第17章 一元二次方程 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(沪科版)

数 学 八年级下册 HK 1 2 第17章 一元二次方程 3 全章综合训练 4 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 中考 考点1 一元二次方程的解 1.【2023山东枣庄中考】若是关于的方程 的解，则 的值为_______. 2 019 【解析】是关于的方程的解， ，即 ， .故 答案为2 019. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 考点2 一元二次方程的解法 2.【2024贵州中考】一元二次方程 的解是( ) B A., B., C., D., 【解析】，或，， ，故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 3.【2024河北中考】淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答案比 正确答案小1,则 ( ) C A.1 B. C. D.1或 【解析】由题意得，解得或 （舍）.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 4.【2024内蒙古赤峰中考】等腰三角形的两边长分别是方程 的 两个根，则这个三角形的周长为( ) C A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 【解析】,，或 , ，.当等腰三角形的三边长分别是3，3，7时， ，不符合三 角形的三边关系，舍去；当等腰三角形的三边长分别是7，7，3时，这个三角形的 周长是 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 思路分析 解方程求得 的值，再分两种情况，结合三角形的三边关系求出等腰三角形的周长. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.【2024四川凉山州中考】已知，，则 的值为___. 3 【解析】， ， ，即，解得，（舍去），即 的 值为3.故答案为3. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.【2024安徽中考】解方程： . 【解】， ， ，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 考点3 一元二次方程根的判别式 7.【2024黑龙江龙东地区中考】关于的一元二次方程 有 两个实数根，则 的取值范围是( ) D A. B. C.且 D.且 【解析】根据题意得解得且 .故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 8.【2024山东潍坊中考】已知关于的一元二次方程 ， 其中，满足 ，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) C A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 【解析】 ， ， 原方程有两个不相等的实数根.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 9.【2024四川南充中考】已知，是关于的方程 的 两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围. 【解】 原方程有两个不相等的实数根， ，即 ，解得 . （2）若，且，，都是整数，求 的值. 【解】， 整数 的值为2，3，4. 当时，方程为，解得， ； 当 或4时，此时方程的解不为整数. 综上所述， 的值为2. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 考点4 一元二次方程根与系数的关系 10.【2024四川内江中考】已知关于的一元二次方程为常数 有 两个不相等的实数根和 . （1）填空：___， ___； 1 【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得，.故答案为 ，1. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 （2）求， ； 【解】， ， . 关于的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和 ， ，，即 . （3）已知，求 的值. 【解】，， , ，解得，.当 时， ；当时， ,此时方程 无实数根， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 考点5 一元二次方程的应用 11.【2024云南中考】两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的 进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为 ， 根据题意，下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】根据题意得 .故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 章测 一、选择题（共21分） 1.【2024安徽六安调研】下列说法正确的是( ) D A.方程的一次项系数为 B.一元二次方程的一般形式是 C.当且且时，方程是关于 的一元 二次方程 D.无论为何值，关于的方程 均为一元二次方程 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 【解析】A选项，方程 的一次项系数为0，所以A选项不符合题意；B选 项，一元二次方程的一般形式是 ，所以B选项不符合题意； C选项，当且且时，方程 可化为 ，为关于 的一元一次方程，所以C选项不符合题意；D选项， ,, 无论为何值，关于的方程 均为一元二次方程，所以D选项符合题意.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 2.【2023河南周口川汇区期末】关于的方程 的实 数根是( ) D A.1 B. C.2 D. 【解析】， ， ，， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 3.【2024安徽马鞍山三模】俗语说：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天 不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习， 那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天 不练丢一半”可知每天“遗忘”的百分比约为参考数据： ( ) C A. B. C. D. 【解析】设每天“遗忘”的百分比为.由题意得，解得 ， （不合题意，舍去）， 每天“遗忘”的百分 比约为 .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 22 4.【2023安徽安庆期中】若是方程 的一个根，设 ，，则与 的大小关系正确的为( ) B A. B. C. D.不确定 【解析】是方程的一个根， ，即 ，则， .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 23 思路分析 把代入方程,再利用作差法比较 与0的大小关系即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 24 5.【2024安徽安庆期末】已知关于的一元二次方程 为常数 ，下列说法正确的是( ) D A.方程可能无实数根 B.当时，方程的根为， C.若，是方程的两个实数根，则 D.当时，方程的根为， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 【解析】A选项， ， 方程有两 个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B选项，当 时，方程为 ，即，， ， 故本选项不符合题意；C选项，若，是方程的两个实数根，则 ， 故本选项不符合题意；D选项，当时，方程为 ，即 ，， ，故本选项符合题意.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 26 6.【2023辽宁铁岭调研】若等腰三角形的边长分别为，，2，且，是关于 的 一元二次方程的两个实数根，则 的值为( ) B A.9 B.10 C.9或10 D.8或10 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 27 思路分析 等腰三角形分类讨论步骤 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 28 【解析】 三角形是等腰三角形， 有或，以及 两种情况.①当 或时，，是关于的一元二次方程 的两个实数 根， 把代入，得，解得 ， 原方程为，解得， .而2，2，4不能组成三角形，故 不符合题意.②当时，方程 有两个相等的实数根， ，解得， 原方程为 ，解得 ，3，3能组成三角形，符合题意.综上， 的值为10. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 29 关键点拨 本题需分两种情况进行讨论：①当或 时； ②当 时.注意利用三角形的三边关系进行验证. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 30 7.【2023安徽合肥庐阳区校级一模】新定义：关于 的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”.如 与就是“同族二次方程”.如果关于 的一元二 次方程与 是“同族二次方程”，那 么代数式 的最大值是( ) A A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 31 【解析】与 是“同族二次方 程”， ，即 ， 解得 ， 则代数式 的最大值是2 020.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 二、填空题（共15分） 8.【2023安徽合肥瑶海区校级期中】若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为 _ _____. 【解析】设方程的另一个根为，则，解得 ，即方程的 另一个根为.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 33 9.已知，则式子 的值是___． 0 【解析】 ， .故答案为0． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 34 一题多解 根据，可知是一元二次方程 的一个解， 即 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 35 10. 【2024安徽蚌埠蚌山区质检】对于形如 （其中，， ， 为整数）这 样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是 的约数.例如方程 的整数根只可能为，，代入检验得 时等式成立， 故含有因式 ，所以原方程可变形为 ，进而可求得方程的所有解.仿照上述解法，求得方程 的所有解为_________________________________. 或或 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 36 【解析】由题意得的整数根只可能为， ，代入检验得 时等式成立，故含有因式， 原方程可化为 ，或， ， ，.故答案为或或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 11.【2023安徽芜湖期中】如图，在长方形 中， ，，点从点出发沿以 的速度向 点运动，同时点从点出发沿以的速度向点 运动， 点到达终点后，， 两点同时停止运动，则______秒时， 的面积是 . 2或3 【解析】设运动时间为秒，则， .依题意得 ，整理得，解得，， 秒或3秒时， 的面积是 .故答案为2或3. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 38 思路分析 设运动时间为秒，表示出线段, 的长,利用三角形的面积计算公式，结合 的面积是，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 39 12.【2024安徽合肥庐阳区校级期中】若关于 的一元二次方程 . （1）该方程根的情况是______________________； 有两个不相等的实数根 【解析】 ， ,即， 该方程有两个不相等的实数根.故答案为有两个 不相等的实数根. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 40 （2）当，2，3， ， 时，对应的一元二次方程的两个根分别记为 ，;,;,;…;,,则 的值 为_ ____. 【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ； ，；…; ， ，.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 41 三、解答题（共64分） 13.解方程： （1） （配方法）； 【解】，，， ， ，所以， . （2） ． 【解】，，， 或 ，所以， ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 42 14.【2024安徽阜阳太和期末】某天课上， 老师带领同学们利用棋子构图研究数字规 律.将一些棋子按如图所示的规律摆放： 第1个图中有7个棋子，第2个图中有11个棋子，第3个图中有17个棋子， ，按此 规律依次递增. （1）第5个图中有____个棋子；第为正整数 个图中有____________个棋子. 35 【解析】由题易得第4个图有 （个）棋子，第5个图有 （个）棋子， 第个图有 个棋子. 故答案为35, . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 （2）第为正整数个图中的棋子个数能是115吗？如果能，求出 的值；如果不 能，请说明理由. 【解】能.令，解得（舍去），， 的值为10. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 15.【2024安徽铜陵铜官区期末】已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， . （1）求 的取值范围. 【解】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数 根，且 ， 的取值范围是且 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 （2）当为何值时， ？ 【解】 方程有两个不相等的实数根， ， ， . ，，即 ， . 且,，解得 （不合题意，舍去）， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 经检验,是方程 的解. 综上，当时， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 16.如果，那么把形如 的方程称为“勾系 方程”． （1）当， 时，写出相应的“勾系方程”：________________________ __________________； 或 【解】当，时，，， 相应的“勾系方程” 为或 . 故答案为或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 （2）求证：关于的“勾系方程” 必有实数根． 【证明】 ， ， 关于的“勾系方程” 必有实数根． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 17.芯片目前是全球紧缺资源，合肥市政府通过资本招商引进“芯屏汽合”“集终 生智”等优势产业，发展新兴产业．合肥某芯片公司引进了一条内存芯片生产线， 开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）求前三季度生产量的平均增长率； 【解】设前三季度生产量的平均增长率为.依题意得 ，解得 ， （不合题意，舍去）． 答：前三季度生产量的平均增长率为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，每增加1条生产线，每条 生产线的最大产能将减少20万个/季度． ①现该公司要保证每季度生产内存芯片2 600万个，在增加产能的同时又要节省投 入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该增加几条生产线？ 【解】设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为 万个/季 度.依题意得，整理得 ，解得 ， . 在增加产能的同时又要节省投入成本， ． 答：应该增加4条生产线. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 ②是否能增加生产线使得每季度生产内存芯片4 820万个？若能，应该增加几条生 产线？若不能，请说明理由． 【解】不能，理由如下：设增加 条生产线，则每条生产线的最大产能为 万个/季度.依题意得 ，整理得 ． ， 该方程无实数根, 不能增加生产线使得每季度生产内存芯片4 820万个． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 关键点拨 解本题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程并牢记“当 时，方程 无实数根”. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 $$