课时达标检测(4)等差数列的性质及应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(四)　等差数列的性质及应用 学生用书P075 基础达标 　 一、单项选择题 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为 (　　) A.5　　　　B.6　　　　 C.8　　　　D.10 解析　由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,又因为a1+a9=10,即2a5=10,所以a5=5。 答案　A 2.数列{an}满足3+an=an+1且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是 (　　) A.-2 B.- C.2 D. 解析　因为an+1-an=3,所以{an}为等差数列,且d=3。a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3×(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2。 答案　C 3.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7= (　　) A.5 B.8 C.10 D.14 解析　由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=10,又a1=2,所以a7=8。 答案　B 4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于 (　　) A.8 B.4 C.6 D.12 解析　因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8。 答案　A 5.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有 (　　) A.a1+a101>0 B.a2+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 解析　根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,又因为a3+a99=2a51=0,故选C。 答案　C 6.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均输章》有如下问题:“今有五人分六钱,令前三人所得与后二人等,各人所得均增,问各得几何?”其意思是:“已知A,B,C,D,E五人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品,A,B,C三人所得钱数之和与D,E二人所得钱数之和相同,且A,B,C,D,E每人所得钱数依次成递增等差数列,问五个人各分得多少钱的物品?”在这个问题中,C分得物品的钱数是 (　　) A. B. C. D. 解析　设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1,a2,a3,a4,a5,则a1+a2+a3=a4+a5,a1+a2+a3+a4+a5=6=5a3,a3=。 答案　C 二、多项选择题 7.若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有 (　　) A.{an+an+1} B.{} C.{an+1-an} D.{2an} 解析　设等差数列{an}的公差为d。对于A,(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)≠常数,所以{}不是等差数列;对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为常数列,所以{an+1-an}为等差数列;对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列。 答案　ACD 8.已知等差数列{an}中,a1=3,公差为d(d∈N+),若2 023是该数列的一项,则公差d可能是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　因为2 023是该数列的一项,即2 023=3+(n-1)d,所以n=+1,因为d∈N+,所以d是2 020的约数,故选ACD。 答案　ACD 三、填空题 9.在等差数列{an}中,若+2a2a8+a6a10=16,则a4a6=　　　　。  解析　因为等差数列{an}中,+2a2a8+a6a10=16,所以+a2(a6+a10)+a6a10=16,所以(a2+a6)(a2+a10)=16,所以2a4·2a6=16,所以a4a6=4。 答案　4 10.已知等差数列{an}中,a1+a3+a8=,那么cos(a3+a5)=　　　　。  解析　在等差数列{an}中,由a1+a3+a8=,得a1+(a1+2d)+(a1+7d)=,所以3a1+9d=,即a1+3d=a4=,所以a3+a5=2a4=,cos(a3+a5)=cos=-。 答案　- 11.已知两个等差数列{an }:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组成数列{cn},则数列{cn}的通项公式cn=　　　　;若数列{an}和{bn}的项数均为100,则{cn}的项数是　　　　。  解析　由于数列{an}和{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,且公差为3×4=12,又c1=11,故cn=11+12(n-1)=12n-1。又a100=302,b100=399,由解得1≤n≤25.25(n∈N+),故{cn}的项数为25。 答案　12n-1　25 四、解答题 12.已知{an}是等差数列, (1)若a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值; (2)若a49=80,a59=100,求a79。 解　(1)因为{an}是等差数列, 所以a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8。 又因为a1-a4+a8-a12+a15=2, 所以a8=2,即a3+a13=2a8=2×2=4。 (2)因为{an}是等差数列,可设公差为d。 由a59=a49+10d,知10d=100-80, 解得d=2。 又因为a79=a59+20d, 所以a79=100+20×2=140。 13.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,且a11=-26,a51=54,求a14的值。你能知道该数列从第几项开始为正数吗? 解　由等差数列an=a1+(n-1)d列方程组解得 所以a14=-46+13×2=-20。 所以an=-46+(n-1)×2=2n-48。 令an>0,即2n-48>0,解得n>24。 所以从第25项开始,各项均为正数。 素养升级 14.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q= (　　) A.p+q B.0 C.-(p+q) D. 解析　解法一:设数列{an}的公差为d,由ap=q,aq=p,得得(p-q)d=q-p。因为p≠q,所以d=-1,所以a1-(p-1)=q,所以a1=p+q-1,所以ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1-(p+q-1)=0。故选B。 解法二:设数列{an}的公差为d。因为ap=aq+(p-q)d,所以q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d。因为p≠q,所以d=-1。所以ap+q=ap+[(p+q)-p]d=q-q=0。故选B。 答案　B 15.已知{an}是首项为a,公差为1的等差数列,数列{bn}满足bn=,若对任意的n∈N+,都有bn≥b8成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-8,-7) B.(-7,-6) C.(-8,-6) D.(-6,-5) 解析　因为对任意的n∈N+,都有bn≥b8成立,且bn=,所以≥。又数列{an}的公差为1,所以数列{an}为递增数列,所以即,解得-8<a<-7。 答案　A 16.某科技公司最新研发的VR眼镜原销售价为每台800元,在甲、乙两家电商平台均有销售。甲商家用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商家一律都按原价的75%销售。某游乐园需要购买一批此类眼镜,问去哪家商场买花费较少。 解　设某游乐园需购VR眼镜n台,在甲商家购买每台售价不低于440元,售价依台数n成等差数列。设该数列为{an}。 an=780+(n-1)(-20)=800-20n, 解不等式an≥440,即800-20n≥440,得n≤18。 当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元。 到乙商家购买,每台售价为800×75%=600(元)。 作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n)。 当n<10时,600n<(800-20n)n; 当n=10时,600n=(800-20n)n; 当10<n≤18时,(800-20n)n<600n; 当n>18时,440n<600n。 综上,当购买少于10台时到乙商家购买花费较少,当购买10台时到两商家购买花费相同,当购买多于10台时到甲商家购买花费较少。 学科网（北京）股份有限公司 $$