精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年下学期八年级入学数学试卷-

2024-2025学年重庆市南开中学八年级（下）入学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数是有理数的是（ ） A. - B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的分类，逐个分析判断即可 【详解】解：A.-是有理数，符合题意， B.是无理数，不符合题意， C.是无理数，不符合题意， D.是无理数，不符合题意， 故选A 【点睛】本题考查了实数的分类，能正确的区分有理数与无理数是解题的关键． 2. 下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是不中心对称图形，是轴对称图形，故不此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集．根据数轴上表示的不等式组的解集，可得答案． 【详解】解：观察数轴得：， ∴这个不等式组可以是． 故选：A 4. 已知，则实数m的范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算进行解答即可． 由得，那么，即可确定实数m的范围． 【详解】解：， 则， 那么， 即实数m的范围是， 故选：B 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 182 186 183 186 方差 3.5 35 6.5 7.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．此题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】解：，，，， ， ，， ， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择乙， 故选：B． 6. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 7. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 8. 已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．则下列说法错误的是（    ） A. 乙货车的速度为 B. 乙到终点时， C. 点E的坐标为 D. 两车之间距离为时，或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．A选项设乙货车的速度为，根据两车在D点相遇时所行路程之和A、B两地之间的距离，列关于v的方程并求解即可；项根据时间=路程速度求出乙到终点时所用时间，C项由路程速度时间求出甲货车在这段时间内行驶的路程，即乙到终点时，甲乙两车之间的距离即可；D项利用待定系数法分别求出线段、对应的函数关系式，分别令，列关于t的方程并求解即可． 【详解】解：设乙货车的速度为，则， 解得， 乙货车的速度为， 正确，不符合题意； 乙到终点时所用时间为， 正确，不符合题意； 根据②，当乙到达终点时，甲距离A地， 当乙到终点时，甲乙相距， 点E的坐标为， 不正确，符合题意； 设线段对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段对应的函数关系式为， 当时，得， 解得； 设线段对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段DE对应函数关系式为， 当时，得， 解得， 当或时，两车之间距离为， 正确，不符合题意． 故选： 9. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形的性质，根据题意得出每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，再根据每次变换后，对角线的长变为上一次的倍即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∴每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复， 又∵余2， ∴第个正方形中与点O相对的顶点在上，即在y轴上， 又∴每次变换后，对角线的长变为上一次的倍， ∴第个正方形中含点O的对角线长为， ∴第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为， 故选： 10. 给出三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差相同的两个代数式只作一次差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于作“绝佳操作”，得到．下列说法： ①对作“绝佳操作”的结果是18； ②对作“绝佳操作”的结果一共有8种； ③对，，作“绝佳操作”的结果为2，则a的值为10或 其中正确的个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算、绝对值的性质和计算，理解“绝佳操作”的定义是解题的关键． 根据“绝佳操作”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解． 【详解】解：①对作“绝佳操作”得：，故①正确； ②对作“绝佳操作”得：，共1种，故②错误； ③对，，作“绝佳操作”得：， 或， 解得：，故③错误； 故选：B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是_______边形． 【答案】六## 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设多边形边数为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据多边形的内角和公式可得， 解得． 故答案为：六． 12. 如图，将△ABC沿BC边平移得到△A1B1C1，若BC1＝8，B1C＝2，则平移距离为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平移的性质解答即可． 【详解】解：∵△ABC沿BC边平移得到△A1B1C1， ∴BC=B1C1，BB1=CC1， ∵BC1=8，B1C=2， ∴BB1=CC1==3， 即平移距离为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平移的性质，主要利用了对应顶点的连线的长度等于平移距离． 13. 已知点P在第四象限，且到x轴和y轴距离分别是3和2，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴距离，以及各象限内点的坐标特征．根据点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y 距离等于横坐标绝对值，结合点P在第四象限，即可得出结论． 【详解】解：设点P的坐标是， 点P到x轴和y轴距离分别是3和2， ，， ，， 点P在第四象限， ，， ，， 点P的坐标为， 故答案为： 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为___． 【答案】##80度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 如图，直线与直线交于点A，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求得点A坐标；根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标．根据图象交点坐标直接判断即可． 【详解】解：直线与直线交于点， 方程组的解是， 故答案为：， 16. 若整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的整数解，正确掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．解元一次方程得到或6或12，由不等式组有且仅有两个偶数解求出k的取值范围，即可得到所有满足条件的的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数， ∴， 或6或12， ， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式的解集为， 关于y的不等式组有且仅有两个偶数解， ， ， 所有符合条件的整数k的值有4，6， 所有满足条件的整数k的和为． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，点D、E分别是、边上的点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，含30度角的直角三角形，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．作于点H，则，根据30度角所对的直角边等于斜边一般，得到，进而得出，，由折叠得，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，作于点H，则， ，，，恰好是的中点， ，， ， ，， 由折叠得， ，且， ， 解得， 故答案为：． 18. 若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为______．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. 1002 ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，分式的化简求值，新定义，正确理解定义是解题的关键． 根据和数”的定义确定即可；根据题意得出自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是，个位数字是，，再根据“和数”的定义以及该“和数”能被6整除得出或，再分类讨论解答即可． 【详解】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍， 百位、十位、个位上的数字之和为2，该自然数千位上的数字为1， 最小的“和数”为1002， 根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b， ∵， ∴， ∴， ∴十位数字是，个位数字是， 为，为， ， 根据“和数”定义得， 该“和数”能被6整除， ∴该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数， ，为偶数， 或6， ①当时，，即， ， 令，则，原式， 当时，原式取到最大值为； ②当时，，， 令，则， 原式， 当时，原式取到最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：1002；． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可； （2）先根据平方差公式计算，并把除法转化为乘法，再算乘法，后算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解不等式或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式和不等式组，掌握解法步骤是关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤即可解出答案； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得：， 去括号，得： 移项，得：， 合并同类项，得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解得： 所以不等式组的解集为 21. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，各顶点坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在网格中画出； （2）将绕点A顺时针旋转得到，请在网格中画出； （3）求出旋转过程中所扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，画旋转图形，求图形旋转后扫过的面积． （1）利用点平移的性质即可得解； （2）利用网格特点和旋转的性质即可得解； （3）先求出的长，再利用扇形面积公式根据公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， 旋转过程中所扫过面积为 ． 22. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化关注度日益提升．为此，某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了春节文化知识竞赛，并对他们的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A：，B：，C：，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：77，79，80，84，88，88，88，94，94，98． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：85，88，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 88 b 八年级 87 a 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七、八年级共有2000人，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀（）的共有多少人？ 【答案】（1），88，40 （2）八年级学生学生的春节文化知识竞赛成绩更好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有600人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，用C组人数除以10即可求出m的值； （2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论； （3）用2000乘以该校七、八年级优秀人数的比例即可． 【小问1详解】 解：八年级C组有人数为：人， 所以把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是88，89，故中位数； 在七年级10名学生的竞赛成绩中88出现的次数最多，故众数； 因为C组有人 所以，即 故答案为：，88，40； 【小问2详解】 解：八年级学生学生的春节文化知识竞赛成绩更好，理由如下： 七、八年级的平均分均为87分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生学生的春节文化知识竞赛成绩更好； 小问3详解】 解：人， 答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有600人． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求点D到的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）由得，证明，推出， ，即可证明四边形是平行四边形； （2）设点D到的距离为h，根据求解． 【小问1详解】 证明：点E和点F是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：设点D到的距离为h， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点D到的距离是 24. 灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元 （2）坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是13470元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，不等式，是解题的关键． （1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，根据4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元，列出方程，解方程即可； （2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，根据坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，列出不等式，解不等式求出a的取值范围，设利润为w元，根据每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，列出关系式，根据一次函数性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元； 【小问2详解】 解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件， 根据题意得：， 解得：， 又， 解得：， ， 设利润为w元，根据题意得： ， ， 随a的增大而减小， 当时，w最大，最大值为， 答：坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是15740元． 25. 如图1，在平行四边形中，，过点D作于点E，，．点P从点A出发，沿折线运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位．设点P的运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）图见解析；当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质等，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）分“点P在线段上”“点P在线段上”两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，， 是等腰直角三角形，，， ， ， 点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位, ，， 时，点P在线段上，时，点P在线段上． 当点P在线段上时，如图，作于M，于N，得矩形， 在平行四边形中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点P在线段上时，如图， ， ， 综上可得，； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示， 由图可知，当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由（2）中图象可得，当时，． 26. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点，点D在y轴正半轴上，且，直线与直线相交于点． （1）请求出直线的解析式； （2）如图2，在第一象限中的直线上有一点M使得，若线段在直线BC上移动，且点E、B移动后的对应点为，请求出的最小值； （3）如图3，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，线段沿直线平移得到，当点刚好落在直线上，此时在x轴上是否存在点P，使得以点、、P为顶点构成的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 或或 【解析】 【分析】题目涉及平面直角坐标系中的直线、交点、平移、旋转等几何问题，主要考查一次函数的解析式、交点坐标、几何变换等知识点． （1）根据直线 的解析式，求出点B的坐标．再利用点B和点C的坐标，通过待定系数法求出直线 BC的解析式． （2）先求出点E坐标，再根据，求出点 M 的坐标．利用对称和平移的性质，找到点F 的坐标， 通过两点间距离公式，求出 EF的最小值． （3） 根据旋转和平移的性质，求出直线和的解析式， 通过交点坐标，确定点P的可能位置．分情况讨论等腰三角形的条件，求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ， 设BC的解析式为：， ， ； 【小问2详解】 如图1， 当时，， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 由得， ， ， ， ， ， ，， ， 作点M关于的对称点， ∴，， ∴直线的解析式为：， ∴点坐标为，， 将点延的方向平移个单位，即左移2个单位，上移动2个单位至，连接，交于，截取， 此时的最小， ，， ； 【小问3详解】 如图2， 连接， 线段绕点O逆时针旋转得到直线，，， 点的对应点，B点的对应点， 直线的解析式为：， 线段沿直线平移得到， ， 直线的解析式为：， 由得， ， ，， 设点， 连接，此时，， 当时，点P在的延长线，点P舍去， 当时图形， ，， ， 当时， ，， ， 综上所述：或或或． 27. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转一定角度至线段，连接交线段于点． （1）如图1，若，求的角度； （2）将线段绕点A逆时针旋转至线段，过点A作于点F，交延长线于点G，连接，交于点H； ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，．，N分别是线段，上的动点，且满足，连接，，当取得最小时，直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）等量代换得到推出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （2）①过点C作于点M，得到，由（1）知：，得到，然后证明出，得到，设，则，得到，然后进一步利用相似三角形的性质求解即可； ②过点A作于点K，勾股定理求出，然后证明出，得到，代数求出，作，使，连接，，得到为等边三角形，然后证明出，得到，然后得到当A，M，Q三点在一条直线上时，取得最小值，过点M作于点P，然后利用相似三角形的性质求出，解直角三角形求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：过点C作于点M，如图， 由题意得：，， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ， 设，则，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：当取得最小时，此时的面积为． 过点A作于点K，如图， ，，， ， ， 由题意：， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 作，使，连接，，如图， ，， 为等边三角形， ； 由题意：， ，， ， ， ， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ， 当A，M，Q三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为线段的长度，如图， 过点M作于点P， ， ， ， ， ， ； ， ， 的面积． 【点睛】此题考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年重庆市南开中学八年级（下）入学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数是有理数的是（ ） A. - B. C. D. 2. 下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，下面数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数m的范围是（    ） A. B. C. D. 5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 182 186 183 186 方差 3.5 3.5 6.5 7.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 8. 已知甲货车从A地以的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．则下列说法错误的是（    ） A. 乙货车的速度为 B. 乙到终点时， C. 点E的坐标为 D. 两车之间距离为时，或 9. 如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（    ） A B. C. D. 10. 给出三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差相同的两个代数式只作一次差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于作“绝佳操作”，得到．下列说法： ①对作“绝佳操作”的结果是18； ②对作“绝佳操作”的结果一共有8种； ③对，，作“绝佳操作”的结果为2，则a的值为10或 其中正确个数为（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是_______边形． 12. 如图，将△ABC沿BC边平移得到△A1B1C1，若BC1＝8，B1C＝2，则平移距离为_____． 13. 已知点P在第四象限，且到x轴和y轴距离分别是3和2，则点P的坐标为______． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为___． 15. 如图，直线与直线交于点A，则关于x，y的方程组的解为______． 16. 若整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为______． 17. 如图，在中，，，，点D、E分别是、边上的点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则的长度为______． 18. 若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为______．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20 解不等式或不等式组： （1）； （2）． 21. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，各顶点坐标分别为，，． （1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在网格中画出； （2）将绕点A顺时针旋转得到，请在网格中画出； （3）求出旋转过程中所扫过的面积（结果保留）． 22. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．为此，某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了春节文化知识竞赛，并对他们的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A：，B：，C：，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：77，79，80，84，88，88，88，94，94，98． 八年级10名学生竞赛成绩在B组中的数据是：85，88，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87 88 b 八年级 87 a 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七、八年级共有2000人，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀（）的共有多少人？ 23. 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求点D到的距离． 24. 灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 25. 如图1，在平行四边形中，，过点D作于点E，，．点P从点A出发，沿折线运动，点P在线段上的运动速度为每秒个单位，在线段上的运动速度为每秒2个单位．设点P的运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 26. 如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点，点D在y轴正半轴上，且，直线与直线相交于点． （1）请求出直线的解析式； （2）如图2，在第一象限中的直线上有一点M使得，若线段在直线BC上移动，且点E、B移动后的对应点为，请求出的最小值； （3）如图3，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，线段沿直线平移得到，当点刚好落在直线上，此时在x轴上是否存在点P，使得以点、、P为顶点构成的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 在中，，将线段绕点A逆时针旋转一定角度至线段，连接交线段于点． （1）如图1，若，求的角度； （2）将线段绕点A逆时针旋转至线段，过点A作于点F，交延长线于点G，连接，交于点H； ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，．，N分别是线段，上的动点，且满足，连接，，当取得最小时，直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$