9.5三角形的中位线　解答专项练习题　2024-2025学年苏科版八年级数学下册

2024-2025学年苏科版八年级数学下册《9.5三角形的中位线》解答专项练习题（附答案） 1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点． （1）求证：DE∥AC； （2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长． 2．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 3．如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且BD是△ABC的角平分线．求证：BE＝AF． 4．△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG． 5．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由． 6．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长． 7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N． 求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度． 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN． 9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O． （1）试说明AF与DE互相平分； （2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长． 10．（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有　 　． （2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝50°，∠BCD＝40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB＝4，CD＝6，求EF的长． 11．我们给出如下定义：若一个四边形的有一组对边相等，另一组对边不相等，则称这个四边形为等对边四边形． （1）写出你所学过的特殊四边形中是等对边四边形的一种图形的名称； （2）请你探究：等对边四边形另一组对边中点的连线段与等对边中一条线段长度的大小关系，并证明你的结论．（写出已知、求证与证明） 12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明． 13．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：AE＝AF； （2）求证：BE＝（AB+AC）． 14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点F在AC上，AF＝FC，AD与BF交于点E．求证：点E是AD的中点． 15．在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E． （1）求证：AE＝DE； （2）若AB＝8，求线段DE的长． 16．如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明． 17．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME． （1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME． 18．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． （1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么． （2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？ （3）在（2）的条件下，若EF＝2，求四边形ABCD的面积． 19．如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）； （2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由． 20．已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N． （1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）； （2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 参考答案 1．（1）证明：延长BD交AC于H， 在△ADB和△ADH中， ， ∴△ADB≌△ADH， ∴BD＝HD，又E为BC的中点． ∴DE∥AC； （2）解：∵△ADB≌△ADH， ∴AH＝AB＝4， ∴CH＝AC﹣AH＝2， ∵BD＝HD，又E为BC的中点， ∴DE＝CH＝1． 2．解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD＝＝2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DH＝DC＝， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝2． 3．证明：连接DE， ∵点D、E、F分别是AC、BC、AB中点． ∴DE∥AB，EF∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AF＝DE， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴BE＝AF． 4．证明：连接DE，FG， ∵BD，CE是△ABC的中线， ∴D，E是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC， 同理：FG∥BC，FG＝BC， ∴DE∥FG，DE＝FG， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴EF∥DG，EF＝DG． 5．解：△PMN是等腰三角形． 理由如下： ∵点P是BD的中点，点M是CD的中点， ∴PM＝BC， 同理：PN＝AD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形． 6．解：在△AGF和△ACF中， ， ∴△AGF≌△ACF（ASA）， ∴AG＝AC＝6，GF＝CF， 则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2． 又∵BE＝CE， ∴EF是△BCG的中位线， ∴EF＝BG＝1． 7．（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH， ∵E，H分别是AD，BD的中点， ∴EH∥AB，EH＝AB， ∴∠BME＝∠HEF， ∵F，H分别是BC，BD的中点， ∴FH∥CD，FH＝CD， ∴∠CNE＝∠HFE， ∵AB＝CD ∴HE＝FH， ∴∠HEF＝∠HFE ∴∠BME＝∠CNE； （2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC， ∴∠HFE＝∠FEC＝45°， ∵AB＝CD＝2， ∴HF＝HE＝1， ∴∠HEF＝∠HFE＝45°， ∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°， ∴． 8．证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG， ∵M、N分别为AF、BE的中点， ∴NG＝AE，NG∥AE，MG＝BF，MG∥BF， ∵CE＝CF，∠C＝90°， ∴AE＝BF，∠MGN＝∠C＝90°， ∴MG＝NG， ∴△MNG是等腰直角三角形， ∴NG＝MN， ∴AE＝2NG＝×2MN＝MN， 即AE＝MN． 9．解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB且EF＝AB． 又AB＝2AD，即AD＝AB， ∴AD∥EF，AD＝EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AF与DE互相平分； （2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12， ∴由勾股定理得 AC＝＝＝4 又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF， ∴OA＝AC＝． ∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝， ∴由勾股定理得 DO＝＝＝． 10．解：（1）在△ABC中，DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， 故答案为：DE∥BC，DE＝BC； （2）取BC的中点H，连接EH、FH， ∵点E为BD的中点，点H为BC的中点， ∴EH＝CD＝3，EH∥CD， ∴∠EHB＝∠BCD＝40°， 同理，FH＝AB＝2，FH∥AB， ∴∠FHC＝∠ABC＝50°， ∴∠EHF＝90°， 由勾股定理得，EF＝＝． 11．解：（1）所学过的特殊四边形中是等对边四边形的一种图形的名称：等腰梯形； （2）另一组对边中点的连线段小于等对边中一条线段长度； 已知：四边形ABCD，AB＝CD，点E，F分别是AD，BC的中点， 求证：EF＜AB， 证明：连接AC，取AC的中点G，连接EG，FG， ∵点E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE＝DE，BF＝CF， ∴EG＝CD，GF＝AB， ∵AB＝CD， ∴GE+GF＝AB＝CD， 在△EFG中，EG+FG＞EF， ∴AB＞EF． 12．解：四边形BCFE是菱形， 理由：∵D．E为AB，AC中点 ∴DE为△ABC的中位线，DE＝BC， ∴DE∥BC， 即EF∥BC， ∵EF＝BC， ∴四边形BCEF为平行四边形， ∵EF＝2DE，BE＝2DE， ∴EF＝BE， ∴四边形BCFE为菱形． 13．证明：（1）∵DA平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD∥EM， ∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF． （2）作CG∥EM，交BA的延长线于G． ∵EF∥CG， ∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠G＝∠ACG， ∴AG＝AC， ∵EM∥CG， ∴＝，∵BM＝CM， ∴BE＝EG， ∴BE＝BG＝（BA+AG）＝（AB+AC）． 14．证明：取CF得中点M，连接DM， ∵AF＝FC， ∴AF＝FM＝CM， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴DM是△BFC的中位线， ∴DM∥BF， ∵AF＝FM， ∴AE＝DE， 即点E是AD的中点． 15．解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC， ∴∠EAD＝∠CAD，∠EDA＝∠CAD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴AE＝DE； （2）由（1）知，∠EAD＝∠EDA． ∵BD⊥AD， ∴∠EBD+∠EAD＝∠BDE+∠EDA ∴∠EBD＝∠BDE， ∴DE＝BE． 又由（1）知，DE＝BE， ∴DE＝AB＝×8＝4． 16．解：判断：△AGD是直角三角形． 证明：连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE， ∵F是AD的中点， ∴HF∥AB，HF＝AB， ∴∠1＝∠3， 同理，HE∥CD，HE＝CD， ∴∠2＝∠EFC， ∵AB＝CD， ∴HF＝HE， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠EFC， ∵∠EFC＝60°， ∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°， ∴△AGF是等边三角形， ∴AF＝FG， ∵AF＝FD， ∴GF＝FD， ∴∠FGD＝∠FDG＝30°， ∴∠AGD＝90°， 即△AGD是直角三角形． 17．（1）证法一： 如答图1a，延长AB交CF于点D， 则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD， ∴点B为线段AD的中点， 又∵点M为线段AF的中点， ∴BM为△ADF的中位线， ∴BM∥CF． 证法二： 如答图1b，延长BM交EF于D， ∵∠ABC＝∠CEF＝90°， ∴AB⊥CE，EF⊥CE， ∴AB∥EF， ∴∠BAM＝∠DFM， ∵M是AF的中点， ∴AM＝MF， 在△ABM和△FDM中， ， ∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB＝DF， ∵BE＝CE﹣BC，DE＝EF﹣DF， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠EBM＝45°， ∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°， ∴∠EBM＝∠ECF， ∴MB∥CF； （2）解法一： 如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝a， ∴点B为AD中点，又点M为AF中点， ∴BM＝DF． 分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝a， ∴点E为FG中点，又点M为AF中点， ∴ME＝AG． ∵CG＝CF＝a，CA＝CD＝a， ∴AG＝DF＝a， ∴BM＝ME＝×a＝a． 解法二：如答图1b． ∵CB＝a，CE＝2a， ∴BE＝CE﹣CB＝2a﹣a＝a， ∵△ABM≌△FDM， ∴BM＝DM， 又∵△BED是等腰直角三角形， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BM＝ME＝BE＝a； （3）证法一： 如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝BD，AC＝CD， ∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF． 延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE＝EF＝EG，CF＝CG， ∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG． 在△ACG与△DCF中， ， ∴△ACG≌△DCF（SAS）， ∴DF＝AG， ∴BM＝ME． 证法二： 如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE， ∵∠BCE＝45°， ∴∠ACD＝45°×2+45°＝135° ∴∠BAC+∠ACF＝45°+135°＝180°， ∴AB∥CF， ∴∠BAM＝∠DFM， ∵M是AF的中点， ∴AM＝FM， 在△ABM和△FDM中， ， ∴△ABM≌△FDM（ASA）， ∴AB＝DF，BM＝DM， ∴AB＝BC＝DF， 在△BCE和△DFE中， ， ∴△BCE≌△DFE（SAS）， ∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠DEF+∠CED＝∠CEF＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 又∵BM＝DM， ∴BM＝ME＝BD， 故BM＝ME． 18．解：（1）连接四边形的对角线， ∵E是AB的中点，H是AD的中点， ∴EH∥BD，EH＝BD ∵F是BC的中点，G是CD的中点 ∴GF∥BD，GF＝BD ∴GFEH， ∴四边形EFGH是平行四边形． （2）若加AC＝BD且AC⊥BD，则四边形EFGH会是正方形 在（1）的条件下，∵AC＝BD ∴EF＝FG＝GH＝HE ∴四边形EFGH是菱形． 又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC ∴∠HEF＝90° ∴四边形EFGH是正方形 （3）在（2）的条件下若EF＝2，则AC＝BD＝4且BD⊥AC，若四边形对角线垂直的话，四边形的面积可以是对角线乘积的一半． 则×4×4＝8． 故四边形ABCD的面积为8． 19．（1）证明：如图1，连接AC， ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线， ∴EF∥AC，；HG∥AC，． ∴EFGH， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）解：四边形EFGH均为平行四边形． 证明（以图2为例）：连接AC． 在△BAC中，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，； 在△DAC中，∵G、H分别为AD、CD的中点，∴HG∥AC，． ∴EF平行且等于GH． ∴四边形EFGH是平行四边形； 20．解：（1）图1：∠AMF＝∠ENB； 图2：∠AMF＝∠ENB； 图3：∠AMF+∠ENB＝180°． （2）证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF． ∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF＝AD， ∴∠AMF＝∠HFE， 同理，HE∥CB，HE＝CB， ∴∠ENB＝∠HEF． ∵AD＝BC， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠ENB＝∠AMF． 如图3：取AC的中点H，连接HE、HF． ∵F是DC的中点，H是AC的中点， ∴HF∥AD，HF＝AD， ∴∠AMF+∠HFE＝180°， 同理，HE∥CB，HE＝CB， ∴∠ENB＝∠HEF． ∵AD＝BC， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠AMF+∠ENB＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $$