精品解析：2025年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考一模数学试题

2025届九年级第三次质量调研检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（ ） A. B. C. D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. 60 D. 6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 下列采用的调查方式中，合理的是（ ） A. 对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查方式 B. 统计湖南师大附中七年级一班学生视力情况，采用抽样调查 C. 检查神舟二十号飞船的各零部件，采用抽样调查 D. 了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查 9. 如图，矩形的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则k的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. 10. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分．） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 因式分解：______． 13. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为________． 14. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是_____________． 15. 如图，点在上，，则_____________． 16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字__________． 三、解答题：（共72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算：． 18. 解不等式组并写出它的非负整数解． 19. 小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． （1）请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； （2）若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 20. 为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查的样本容量为____________，并补全频数分布直方图； （2）抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为____________； （3）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数． 21. 如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 22. 北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． 23. 如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24. 如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． （1）求的度数； （2）填空： ①__________，②__________，③__________； （3）记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 25. 定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． （1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； （2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； （3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届九年级第三次质量调研检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负表示相反意义的量是关键． 根据低于正常体温记作，则高于用正数，由此即可求解． 【详解】解：∵低于正常体温记作， ∴高于正常体温应该记作， 故选：B ． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方法则分别判断各个选项即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. 60 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据圆锥侧面展开式扇形，由扇形面积的计算方法“扇形弧长扇形半径”即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为， ∴底面圆的周长为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为， ∴扇形面积， 故选：B ． 6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 立柱根部与圭表的冬至线的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 7. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数y=−2x+3中的k=−2<0，b=3>0， ∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 8. 下列采用的调查方式中，合理的是（ ） A. 对全国所有中小学生进行健康调查，采用全面调查方式 B. 统计湖南师大附中七年级一班学生视力情况，采用抽样调查 C. 检查神舟二十号飞船的各零部件，采用抽样调查 D. 了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可． 【详解】解：A、对全国所有中小学生进行健康调查，范围广，不易调查，应采用抽样调查，本选项不符合题意； B、统计湖南师大附中七年级一班学生视力情况，人数较少，无需抽样，应采用全面调查，本选项不符合题意； C、检查神舟二十号飞船的各零部件，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，本选项不符合题意； D、了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，具有破坏性，应采用抽样调查，本选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，矩形的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则k的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G，证四边形DGOF是矩形，△AHE≌△FOE（AAS），△AHP≌△DGP（AAS），利用矩形与全等三角形的性质求出DG、OG长，得出点D坐标，再把D坐标代入求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AH⊥x轴于H，过点D作DG⊥x轴于G， ∵点和点， ∴OE=1，OF=1， ∵DG⊥x轴， ∴DGy轴，∠DGO=90°， ∵DFx轴， ∴四边形DGOF是矩形， ∴DG=OF=1， ∵AH⊥x轴， ∴∠AHE=90°， ∴∠AHE=∠EOF=90°， ∵∠AEH=∠OEF，AE=EF， ∴△AHE≌△FOE（AAS）， ∴AH=OF=1，EH=OE=1， ∵OE=OF=1， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OEF=45°， ∴∠HAE=∠AEH=∠OEF=45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAH=45°， ∴∠APE=∠DAH=45°， ∴PH=AH=1， ∵∠APH=∠DPG，∠AHP=∠DGP=90°，DG=AH=1， ∴△AHP≌△DGP（AAS）， ∴PG=HP=1， ∴OG=OE+EH+HP+PG=4， ∵点D在第二象限， ∴D(-4,1)， 把D(-4,1)代入，则k=-4， 故选：C． 【点睛】本题考查求反比例函数点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，矩形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，正切函数等；由正方形的性质及相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，由可判定，由全等三角形的性质得，由正切函数的定义，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：四边形，和都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分．） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取ax，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 13. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为________． 【答案】6.3 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可。 【详解】根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 故答案为：6.3 14. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是_____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的定义是解题的关键．由题意得到是的垂直平分线，根据求出，即可得到，求出，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：是的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，点在上，，则_____________． 【答案】##102度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据题意得到，再根据三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ， ． 故答案为：． 16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了图形和数字类规律探索，解题的关键是理解题意． 根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4，黑1，黑2，黑3，黑4的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， ∴白1摆在了第一行中的位置， ∴黑1摆在了第一行中的位置， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白2， 若第二行中为白2，则第二行中只能是黑1和黑2，而第一行中为黑1，矛盾， ∴第一行中为白2， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3， 若第一行中为白3，则第一行中只能是黑2和黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白3， ∴第二行中分别为黑2和黑3， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白4， 若第一行中为白4，则只能是黑3和黑4，与第二行中为黑3矛盾， ∴第二行中为白4， ∴第二行中为黑4， 故答案为：4． 三、解答题：（共72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为0，1． 19. 小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． （1）请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； （2）若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】（1） 解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）灯泡离地面的高度为 【解析】 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 20. 为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查的样本容量为____________，并补全频数分布直方图； （2）抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为____________； （3）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数． 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如下： （2）分 （3）人 【解析】 【分析】（1）由频数分布直方图可知，组人数为人，由扇形统计图可知，组人数占比为，由此即可求出本次随机抽查的学生总人数；由扇形统计图可知，组人数占比为，用总人数乘以组人数占比即可求出组人数，进而可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知：组人数为人， 由扇形统计图可知：组人数占比为， 本次随机抽查的学生总人数为：（人）， 故答案为：， 由扇形统计图可知：组人数占比为， 组人数为：（人）， 【小问2详解】 解：抽取的七年级部分同学排在第名和第名的成绩分别为和， 抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为：（分）， 故答案为：分； 【小问3详解】 解：（人）， 估计该校七年级名学生中获得一等奖的学生约为人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，由扇形统计图求总量，求中位数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数的概念及频数分布直方图和扇形统计图是解题的关键． 21. 如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2） 为等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数关系式即可； （2）根据题意分别求出与的值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，抛物线顶点为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线为． 抛物线过点，代入解得， 抛物线为； 【小问2详解】 解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，解得（不合题意，舍去）或， ． 又比赛当天跳水的抛物线为， 令，解得（不合题的意的值已舍去）， 即． 23. 如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求线段的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 是的半径， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，如图，根据垂径定理由为的中点，得到为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切； （2）设的半径为，则，，得出，解得，求出的长； （3）由扇形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， , ， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴在中，， ∴． 24. 如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点． （1）求的度数； （2）填空： ①__________，②__________，③__________； （3）记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． ①若，求的值； ②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），， （3）①；②的最小值为 【解析】 【分析】（1）先由菱形性质得到相关角度与边的关系，再由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合表示出即可得到答案； （2）利用相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定找出线段之间的比例关系进行填空． （3）①根据已知条件结合相似三角形的性质求出的值；②根据三角形面积比与线段比的关系，结合二次函数性质判断是否存在最小值． 【小问1详解】 解：在菱形中，，， ， ，，则， 是等边三角形，则， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①由（1）知，， ； ②由（1）知， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， ， ， ，， ； ③，， ， ， ，则； ，， ， ， ，则； ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①由（2）中③可知：， ， 由（2）中②可知：， ， ， ， ， ， ， 设、的高为， ； ②， ， ， ， ， 同理可证明， ， 设， ， 当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题主要涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及三角形面积公式等数学概念和定理．通过证明三角形相似得出对应成比例的线段是正确解答此题的关键． 25. 定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． （1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； （2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； （3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1）存在，，“属合成”函数解析式为 （2）的解析式为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可； （2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可； （3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可． 【小问1详解】 解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得， 解得，或， ∴两函数图象的交点为和， ∵， ∴， ∴， ∴它们存在“属合成”函数， ∵， ∴“属合成”函数解析式为． 【小问2详解】 解：设一次函数与反比例函数的两个交点为， ∴的解为和，即， ∴， ∵存在“属合成”函数为， ∴，即， ∴， ∴． ①当时， 联立， 解得， ∴， 把点代入解得（舍）， ∴； ②当时， 联立， 解得或， ∴， 把点代入，解得或（舍）， ∴， 综上，的解析式为或． 【小问3详解】 解：∵与存在“2属合成”函数， ∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为， ∴， ∴，则， ∴， ∴“2属合成”函数解析式为， ∵的顶点为， ∴， ∴， 如图，分别过点和作轴和轴的垂线和，相交于点，则 ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， 又， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 对于，当，， 解得：， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， 过点作轴于点，并延长至点，使得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 设， ， ∴， 整理得：， ∴， 解得（舍），（舍），，（舍）， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，定义新运算，圆周角定理，二元一次方程组求解，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $