精品解析：湖北省仙桃市 2024—2025 学年上学期九年级期末考试数学试题

仙桃市2024年秋季学期期末质量监测 九年级数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名，准考证号填写在答题卡上；并将“条形码”粘贴在答题卡指定位置． 2．每道选择题的答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题的答案也应写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”，“大雪”，“小寒”，“立春”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 4. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 5. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 7. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 8. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 9. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是等边内一点，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 12. 三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶．它是由9个数组成的一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得______． 6 5 10 13. 如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总而限，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程______． 15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（本大题共9个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 某校开展数学趣味知识竞赛活动，要求参赛学生从“A：幻方；B：数独；C：魔方”三个项目中选择个项目参加比赛．现将“A”“B”“C”分别写在3张无差别的不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，等候参赛选手随机抽取． （1）小明同学选择一项参赛，他随机抽取一张卡片，恰好选中项目“A”是______事件；（填“确定”或“随机”） （2）小亮同学选择两项参赛，他随机一次性抽取两张卡片，求都没有抽到项目“B”的概率． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上． （1）若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标； （2）将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标； （3）求的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 20. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处． 素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，矩形是花坛截面，花坛高，宽，侧面用大理石包围，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果． 问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的水平距离； 任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面高度的取值范围． 23. 【问题提出】如图1，在中，，，是等边三角形，点在边上，探究与的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边上时，猜想和数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形，如图2，当点E在内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】（3）如图3，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G，，．直接写出的长． 24. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． （1）求该抛物线的解析式及，两点的坐标； （2）如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙桃市2024年秋季学期期末质量监测 九年级数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名，准考证号填写在答题卡上；并将“条形码”粘贴在答题卡指定位置． 2．每道选择题的答案选出后，请用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题的答案也应写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 2025年1月5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”，“大雪”，“小寒”，“立春”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．是中心对称图形，故B选项符合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 若方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正确计算是解题关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得，， 故选：A． 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义逐一判断即可：在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件． 【详解】解：A、床前明月光是随机事件，不符合题意； B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，不符合题意； D．黄河入海流是必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键． 4. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 5. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟知若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 6. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得当汽车停止时，汽车所行驶的距离最远，进而把函数解析式配成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值为9，此时汽车已停止行驶， ∴汽车从刹车到停止所用的时间为3秒； 故选A． 7. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径． 故选：C． 8. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积等于4， ∴ ∴ 故 故选：B 9. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键；由题意易得，然后根据扇形面积公式及割补法可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 如图，点是等边内一点，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得，连接，可得是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，得到，过作交的延长线于点，然后利用勾股定理和直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 如图，过作交的延长线于点， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 如图，过点作交于点， ， ， 由勾股定理得， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是 故答案为： 12. 三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶．它是由9个数组成的一个的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得______． 6 5 10 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程．根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等列出关于的方程，消去后，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：如图，设表格左下角的数为， 6 5 10 ∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总而限，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算正方形的面积，再建立方程求解即可． 【详解】解：边长为正方形面积为， 设黑色部分的总面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用频率来估计概率，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键． 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键．由宽和长共六十步，可得出宽为步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形的长为x步，则宽为步，根据题意得： ． 故答案为：． 15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是，其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想求解；根据二次函数的图像和性质可判断①，根据二次函数的对称性可知过，即可判断②，根据对称轴是2可判断③，由数形结合和二次函数的对称性可判断④． 【详解】解：①抛物线的开口向下， ， 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为直线，即， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ， 故①正确，满足题意； ②抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， 将代入，得， 故②不正确，不满足题意； ③， ， 故③正确，满足题意； ④此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线， 此抛物线经过点， 抛物线与直线的交点的横坐标分别为和6， 不等式的解集是或， 不等式的解集是或， 故④不正确，不满足题意， 故答案为： ①③． 三、解答题（本大题共9个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 17. 某校开展数学趣味知识竞赛活动，要求参赛学生从“A：幻方；B：数独；C：魔方”三个项目中选择个项目参加比赛．现将“A”“B”“C”分别写在3张无差别的不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，等候参赛选手随机抽取． （1）小明同学选择一项参赛，他随机抽取一张卡片，恰好选中项目“A”是______事件；（填“确定”或“随机”） （2）小亮同学选择两项参赛，他随机一次性抽取两张卡片，求都没有抽到项目“B”的概率． 【答案】（1）随机 （2）（都没有抽到项目“B”） 【解析】 【分析】本题考查随机事件的特点，列表法或画树状图求概率，通过列表法或树状图找出所有的等可能结果与所求事件的可能结果数是解题的关键． （1）根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点即可解答； （2）列表，共有6种等可能结果，其中两次随机抽得的卡片都没有抽到项目“B”的结果有2种，由概率公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：小明同学选择一项参赛，他随机抽取一张卡片，恰好选中项目“A”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：列表为： 第一次 第二次 A B C A B C 由表可得，小亮同学两次随机抽得的卡片共有6种等可能的结果，其中两次随机抽得的卡片都没有抽到项目“B”的结果有2种，所以其概率， ∴（都没有抽到项目“B”）． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上． （1）若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标； （2）将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）画图见解析，， （2）画图见解析，点 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，平移作图，数形结合是解题的关键． （1）由题意可得：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，画出图形，并写出点，的坐标； （2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，，； 【小问2详解】 如图所示，即为所求，点； 【小问3详解】 ． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值m的值即可． 【小问1详解】 解：∵． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得，， ∴可化为， 即， 解得，． 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 20. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ，， ， ，， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 【点晴】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数关系式为，反比例函数关系式为： （2）＝ （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得n，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得，，解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由一次函数的解析式为可知，， ∴，， ∴， 故答案为：＝； 【小问3详解】 解：由图象可知：时的取值范围是或． 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处． 素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，矩形是花坛截面，花坛高，宽，侧面用大理石包围，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果． 问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的水平距离； 任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式； （2）令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可； （3）由题意可得：，分别代入和，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值． 【详解】任务1：解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为，把代入得：，解得：， 抛物线的表达式为； （2）令，得， 解得：， ∴， 得到， 喷灌器与围墙的水平距离为； （3）如图所示：，花坛高，宽， ， ∴ ∴， 设，把代入得，解得：， ∴， 当时，， ， 设，把代入得，，解得：， ∴， 当时，， ∴， 即喷水口距离地面高度的取值范围为． 23. 【问题提出】如图1，在中，，，是等边三角形，点在边上，探究与的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图1，当点E在边上时，猜想和数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形，如图2，当点E在内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】（3）如图3，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G，，．直接写出的长． 【答案】 （1）解：，理由如下， 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 证明：取的中点，连接、， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质及外角的性质可得，根据等腰三角形的判定定理证明； （2）取的中点，连接、，分别证明和，根据全等三角形的性质证明； （3）取的中点，连接、、，根据（2）的结论得到，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 即． 24. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． （1）求该抛物线的解析式及，两点的坐标； （2）如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 【答案】（1），， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式；然后与直线联立求解可得点的坐标； （2）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． 联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧）， ∴，． 【小问2详解】 解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（1）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $