课时达标检测(10)等比数列前n项和的性质及应用(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

课时达标检测(十)　等比数列前n项和的性质及应用 学生用书P087 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5等于 (　　) A.1　　　　B.5　　　　C.　　　　D. 解析　因为S3=a1+a2+a3=3a3,所以a1+a2=2a3,化简可得1+q-2q2=0,解得q=1(舍去)或q=-,由等比数列的前n项和公式得S5==。故选D。 答案　D 2.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8等于 (　　) A.-30 B.40 C.40或-30 D.40或-50 解析　S12≠3S4,故q≠1。由等比数列的性质,知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则(S8-10)2=10×(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,又Sn>0,故S8=40。 答案　B 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6= (　　) A.31 B.32 C.63 D.64 解析　解法一:由等比数列的性质可得(S4-S2)2=S2(S6-S4),即144=3(S6-15),解得S6=63。 解法二:由等比数列的性质可得S4=S2+q2S2⇒15=3+3q2⇒q2=4,所以S6=S2+q2S4=3+4×15=63。 答案　C 4.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比和项数分别为 (　　) A.8,2 B.2,4 C.4,10 D.2,8 解析　设数列的公比为q,共有2n(n∈N+)项,分别为1,q,q2,q3,…,q2n-1,由题意结合等比数列前n项和公式可得解得即这个数列的公比为2,项数为8。故选D。 答案　D 5.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”。其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,则走的路程少于30里开始于 (　　) A.第三天 B.第四天 C.第五天 D.第六天 解析　设第一天走的路程为a1,依题意知此人每天走的路程构成公比为的等比数列,所以=378,解得a1=192,所以an=192n-1=384n。由an=384n<30,得2n>12.8,解得n≥4,故选B。 答案　B 6.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6等于 (　　) A.768 B.769 C.1 024 D.1 025 解析　当n≥1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1。所以该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍,即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列。又a2=3S1=3a1=3,所以an=所以当n=6时,a6=3×46-2=768。 答案　A 二、多项选择题 7.等比数列{an}中,已知前4项的和为1,前8项的和为17,则此等比数列的公比q为 (　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析　设等比数列{an}的前n项和为Sn。因为S4=1,S8=S4+q4·S4=1+q4=17,所以q=±2。 答案　AB 8.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 (　　) A.a1<0 B.q>1 C.a1>0 D.0<q<1 解析　因为Sn<0,所以a1<0。又因为数列{an}为递增的等比数列,所以an+1>an,且an<0,所以-an>-an+1,且|an|>|an+1|,所以q=∈(0,1)。故a1<0,0<q<1。故选AD。 答案　AD 三、填空题 9.若等比数列{an}的前n项和Sn=m·4n-1+t(其中m,t是常数),则=　　　　。  解析　a1=S1=m+t,a2=S2-S1=3m,a3=S3-S2=12m,由数列{an}是等比数列得=a1a3,即m=0(舍)或m=-4t,所以=-4。 答案　-4 10.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且a5=S5,则S2 024=　　　　。  解析　设等比数列{an}的公比为q。因为S5=a1+a2+a3+a4+a5=a5,所以a1+a2+a3+a4=0,即a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)=0,所以1+q=0,q=-1,所以等比数列{an}的相邻两项的和都是0,所以S2 024=0。 答案　0 11.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”。在数列{an}中,若a1=2,数列{an}的“差数列”的通项公式为2n,则S3=　　　　,数列{an}的前n项和Sn=　　　　。  解析　a1=2,a2-a1=2,所以a2=4,a3-a2=4,所以a3=8,所以S3=14。因为an+1-an=2n,所以当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n。因为a1=2满足上述通项公式,所以an=2n。所以Sn==2n+1-2。 答案　14　2n+1-2 四、解答题 12.已知数列{an}的通项公式为an=求数列{an}的前n项和Sn。 解　①当n为大于等于3的奇数时, Sn=[1+13+…+(6n-5)]+(42+44+…+4n-1) =·+ =+ =+。 当n=1时,S1=a1=1,上式同样成立。 ②当n为偶数时, Sn=[1+13+…+(6n-11)]+(42+44+…+4n-2+4n)=+。 综上,Sn= 13.已知数列{an},Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N+)。 (1)求证:数列为等比数列; (2)记Tn=S1+S2+…+Sn,求Tn的表达式。 解　(1)证明:因为3an=2Sn+n, 所以3an-1=2Sn-1+n-1(n≥2)。 两式相减,得3(an-an-1)=2an+1(n≥2), 所以an=3an-1+1(n≥2), 所以an+=3(n≥2)。 又因为3an=2Sn+n, 所以3a1=2a1+1,解得a1=1。 所以a1+=, 所以数列是以为首项,3为公比的等比数列。 (2)由(1)得an+=·3n-1=·3n, 所以an=·3n-=(3n-1), 所以Sn==-。 所以Tn=S1+S2+…+Sn =(32+33+…+3n+3n+1)--(1+2+…+n) =·-- =-。 素养升级 14.一个含有5项的等比数列,其中每一项都是小于100的正整数,这5项的和为121,如果S是数列中奇数项之和,则S=　　　　。  解析　由题意可得a1+a2+a3+a4+a5=a1(1+q+q2+q3+q4)=121,而121只有3个正约数,即1,11,121,则只有或 两种情况,又q≥1且q∈N,所以1+q+q2+q3+q4=11不成立,所以解得q=3。则这个等比数列为1,3,9,27,81,满足题意,所以S=1+9+81=91。 答案　91 15.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2019年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10%。 (1)以2019年为第一年,设第n年出口量为an吨,试求an的表达式; (2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2019年最多出口多少吨?(保留一位小数)参考数据:0.910≈0.35。 解　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a1=a,公比q=1-10%=0.9,所以an=a·0. (n≥1)。 (2)10年的出口总量S10==10a(1-0.910)。 因为S10≤80,所以10a(1-0.910)≤80, 即a≤, 所以a≤12.3。故2019年最多出口12.3吨。 学科网（北京）股份有限公司 $$