1.4.1 向量分解及坐标表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

1．4　向量的分解与坐标表示 1．4．1　向量分解及坐标表示 [课标解读]　1．理解平面向量基本定理及其意义．2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 知识点一　平面向量基本定理 　设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数． (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是： 如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′． 我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标，记为v＝(x，y)． [点拨]　基也称作基底，作为基底的向量为非零的，且任何两个不共线的两个向量都可以作为基底．判定两个向量是否可以作为基底的方法：假设这两个向量共线，若存在λ的关系，那么两个向量共线不能作为基底，反之假设不成立，这两个向量可以作为基底． 知识点二　平面向量的正交分解与坐标表示 　设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉＝90°，非零向量v的模|v|＝r且〈e1，v〉＝α，则v＝(rcos α，rsin α)． [点拨]　标准正交基{i，j}满足i⊥j，|i|＝|j|＝1． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基．(　　) (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　) (3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (4)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量不能作为平面向量的基的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 ABC　[对于A，e1－e2＝－(e2－e1)，即e1－e2与e2－e1共线，不能作为基，A错误；对于B，2e1－e2＝2(e1－e2)，即2e1－e2与e1－e2共线，不能作为基，B错误；对于C，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，即2e2－3e1与6e1－4e2共线，不能作为基，C错误；而D中两个向量不共线，可作为基．故选ABC．] 3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以{a，b}为基表示＝(　　) A．(a－b) B．(a＋b) C．(b－a) D．b＋a B　 [如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝(＋)＝(a＋b)．] 4．如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________． 解析：　由题意，得＝(＋)，又＝＝－，所以＝(－＋2)＝－＋．又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝． 答案：　 学生用书第14页 探究点一　对平面向量基本定理的理解 若e1，e2是平面α内所有向量的一组基，那么下列命题正确的是(　　) A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 A　[由基的定义可知，e1和e2是平面上不共线的两个向量，所以若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0，故A正确；平面内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，注意是平面内而不是空间，B，D错误；对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在平面之内，故C错误；选A．] 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2．　　 即时练1．(多选)设e1，e2是平面内所有向量的一个基，则下列四组向量中，可以作为基的是(　　 ) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．6e1＋3e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 AD　[对于A，e1＋e2和e1－e2不共线，可以作为一个基；对于B，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， 所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，不能作为基；对于C，6e1＋3e2＝3(