9.5 三角形的中位线-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(苏科版)

数 学 八年级下册 苏科版 1 2 第9章 中心对称图形——平行四边形 3 9.5 三角形的中位线 4 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 基础 知识点1 三角形中位线定理 （第1题图） 1.如图,在中，已知，分别为边， 的中点，连接 ，若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】，分别为边，的中点，是 的中位 线，， .故选A. 思路点拨 根据由三角形中位线定理所得的平行关系进行角度计算即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6 2.如图，点，分别是的边，的中点，，则 的长为( ) D （第2题图） A.2 B. C.3 D. 【解析】 点D,分别是的边,的中点，是 的中位线， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识点2 三角形中位线定理的应用 （第3题图） 3.【2024江苏南京鼓楼区模拟】如图，是的中位线， 平分交于点，若，，则边 的长为 ( ) B A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】是的中位线，， ， ，，平分 ， ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 （第4题图） 4.【2024陕西西安雁塔区模拟】如图，在四边形 中， ， ， ，，， 分别是 ，，的中点.若，则 的周长是( ) B A.10 B.12 C.16 D.18 【解析】,分别是，的中点，， ， ，， .同理可得， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长是12. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第5题图） 5.【2023江苏宿迁质检】如图，将 沿着它的中位线 对折，点落在处.若 ， ，则 的度数是______. 【解析】 , , 是 的中位线，, , , , ,故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 6.如图，中，，分别是，的中点，是 延长线上的一点，且 .若，，则 的长为___. 8 （第6题图） 【解析】在中，为的中点，是斜边上的中线. ， ,分别是,的中点，是 的中位线. ，, .故答案为8. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 7.【2023江苏南京栖霞区质检】如图，在中，点， 分别 是，的中点，点是延长线上一点，且 ，连接 ,，.若 ，， . （1）求证： ； 【证明】 点，分别是，的中点，为 的中位 线，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （2）求四边形 的周长. 【解】 点是的中点，，， .由勾股定理 得为的中位线， .又 ， 四边形为平行四边形， 四边形 的周长为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 8.【2024云南中考】如图，在四边形中，点,,, 分 别是各边的中点，且，，四边形 是矩形. （1）求证：四边形 是菱形； 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【证明】如图，连接，交于点 . ， ， 四边形 是平行四边形. 四边形是矩形， . ，分别是，的中点， . ，分别是，的中点， ， ， 四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求 的长. 【解】,分别是,的中点，,分别是, 的中点， , . 矩形的周长为22，， . ， . ， ， ， 即 , ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 （第1题图） 1.【2023江苏苏州质检，中】如图，在中，平分 ， 于点，点是的中点.若，，则 的长 为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 【解析】如图，延长，交于点平分， ， ，， ， ， 点是 的 中点，，为的中位线， .故选A. 添加辅助线 由“平分， ”联想到等腰三角形的“三线合一”,而图形中与之 相关的三角形并不完整,于是考虑把相关的三角形补充完整,分别延长， 交于 点 ，则可打开问题突破口. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （第2题图） 2.［中］如图，的周长为 ，以它各边的中点为顶点作 ，再以各边的中点为顶点作， ,如此 下去，则 的周长为( ) A A. B. C. D. 【解析】 点，，分别为，， 的中点， ，，，的周长为 ，同理 的周长为， ，则的周长为 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 （第3题图） 3.【2024江苏盐城东台期中，中】在 中， ，，，点是边上一点.点为 边上的动点（不与点重合），点，分别为， 的中 点，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解析】连接 ，， ， 点D，分别为，的中点，， 当 最小时，最小.当时， 取最小值， ，，,即 的最小值为.，，， . 思路分析 连接，由三角形中位线定理得，当时，最小，则 最 小，结合 ，即可得到答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （第4题图） 4.【2023江苏南京鼓楼区调研，中】如图，点是 的对 角线的中点，点是的中点，连接，.若 , ，，则 的周长为_______. 【解析】在中， , 四边形是矩形. 是的中点,.连接,则是 的 中点，是的中位线，, .在 中,由勾股定理，得,则的周长为 . 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （第5题图） 5.［中］如图，的周长为28，点，都在边 上， 的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于 ， 垂足为.若，则 的长是___. 4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 【解析】的周长是28，， 的 平分线垂直于， ，.在和 中，，， .同理可证 ， ， ， ， 是的中位线， .故答案为4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 关键点拨 解本题的关键是当三角形的角平分线同时也是该三角形的高线时，则很容易通过 “ ”证三角形全等，从而证出该三角形为等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 6.【2023辽宁本溪模拟，中】如图，在中， ， ，点 ，分别在边，上，，，取，的中点， ，则线段 的长为_____. 2.5 （第6题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解析】如图，作，连接并延长交于 ，连接 ， ， ，是 的中点， . 在和中， ，，.在 中， ，，是 的中点， ，， 故答案为2.5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 7.【2023江苏苏州工业园区一模，较难】如图，在中， ， ，,将绕点旋转得，连接，分别取， 的中 点,，连接，,则 的取值范围是___________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 【解析】如图，取的中点，连接， ， ，， .由旋转的性质可知, ，， 点,, 分别 是,,的中点，是的中位线，是 的中位线， ，.当点,, 不共线时， ，即.当点在线段 上时， ，当点在线段上时， .综 上所述，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 关键点拨 利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质可得 ， ，，利用中位线的性质可得， ，进而可 求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 刷素养 走向重高 8.核心素养 推理能力［较难］在中，，为的中点， 为线段 上的一点. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 （1）如图（1），若， ，，，求 的长； 【解】取的中点，连接，如图（1）.为 的中点， 为的中位线，,, , ， . 在中， . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）如图（2），若，且为的中点，求证： ； 图（2） 【证明】连接，取中点，连接， ,如图（2）. 为的中点，为的中点，且 ， 且, ， . 又，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 （3）若 ，试探究，， 之间的数量关系，并证明. 图（3） 【解】 . 证明：在上截取,使得，连接，作于 ， 如图（3）.∵AE=EM，，为 的中位线， ， ， ，， .又 , ，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 $$