精品解析：四川省射洪中学校2025届高三下学期二模考试数学试题

射洪中学高2025届高三二模考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知复数，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点作斜率为的直线，若直线与以为直径的圆相切，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分） 9. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ） A. 事件A和事件B是对立事件 B. 事件A和事件C是对立事件 C. D. 10. 声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过x轴下方一点作抛物线C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 当点P的坐标为时，则直线AB方程为 B. 若直线AB过点F，则四边形PMFN为矩形 C. 当时， D. 时，面积的最大值为4 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率__________. 13. 在中，点分别在边上，，且，则__________. 14. 若函数（其中），方程在上有解，则的最小值为__________. 四、解答题（共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、计算或证明过程） 15. 设函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 16. 已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点． （1）求的方程； （2）若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求． 17. 在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与的夹角的余弦值； （3）设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 18. 年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． （1）现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和. （3）已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025届高三二模考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式、求二次函数的值域确定集合，再由集合的交集运算求结果. 【详解】由， ， 所以. 故选：A. 2. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比. 【详解】由题设，易知是方程的两个根， 又为递增的等比数列，所以，故公比. 故选：B 3. 已知复数，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知非零向量，满足，若，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个向量在另一个向量方向上的投影向量的公式计算. 【详解】首先，向量的坐标为(2, 0)，其模长为2，因此， 根据条件，即它们的数量积为零： 展开数量积：,即： 因此：,代入已知条件： 因此，在方向上的投影向量坐标为(2, 0)， 故选：B. 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的余弦展开式化简可得的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答案. 【详解】由， 得， 因为，，所以，且， ， 当且仅当取等号. 故选：C. 6. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点作斜率为的直线，若直线与以为直径的圆相切，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用直线斜率定义和圆的直径可得，求出离心率. 【详解】设的中点为与圆相切的切点为，如下图所示： 易知， 因为直线的斜率为，即 则，所以； 解得，则离心率为. 故选 7. 在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【详解】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题. 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分） 9. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ） A. 事件A和事件B是对立事件 B. 事件A和事件C是对立事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由对立事件、和事件及独立事件的概念逐个判断即可； 【详解】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误； 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确； 又因为，所以，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 10. 声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型. 【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，， AB选项满足题意， 故选：AB. 11. 已知抛物线的焦点为F，过x轴下方一点作抛物线C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 当点P的坐标为时，则直线AB方程为 B. 若直线AB过点F，则四边形PMFN为矩形 C. 当时， D. 时，面积的最大值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，由导数的几何意义可得切线，的方程，进而可得直线的方程，把代入即可判断A；再由直线与抛物线方程联立得韦达定理，利用韦达定理即可判断B；取满足的轨迹上的特殊点即可判断C；由弦长公式得和满足的方程，再求出到直线的距离，代入三角形面积公式，结合不等式即可判断D. 【详解】方程变形为，则. 设，， 直线的方程：，即， 同理可得直线的方程：， 点在直线和上，∴，， ∴的方程为， 联立，得①， 由韦达定理得，，②. 对于选项A，当为时，，故A正确； 对于选项B，若直线过点时，，即， ，，利用韦达定理，则， ∴，同理. 由②得，，∴四边形PMFN为矩形，故B正确； 对于选项C，当时，取，方程①变为， 即得，，，故C错误； 对于选项D，当时，由弦长公式得， 即， 点到直线的距离为，，∴， ∴，当取等号，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率__________. 【答案】##0.7 【解析】 【分析】根据题意，首先分析从5人中选出2人，再分析可得若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女分别担任正、副班长两种情况，分别计算其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案. 【详解】根据题意，从3名男生和2名女生中选出2名学生，有种选法， 若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女两种情况， 共有种选法，则选出的2人中至少有1名女生的概率为. 故答案为：． 13. 在中，点分别在边上，，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形面积公式以及等面积和余弦定理，解方程组可得结果. 【详解】记，如下图所示： 则； 因，， 则； 故①， 在中，由余弦定理，， 可得②， 将①代入②得， 即，解得或（舍）； 即. 故答案为：2. 14. 若函数（其中），方程在上有解，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将的最小值为原点到直线的距离的平方，从而求解． 【详解】令，则要，即，两式相加得， 令，则， 又因为，所以单调递增， 所以，即， 即在上有解． ，所以在上单调递增，所以要， 即， 则的最小值为原点到直线的距离的平方，即． 故答案为：． 四、解答题（共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、计算或证明过程） 15. 设函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可. （2）利用导数按分类讨论函数在上的单调性，并求出最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，不等式， 令，依题意，恒成立，， 当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，，则， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 由函数，求导得，由，得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，无解； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得，符合题意， 所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，. 16. 已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点． （1）求的方程； （2）若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，由交点个数得到判别式的等式，求出，即可得到抛物线方程； （2）利用韦达定理法，由弦长公式及中点坐标公式得到和，从而求得它们的比值. 【小问1详解】 当时，联立，得． 因为与有且仅有一个交点，所以，解得． 所以的方程为． 【小问2详解】 联立，得． 因为与交于不同的两点，所以，即． 设，， 因为，所以． ． ，所以． 17. 在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与的夹角的余弦值； （3）设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 【答案】（1） 在中，因为，满，所以； 因为平面平面，平面平面平，故平面； 又因为平面，所以. 因为是等腰直角三角形，， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值即可； （3）先设球心坐标为，再应用空间距离列式计算得出，再应用点到平面距离计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，则，且， 则点的坐标为. 又， 则， ， ， ， ， 故异面直线与的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设三棱锥外接球的球心的坐标为， 则由，可得， 解得，即. 球的半径， 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 又因为，则球心到平面的距离为 . 故点到平面距离的最大值为. 18. 年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品． （1）现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品． （ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率； （ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望； （2）已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，利用条件概率公式可求得的值； （ii）由题意可知，的取值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件， 则． （ii）根据题意可知的取值可能为、、、． 则，， ，． 则的分布列为： 所以． 【小问2详解】 设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为， 则 ，其中， 因为，所以在单调递增． 注意到，所以，故的最小值为． 19. 对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. （1）定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和. （3）已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 【答案】（1）证明见解析. （2）. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数列新定义求解即可； （2）由等差数列的基本量法求出数列的通项，再由错位相减法求和即可； （3）先由数列新定义证明数列是以为首项，为公比的等比数列，得到通项，然后表达出再结合所给不等式变形即可. 【小问1详解】 由题意知：，， 又，，即， 所以是数列的生成函数； 【小问2详解】 由（1）知：，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 所以 ， 两式相减得：， 所以. 【小问3详解】 由题意知：，， ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 又，，， 则当时，， 即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $