟练掌握以上性质是解题的关键． 题型06列一元一次不等式 15．（23-24八年级下·福建三明·期中）下列由题意列出的不等关系中，错误的是（    ） A．“a不是负数”表示为； B．“m与4的差是非负数”表示为； C．“x不大于3”表示为； D．“代数式大于”表示为． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式，根据文字语言叙述，将不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意不是负数、非负数即为大于或等于0的数；不大于即小于或等于． 【详解】A、a不是负数，表示为，故本选项错误； B、m与4的差是非负数，表示为，故本选项正确； C、x不大于3，表示为，故本选项正确； D、代数式大于，表示为，故本选项正确， 故选：A． 16．（21-22八年级下·广东清远·期末）“x的3倍与1的和不小于5“用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了列代数式，x的3倍为，不小于即大于等于，据此列出不等式即可． 【详解】解：“x的3倍与1的和不小于5“用不等式表示为， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 【答案】(1)x－3＞10； (2)3x-5＜0； (3)x+1≥0 ； (4)3y-(-9)≤-1． 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了列不等式．解决本题的关键是读懂题目中各量之间的关系列出代数式，再根据题目中所列代数式表示的数的特征得出不等式． 【详解】（1）解：根据减去大于，可得：； （2）解：根据的倍与的差是负数，可得：； （3）解：根据的与的和是非负数，； （4）解：根据的倍与的差不大于，可得：． 题型07用一元一次不等式解决实际问题 18．（24-25八年级下·重庆·开学考试）推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润”列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 19．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共80个，购买资金不超过4800元，若每个篮球70元，每个足球40元，则篮球最多可购买 个． 【答案】53 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．设购买篮球x个，足球为个，根据购买资金不超过4800元，列出不等式，进而求解即可． 【详解】解：设购买篮球x个，足球为个，由题意得： ， 解得：， ∵x为正整数， ∴x最大取53，即篮球最多可购买53个； 故答案为：53． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元． (1)求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系； (2)若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用． 【答案】(1) (2)该小区所购买的甲种石材5000块时，所需总费用最省，最省费用为550000元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据“两种石材所需总费用＝甲石材单价×甲石材数量+乙石材单价×乙石材数量”计算即可； （2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集；根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可． 【详解】（1）解：， 答：购买甲、乙两种石材所需总费用y（ 元）与甲种石材数量x（ 块）的函数关系为． （2）解：根据题意，得， 解得， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小，， 答：该小区所购买的甲种石材5000块时，所需总费用最省，最省费用为550000元． 题型08用一元一次不等式解决几何问题 21．（21-22八年级下·河南周口·期末）已知等腰三角形的周长是8，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、一次函数与几何综合、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】根据三角形的周长公式可得，从而可得，再根据三角形的三边关系定理和确定的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 由三角形的三边关系得：，即， 解得， 又， ， 解得， 则与之间的函数关系为， 当时，；当时，， 所以与之间的函数关系的图象是在内的一条线段（不含两端点）， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象、三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义，正确求出的取值范围是解题关键． 22．（22-23八年级·全国·假期作业）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，为直线上的一个动点，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、画一次函数图象、线段问题(轴对称综合题) 【分析】依据一次函数的图像特征画出草图，记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度，设，联立直线 与，并根据求得点的坐标，进而求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意，画出草图，如图所示： 记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度， 设，联立直线 与可得， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即点的横坐标小于等于2， 的值最小， 就要使点离直线最近， ， ， ， 直线的表达式为：， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据题意画出草图，并找出点关于直线的对称点是解决本题的关键． 23．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，过点与点的直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，点在直线上，横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)若的面积大于3，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点问题、一元一次不等式的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组，求解即可得出答案； （3）求出得出当的面积大于3时，点在点的右侧或在点的左侧，分两种情况，分别建立不等式，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． 点与点在直线上， ∴， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：直线与直线相交于点， ∴， 解得：， 点的坐标为． （3）解：在中，当时，，故， ∴， ∴， ∴当的面积大于3时，点在点的右侧或在点的左侧． 当点在点的右侧时， ，即， 解得． 当点在点的左侧时， ．即， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 题型09在数轴上表示不等式的解集 24．（24-25八年级下·全国·期末）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式可得解集为，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为： ． 故选：D． 25．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴可得：关于x的不等式的解集是： 故答案为：． 26．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)一 (2)，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）第一步去分母时等式右边的数字3没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： 夯实基础 一、单选题 1．下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不含有未知数， 不是一元一次不等式，不符合题意； B、未知数的次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； D、是一元一次不等式，符合题意； 故选：D． 2．小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】略 3．下列数值中，不是不等式的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，根据不等式的性质解不等式，进而即可求解． 【详解】解：移项得，， 所以，不是不等式的解集的是． 故选：D． 4．某大型超市从生产基地购进一批水果,运输过程中质量损失10%.假设不计超市其他费用,如果超市要想获得至少20%的利润,那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克，购进这批水果用去ay元，但在售出时，只剩下（1-10%）a千克，售货款为（1-10%）a×（1+x）y元，根据公式=利润率可列出不等式，解不等式即可． 【详解】设购进这种水果a千克，进价为y元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）y元/千克， 由题意得：≥20%， 解得：x≥． 则这种水果的售价在进价的基础上应至少提高． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，设出合适的未知数，找出题目中的不等关系，列出不等式． 5．不等式3x＋2≤17的正整数解的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】试题解析：3x＋2≤17， ∴3x≤17-2， ∴3x≤15， ∴x≤5， ∴不等式的整数解有1，2，3，4，5，共5个， 故选D． 6．已知x，y，m满足，且y为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围． 【详解】解：， ，， ，， 为正数， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 7．某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据竞赛得分答对的题数未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可． 【详解】解：设要答对x道． ， ， ， 解得：， 根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题． 故选C． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键． 8．在河北某市召开的出租汽车价格听证会上，物价局拟定了两套客运出租汽车运价调整方案．方案一：起步价调至7元/2公里，而后每公里1.6元；方案二：起步价调至8元/3公里，而后每公里1.8元．若某乘客乘坐出租车（路程多于3公里）时用方案一比较合算，则该乘客乘坐出租车的路程可能为（　　） A．7公里 B．5公里 C．4公里 D．公里 【答案】A 【详解】设该乘客乘坐出租车的路程是x千米， 根据题意得：7+1.6(x−2)<8+1.8(x−3)， 解得：x>6． 所以只有7公里符合题意． 故选A． 二、填空题 9．某航空公司对旅客乘机时所托运的行李有限额规定，每件托运行李的长、宽、高三边之和不得超过158cm，某厂家生产的行李箱的长为72cm，宽与高的比为5:3，则符合限额规定的行李箱的高的最大值为 cm. 【答案】． 【分析】利用宽与高的比为5:3，进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过158cm，列不等式求出即可．, 【详解】解：设宽为5x，高为3x， 由题意，得：5x+3x+72≤158， 解得：x≤ ， 故行李箱的高的最大值为：3x= ， 答：行李箱的高的最大值为厘米． 故答案为． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是解题关键． 10．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】-2 【分析】根据一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵（a-2）x|a|-1+3＜0是关于x的一元一次不等式， ∴a-2≠0且|a|-1=1， 解得a=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键． 11．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．当 时，代数式的值不小于． 【答案】≤ 【分析】先根据题意列出不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵代数式的值不小于， ∴，解得． 故答案为：≤． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，在解答此题时要注意，当不等式的两边同时除以一个负数时不等号的方向要改变． 13．关于的方程是一元一次方程，则该方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】根据一元一次方程定义：含有一个未知数；未知数最高次数为1；整式方程；最高次项系数不为零，结合方程列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ，解得， 关于的一元一次方程是，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程定义及解一元一次方程，熟记定义及解一元一次方程的方法是解决问题的关键． 14．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元．经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折，若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘 个． 【答案】20 【分析】直接利用已知得出二元一次方程组求出键盘与鼠标的单价，再利用总费用不超过1820元，得出不等式求出答案． 【详解】解：设键盘每个价格为x元，鼠标每个价格为y元，根据题意可得： ， 解得：， 则设购买键盘a个，则鼠标（50﹣a）个， 根据题意可得：50×0.8a+40×0.85（50﹣a）≤1820， 解得：a≤20， 故最多可购买键盘20个． 故答案为：20． 【点睛】本题咔嚓的是二元一次方程组与一元一次不等式，根据题意正确列式是解题的关键． 三、解答题 15．对于x≥1的一切实数,不等式≥a都成立,试求a的取值范围. 【答案】 【分析】将x=1先带入不等式≥a中，解不等式即可得到答案. 【详解】解:解不等式可得x≥3a,由题意知3a≤1,即a≤. 【点睛】此题重点考查学生对不等式解法的理解，把握不等式的解法是解题的关键. 16．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解集； （2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解集． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 17．为了弄清废旧电池对环境的危害，小明借读了一本与此相关的500页的科普书，计划10天内读完．前5天因种种原因只读了100页，那么从第6天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 【答案】80页 【分析】设从第6天起平均每天读x页，根据前5天和后5天读的页数之和不少于500页列出不等式求解即可． 【详解】解：设从第6天起平均每天读x页， ， 解得． 答：从第6天起平均每天至少要读80页，才能按计划读完这本书. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，正确找出不等关系是解答本题的关键． 18．关于x的方程的解不小于6，求a的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可以得到关于a的不等式，解之可以得到a的取值范围． 【详解】解：可解得原方程的解为：， 由题意有：，所以有． 【点睛】本题考查一元 一次方程与一元一次不等式的综合应用，灵活求解 一元 一次方程与一元一次不等式是解题关键． 19．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），在数轴上表示见解析 【分析】（1）先按照移项、合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，进一步即可将不等式的解集在数轴上进行表示； （2）先按照去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的步骤求出不等式的解集，进一步即可将不等式的解集在数轴上进行表示． 【详解】解：（1）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 不等式的解集在数轴上表示如下： （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 20．已知关于的方程， (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最小整数解，可得，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵该方程的解满足， ∴， 解得：； （2）解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． ∵该方程的解是不等式的最小整数解， ∴， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（　　） A．103块 B．104块 C．105块 D．106块 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块， 550×60+（x﹣60）×500＞55000 解得，x＞104  ∴这批电话手表至少有105块 考点：一元一次不等式的应用 22．现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（　　） A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆 【答案】C 【详解】设安排甲种运输车x辆，根据题意可得： 5x+4（10-x）≥46， 解得x≥6， 所以至少安排甲种运输车6辆． 故选C． 二、填空题 23．不等式的最大整数解是 ． 【答案】5 【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再确定最大整数解即可． 【详解】解： ， 所以不等式的最大整数解是： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，及求解不等式在最大整数解，掌握以上知识是解题的关键． 24．若不等式，两边同除以，得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由不等式的基本性质知m-6＜0，据此可得答案． 【详解】解：若不等式，两边同除以，得， 则， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 三、解答题 25．某年级一位老师带部分学生去旅游，甲旅行社说：“如果这位老师买全票，则其余学生可享受五价优惠．”乙旅行社说：“包括这位老师在内全部按全票价的六折优惠．” （1）学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费一样多？ （2）根据学生人数讨论哪一旅行社更合算． 【答案】（1）4人；（2）见解析 【分析】（1）设学生人数为x人时，甲、乙两家旅行社收费一样多，全票价为1，根据甲、乙两家旅行社收费一样多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设学生人数为m人，全票价为1，则选择甲旅行社的费用为（1+0.5m），选择乙旅行社的费用为[0.6（m+1）]，分1+0.5m＜0.6（m+1），1+0.5m=0.6（m+1）及1+0.5m＞0.6（m+1）三种情况，求出m的取值范围（或m的值），此题得解． 【详解】解：（1）设学生人数为x人时，甲、乙两家旅行社收费一样多，全票价为1， 依题意得：1+0.5x=0.6（x+1）， 解得：x=4． 答：学生人数为4人时，甲、乙两家旅行社收费一样多． （2）设学生人数为m人，全票价为1，则选择甲旅行社的费用为（1+0.5m），选择乙旅行社的费用为0.6（m+1）． 当1+0.5m＜0.6（m+1）时，m＞4； 当1+0.5m=0.6（m+1）时，m=4； 当1+0.5m＞0.6（m+1）时，m＜4， 又∵m＞0， ∴0＜m＜4． 答：当人数多于0人少于4人时，选择乙旅行社合算；当人数等于4人时，选择两旅行社费用相同；当人数多于4人时，选择甲旅行社合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26．为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． （1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； （2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【答案】（1）38吨；（2）3个 【分析】（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活垃圾920吨列出方程求解即可； （2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7， 由题意得：10x+12（x+7）=920， 解得：x=38， 答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数； （2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y． 由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10 解得：y≥ ， ∵y为整数 ∴至少需要增设3个A型点位， 答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 【点睛】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元一次不等式 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01一元一次不等式的定义...................................................................................................................................................3 题型02求一元一次不等式的解集...............................................................................................................................................4 题型03求一元一次不等式的整数解...........................................................................................................................................6 题型04求一元一次不等式解的最值...........................................................................................................................................7 题型05解|x|≥a型的不等式.........................................................................................................................................................10 题型06列一元一次不等式............................................................................................................................................................13 题型07用一元一次不等式解决实际问题...................................................................................................................................15 题型08用一元一次不等式解决几何问题...................................................................................................................................17 题型09在数轴上表示不等式的解集...........................................................................................................................................22 分层练习........................................................................................................................................................................................25 夯实基础.........................................................................................................................................................................................25 能力提升........................................................................................................................................................................................36 知识点1．一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 知识点2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 知识点3．一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 知识点5．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型01一元一次不等式的定义 1．（21-22·广东湛江·期中）下列各式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 3．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型02求一元一次不等式的解集 4．（24-25八年级下·全国·阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·四川成都·期中）不等式的解集为 6．（2025八年级下·全国·专题练习）解不等式 (1)； (2) 题型03求一元一次不等式的整数解 7．（24-25八年级下·全国·期末）不等式的非负整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 8．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）不等式的正整数解是 ． 9．（23-24八年级下·广东佛山·期中）二元一次方程，若x的取值范围如图所示，求y的正整数值． 题型04求一元一次不等式解的最值 10．（20-21八年级下·重庆南岸·期中）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 11．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 12．（2023·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 题型05解|x|≥a型的不等式 13．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 14．（22-23八年级下·广东揭阳·期中）在平面直角坐标系中，，点，，若a，b满足．    (1)求点A，B的坐标； (2)如图1，连接，，，求的面积： (3)如图2，将线段平移到，点E在x轴上，点F在y轴上，点D在直线上，且点D的纵坐标为t，当满足时，求t的取值范围． 题型06列一元一次不等式 15．（23-24八年级下·福建三明·期中）下列由题意列出的不等关系中，错误的是（    ） A．“a不是负数”表示为； B．“m与4的差是非负数”表示为； C．“x不大于3”表示为； D．“代数式大于”表示为． 16．（21-22八年级下·广东清远·期末）“x的3倍与1的和不小于5“用不等式表示为 ． 17．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 题型07用一元一次不等式解决实际问题 18．（24-25八年级下·重庆·开学考试）推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙，收购单价为10元．已知运输和仓储中脐橙质量损失，为保证至少获得的利润，设销售单价为元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共80个，购买资金不超过4800元，若每个篮球70元，每个足球40元，则篮球最多可购买 个． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元． (1)求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系； (2)若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用． 题型08用一元一次不等式解决几何问题 21．（21-22八年级下·河南周口·期末）已知等腰三角形的周长是8，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 22．（22-23八年级·全国·假期作业）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，为直线上的一个动点，，则的最小值为 ． 23．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，过点与点的直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，点在直线上，横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)若的面积大于3，直接写出的取值范围． 题型09在数轴上表示不等式的解集 24．（24-25八年级下·全国·期末）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ． 26．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）下面是航航解不等式的过程： ，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来． 夯实基础 一、单选题 1．下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 3．下列数值中，不是不等式的解的是(　　) A． B． C． D． 4．某大型超市从生产基地购进一批水果,运输过程中质量损失10%.假设不计超市其他费用,如果超市要想获得至少20%的利润,那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高(　　) A． B． C． D． 5．不等式3x＋2≤17的正整数解的个数为（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．已知x，y，m满足，且y为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．在河北某市召开的出租汽车价格听证会上，物价局拟定了两套客运出租汽车运价调整方案．方案一：起步价调至7元/2公里，而后每公里1.6元；方案二：起步价调至8元/3公里，而后每公里1.8元．若某乘客乘坐出租车（路程多于3公里）时用方案一比较合算，则该乘客乘坐出租车的路程可能为（　　） A．7公里 B．5公里 C．4公里 D．公里 二、填空题 9．某航空公司对旅客乘机时所托运的行李有限额规定，每件托运行李的长、宽、高三边之和不得超过158cm，某厂家生产的行李箱的长为72cm，宽与高的比为5:3，则符合限额规定的行李箱的高的最大值为 cm. 10．若是关于的一元一次不等式，则 ． 11．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为 ． 12．当 时，代数式的值不小于． 13．关于的方程是一元一次方程，则该方程的解是 ． 14．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元．经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折，若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘 个． 三、解答题 15．对于x≥1的一切实数,不等式≥a都成立,试求a的取值范围. 16．解不等式： (1)； (2)． 17．为了弄清废旧电池对环境的危害，小明借读了一本与此相关的500页的科普书，计划10天内读完．前5天因种种原因只读了100页，那么从第6天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 18．关于x的方程的解不小于6，求a的取值范围． 19．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 20．已知关于的方程， (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值． 能力提升 一、单选题 21．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（　　） A．103块 B．104块 C．105块 D．106块 22．现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（　　） A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆 二、填空题 23．不等式的最大整数解是 ． 24．若不等式，两边同除以，得，则的取值范围为 ． 三、解答题 25．某年级一位老师带部分学生去旅游，甲旅行社说：“如果这位老师买全票，则其余学生可享受五价优惠．”乙旅行社说：“包括这位老师在内全部按全票价的六折优惠．” （1）学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费一样多？ （2）根据学生人数讨论哪一旅行社更合算． 26．为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． （1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； （2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$