1.4.2 平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时 平面向量的正交分解与坐标表示、向量线性运算的坐标表示 第1章　§1.4　向量的分解与坐标表示 学习目标 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.掌握向量共线的坐标表示. 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 导语 内容索引 一、平面向量的正交分解与坐标表示 二、向量线性运算的坐标表示 课时对点练 三、向量共线的坐标表示 随堂演练 一 平面向量的正交分解与坐标表示 问题1　如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. 问题2　如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为一组基.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫作把向量正交分解. 2.标准正交基 平面上相互垂直的 组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.显然i＝(1,0)，j＝(0,1). 互相垂直 单位向量 知识梳理 8 3.平面向量的坐标表示 4.设单位向量e1，e2的夹角〈e1，e2〉＝90°，非零向量v的模|v|＝r且〈e1，v〉＝α，则v＝ _ . (rcos α，rsin α) 知识梳理 9 注意点： (1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识梳理 10 例1　如图，设{i，j}为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. 由图可知 a＝2i＋2j＝(2,2)； b＝－2i＋3j＝(－2,3)； c＝－3i－2j＝(－3，－2)； d＝i－2j＝(1，－2). 11 求向量a的坐标的步骤 第一步：取平面内的任意一组标准正交基{i，j}； 第二步：分别求向量a在基{i，j}方向上的分量x＝|a|cos θ，y＝|a|sin θ，其中θ为a与i的夹角； 第三步：写向量a的坐标，即a＝(|a|cos θ，|a|sin θ). 反思感悟 12 √ 13 二 向量线性运算的坐标表示 问题3　已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示　a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题4　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求　 的坐标？ 向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的 ，即a±b＝(x1，y1)±(x2，y2)＝ . (2)一个实数λ与向量a＝(x，y)的积的坐标等于这个数 向量相应的坐标，即λa＝λ(x，y)＝ . (3)有向线段的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量 　 的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即　　＝ . 和(或差) (x1±x2，y1±y2) 乘以 (λx，λy) (x2－x1，y2－y1) 知识梳理 17 例2　(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标； a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)， 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11). 18 19 方法一　由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 20 则x1＝0，y1＝20； 所以M(0,20)，N(9,2)， 方法二　设点O为坐标原点， 21 即点M(0,20)，N(9,2)， 22 平面向量坐标运算的技巧 (1)在进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系. (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算. (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用. 反思感悟 23 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8). 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). 24 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值. ∴实数m的值为－1，n的值为－1. 25 三 向量共线的坐标表示 问题5　已知向量a，b，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb， 27 设P(x，y)，则(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)， 28 平面向量平行(共线)的坐标表示 (x1，y1)∥(x2，y2)⇔ _. x1y2－x2y1＝0 知识梳理 29 例3　(1)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且　 ＝2，求点G的坐标. 30 ∵D是AB的中点， 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 31 ∴A，B，C三点共线. 32 反思感悟 33 (6，－9) 即点P的坐标为(6，－9). 34 1.知识清单： (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量线性运算的坐标表示. (3)两个向量共线的坐标表示. 2.方法归纳：化归与转化、数形结合. 3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1.下列各组向量中，不共线的是 A.e1＝(2,2)，e2＝(1,1) B.e1＝(1，－2)，e2＝(4，－8) C.e1＝(1,0)，e2＝(0，－1) D.e1＝(1，－2)，e2＝ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 对于A，∵2×1－2×1＝0， ∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于B，∵1×(－8)－(－2)×4＝0， ∴e1∥e2，e1，e2共线； 对于C，∵1×(－1)－0×0＝－1≠0， ∴e1，e2不共线； ∴e1∥e2，e1，e2共线. 2.已知a－ b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于 A.(－2，－2) B.(2,2) C.(－2,2) D.(2，－2) 1 2 3 4 √ 所以有(2a－b)＋(a＋b)＝(2,4)＋(4，－10)＝(6，－6)，即3a＝(6，－6)，所以a＝(2，－2). 1 2 3 4 (1,4) 1 2 3 4 1 2 3 4 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0， 课时对点练 五 1.已知{i，j}为一组标准正交基，a＝i＋j，b＝i－j，则　 　　在基{i，j}下的坐标为 A.(－1,2) B.(1，－2) C.(－1，－2) D.(1,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.在平面直角坐标系中，|a|＝4，且a如图所示，则a的 坐标为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下面四个说法中正确的有 A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 √ √ √ 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于______. 9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，求m的值，并判断ma＋4b与a－2b是同向还是反向？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ma＋4b＝(2m,3m)＋(－4,8)＝(2m－4,3m＋8)， a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)， 因为ma＋4b与a－2b共线， 所以4(3m＋8)－(－1)×(2m－4)＝0，得m＝－2. 当m＝－2时，ma＋4b＝(－8,2)， 所以ma＋4b＝－2(a－2b)， 所以ma＋4b与a－2b方向相反. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x，y)， 解得x＝－1，y＝－2， ∴P(－1，－2). (2)若点P在线段BA的延长线上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6). 综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以a，b的交点为原点可建立如图所示的平面直角坐标系， 则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)， ∵c＝λa＋μb， 即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{e1，e2}为一组标准正交基， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设A，B，C三点共线， ∴只要m≠1就符合要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－6,21) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得2a＋b＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)， 则直线AC与BD的交点P的坐标为_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2， ∴－2≤cos2α＋2sin α≤2， ∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量v＝都可用从原点O出发的有向线段表示.原点O到E1(1,0)，E2(0,1)的向量e1＝，e2＝分别是x轴正方向和y轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则v＝＝xe1＋ye2的坐标(x，y)视为v在这组基下的坐标，等于向量终点P(x，y)的坐标. 跟踪训练1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为一组基，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为 A.(1, 1) B.(－1，－1) C.(，) D.(－，－) 由题意，得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝i＋j，所以a＝(1,1).   提示　＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1).     (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标. 则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)， 可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)， ＝2＝2(6,3)＝(12,6). ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，则x2＝9，y2＝2， ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18). 则由＝3，＝2， 可得－＝3(－)， 所以＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， －＝2(－)， 从而＝3－2，＝2－， ＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)， 故＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18). 跟踪训练2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b－3c； ∴解得 则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 问题6　若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且＝，则点P的坐标如何表示？ 提示　因为＝，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 所以即 所以点P的坐标为. 即点G的坐标为. ∴点D的坐标为， ∵＝2，∴＝2，  x＝＝，y＝＝， ∴∥，且，有公共点A， (2)已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线.  ＝＝，＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－×8＝0， 用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比. 跟踪训练3　已知点A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||＝2||，则点P的坐标为__________. 设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2， 由定比分点坐标公式可知 对于D，∵1×1－(－2)×＝0， 因为a－b＝(1,2)，所以2a－b＝(2,4)，又a＋b＝(4，－10)， ∴在基{e1，e2}下的坐标为(1,4).  ＝＋＝3e1－e2－2e1＋5e2＝e1＋4e2， 3.设{e1，e2}为平面内的一组标准正交基，已知＝3e1－e2，＝－2e1＋5e2，则向量在基{e1，e2}下的坐标为________. 4.已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C 共线，则实数k＝________. － 解得k＝－或k＝1， 由题意可知∥， 当k＝1时，A，B重合，故舍去，所以k＝－.  ＝－＝(1－k,2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)， a－b a－b＝i＋j－i＋j＝－i＋2j，所以a－b在基{i，j}下的坐标为(－1,2). 2.已知＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是 A. B. C.(－8,1) D.(8,1)  ＝－＝(－8,1)， ∴＝. A.(2，2) B.(2，－2) C.(－2,2) D.(2，－2) 设a＝(x，y)，因为x＝|a|·cos(－30°)＝4×＝2，  y＝|a|·sin(－30°)＝4×＝－2. 所以a的坐标为 (2，－2). 5.向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为 A.－2 B.11 C.－2或11 D.2或11  ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)， 由题意知∥， 6.在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1，2)，则＋等于 A.(－2,4) B.(4,6) C.(－6，－2) D.(－1,9) 所以＝(2,3). 又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)， 所以＋＝(－2,4). 7.若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则x＝______. ∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，＝a， ∴解得x＝1. 由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝. 10.已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标. (1)若点P在线段AB上，则＝， ∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y). 则＝－， ∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y). 11.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则的值为 A.4 B. C.－4 D.－ ∴解得∴＝＝4. 12.(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能够构成三角形，则实数m可以是 A.－2 　 　　B. 　　　C.1 　　　D.－1 ∴＝(1，－3)＝e1－3e2， ＝(2，－1)＝2e1－e2， ＝(m＋1，m－2)＝(m＋1)e1＋(m－2)e2， ∴＝－＝e1＋2e2，  ＝－＝me1＋(m＋1)e2， ∴＝λ， ∴∴ 13.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝__________. －＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)， 因为点Q是AC的中点，所以＝， 所以＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7). 因为＝2， 所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6,21). 14.设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，若A，B，C三 点共线，则＋的最小值为_________. 由题意，得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4). 又∥，所以－4(－a＋2)＝－2(b＋2)， 所以＋＝(2a＋b)·＝≥＝， 当且仅当b＝a时等号成立. 由已知得，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0). 由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ). 又因为＝－＝(5λ－4,4λ)， 由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得λ＝， 所以＝＝，所以P的坐标为. 16.设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围. 由a＝2b，知 ∴ ∴≤m≤2， ∵＝＝2－，∴－6≤2－≤1， ∴的取值范围为[－6,1]. $$