1.4.2平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示（1）教学设计-2024-2025学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

课 题 §1.4.2　平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示（1） 主 备 人 审 核 备课日期 2025年03月08日 课 型 新授课 教学目标 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 核心素养 数学运算、逻辑推理 教学重点 两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则 教学难点 向量共线的坐标表示 教学策略 与方法 启发引导、合作探究、归纳总结、抽象概括 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 创设情境 导入新课 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 问题1　如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为一组基.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 问题3　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 教师引导学生自主探究完成，并尝试让学生将自然语言与符号语言进行相互转化 从物理学中引入向量，一方面适应学生的学习规律，另一方面可以充分体现学科融合的特点。 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 探究新知 形成概念 一、平面向量的正交分解与坐标表示 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 2.标准正交基 平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.显然i＝(1，0)，j＝(0，1). 3.平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量v＝都可用从原点O出发的有向线段表示.原点O到E1(1，0)，E2(0，1)的向量e1＝，e2＝分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则v＝＝xe1＋ye2的坐标(x，y)视为v在这组基下的坐标，等于向量终点P(x，y)的坐标. 4.设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉＝90°，非零向量v的模|v|＝r且〈e1，v〉＝α，则v＝(rcos α，rsin α).  注意点： (1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同.二、向量线性运算的坐标表示 向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即a±b＝(x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2). (2)一个实数λ与向量a＝(x，y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa＝λ(x，y)＝(λx，λy). (3)有向线段的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝(x2－x1，y2－y1). 师生一起总结平面向量加、减法的坐标表示，定义及运算性质，重点解释正交分解是一组特殊的基底的分解形式。 旧知类比新知.引导学生认识到平面向量的坐标运算于实数的加减运算有互通之处，从而完成新旧知识的过渡 精讲点拨 迁移应用 例1　(课本P29习题1.4T2改编)如图，设{i，j}为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. 给出例题，学生尝试解答，教师纠错. 根据起点和终点坐标写向量坐标是通过向量减法运算得到的。 教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图 跟踪训练1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为一组基，若|a|＝，θ＝45°， 则向量a的坐标为(　　) A.(1， 1) B.(－1，－1) C.，) D.(－，－) 例2　(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标； (2)(课本例6)如图所示，已知▱ABCD的三个顶点为A(－1，3)，B(－2，1)，C(2，2)，求顶点D的坐标. 跟踪训练2　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值. 学生单独完成，教师及时点评。 巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正. 达标检测 评价反馈 课本26页 练习1、2、3 归纳总结 拓展升华 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量线性运算的坐标表示. 2.方法归纳：化归与转化、数形结合. 师生共同归纳总结本节所学知识和方法. 形成知识体系. 作业设计 课本29页习题1.4 2、3、4 板书设计 §1.4.1平面向量的正交分解与坐标表示（1） 1、平面向量的正交分解及坐标表示 2、平面向量线性运算的坐标表示 例1…… 例2 …… 教后反思 签 审 20 学科网（北京）股份有限公司 $$