专题03 正态分布知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题03 正态分布知识归纳与题型突破 知识点1 概率密度曲线 随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的频率，因此，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线. 知识点2 正态分布 1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为p(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2) 2.正态曲线： （1）定义：函数p(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处到达峰值； ④当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： ⑥曲线与x轴之间的面积为1. 知识点3 正态分布的均值与方差 1.正态分布的均值与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 2.其它结论： ①随机变量X落在区间[a,b]中的概率P（a<X≤b）恰好是p（x）对应的曲线和直线x=a,x=b，以及x轴所围成的梯形的面积； ②随机变量X的方差D(X)代表了随机变量的离散程度；标准差σ越大，X的取值越分散；σ越小X的取值越集中在数学期望μ的附近. 知识点4 标准正态分布 数学期望μ=0，方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X～N(0，1)，其密度函数为 ，x∈(－∞，＋∞) 知识点5 3σ原则 若X～N(μ，σ2)，则随机变量X在μ的附近取值的概率较大，在离μ较远处取值的概率较小. 具体地， ①随机变量X落在区间（μ-σ，μ+σ）内的概率P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②随机变量X落在区间（μ-2σ，μ+2σ）内的概率P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③随机变量X落在区间（μ-3σ，μ+3σ）内的概率P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 在实际应用中，通常认为服从正态分布X～N(μ，σ2)的随机变量X只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，并简称为 3σ原则. 题型一 正态密度函数 【例1】（22-23高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 题型二 正态曲线及其性质 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有 ． 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（2023高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【变式2-3】（22-23高三下·江苏苏州·开学考试）如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ． 题型三 正态曲线性质的应用 【例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【变式3-1】（17-18高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【变式3-2】（22-23高二下·湖北武汉·阶段练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为 C．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 D．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大 【变式3-3】（22-23高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 ． 题型四 标准正态分布的应用 【例4】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【变式4-1】（多选）（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【变式4-2】（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则 ． 【变式4-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 题型五 区间上的概率计算 【例5】（24-25高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 【变式5-1】（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【变式5-2】（24-25高二上·河南焦作·期末）西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（   ） 附：若，则，，． A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）某地为了美化环境，购买了棵杉树树苗，已知杉树树苗的高度近似服从正态分布，则树苗高度在以上（含）的约有 棵． 题型六 根据正态分布求参数 【例6】（24-25高二上·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为 . 【变式6-1】（2025·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【变式6-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【变式6-3】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 题型七 正态分布的实际应用 【例7】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【变式7-1】（24-25高二下·全国·课后作业）为检验某公司销售一种新产品的能力，对该公司100天的销售情况做了调查，统计数据如下表所示： 销售数量/件 48 49 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 经计算，这100天的销售数量的平均数，标准差，用频率估计概率． （1）表格中字母的值是 ； （2）为评判该公司的销售水平，从上述100天中随机抽取1天，记当天的销售数量为，并根据以下规则评判．评判规则：若同时满足下列三个不等式，则销售水平为优秀；若仅满足其中两个，则销售水平为良好；若仅满足其中一个，则销售水平为合格；若全部不满足，则销售水平为不合格．三个不等式分别为①，②，③．则该公司的销售水平为 ． 【变式7-2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【变式7-3】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 题型八 3σ原则 【例8】（23-24高三下·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【变式8-1】（20-21高二下·全国·课后作业）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【变式8-2】（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【变式8-3】（2024·广东佛山·二模）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是 . 题型九 正态分布的期望、方差 【例9】（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【变式9-1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（22-23高二下·辽宁·阶段练习）下列关于正态分布的叙述中，正确的是（    ） A．X的均值为0 B．X的方差为1 C．X的概率密度函数为， D．若，则 【变式9-3】（21-22高二·湖南·课后作业）如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 题型十 概率分布的综合问题 【例10】（22-23高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【变式10-1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【变式10-2】（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【变式10-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正态分布知识归纳与题型突破 知识点1 概率密度曲线 随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的频率，因此，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线. 知识点2 正态分布 1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为p(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2) 2.正态曲线： （1）定义：函数p(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处到达峰值； ④当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： ⑥曲线与x轴之间的面积为1. 知识点3 正态分布的均值与方差 1.正态分布的均值与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 2.其它结论： ①随机变量X落在区间[a,b]中的概率P（a<X≤b）恰好是p（x）对应的曲线和直线x=a,x=b，以及x轴所围成的梯形的面积； ②随机变量X的方差D(X)代表了随机变量的离散程度；标准差σ越大，X的取值越分散；σ越小X的取值越集中在数学期望μ的附近. 知识点4 标准正态分布 数学期望μ=0，方差σ2=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X～N(0，1)，其密度函数为 ，x∈(－∞，＋∞) 知识点5 3σ原则 若X～N(μ，σ2)，则随机变量X在μ的附近取值的概率较大，在离μ较远处取值的概率较小. 具体地， ①随机变量X落在区间（μ-σ，μ+σ）内的概率P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②随机变量X落在区间（μ-2σ，μ+2σ）内的概率P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③随机变量X落在区间（μ-3σ，μ+3σ）内的概率P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 在实际应用中，通常认为服从正态分布X～N(μ，σ2)的随机变量X只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，并简称为 3σ原则. 题型一 正态密度函数 【例1】（22-23高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态密度函数 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 【变式1-1】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【知识点】正态密度函数 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态密度函数 【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【知识点】正态密度函数 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 题型二 正态曲线及其性质 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有 ． 【答案】①②③ 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布密度函数的解析式，逐项判定，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故答案为：①②③ 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（多选）（2023高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 【变式2-3】（22-23高三下·江苏苏州·开学考试）如图，若一个随机变量X服从某正态分布，且已知函数的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望 ，方差 ． 【答案】 5 1 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布密度曲线求得即可求期望和方差. 【详解】由图可知，当时，有最大值为， 所以， 所以，所以，， 故答案为:5;1. 题型三 正态曲线性质的应用 【例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图像如图所示．    (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【答案】(1)，. (2)34.14% 【知识点】正态密度函数、3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】（1）结合密度曲线可得，可写出密度函数的表达式； （2）由，求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【详解】（1） 设公司人均月收入为， 结合题图可知，. 此公司人均月收入的正态分布密度函数表达式为: ，. （2） ，则， 所以. 故公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.14%. 【变式3-1】（17-18高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 【变式3-2】（22-23高二下·湖北武汉·阶段练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为 C．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 D．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大 【答案】D 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】由可知，由此判断A,B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C和D. 【详解】对AB，由正态分布密度曲线函数，得， 该地水稻的平均株高为，所以A错误；该地水稻株高的方差为，所以B错误； 对C，根据正态分布的对称性可知：, 所以株高在和在（单位：）的概率不一样大，所以C错误； 对D，，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以D正确； 故选：D. 【变式3-3】（22-23高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 ． 【答案】273 【分析】由图知：，利用原则可求出成绩X位于区间的概率，进而可得出大约人数. 【详解】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 故答案为：273. 题型四 标准正态分布的应用 【例4】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（    ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A．已知，则 B． C．按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D．已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【答案】BCD 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】对于A：可知，结合正态分布的对称性分析求解；对于B：根据题意结合正态分布的对称性分析求解；对于C：根据题意分析可得，，即可得结果；对于D：根据题意可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 【变式4-1】（多选）（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【答案】ACD 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D. 【详解】随机变量，则A正确； ，则B错误； 随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确； 正态分布的曲线关于对称，，则D正确， 故选：ACD． 【变式4-2】（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则 ． 【答案】/ 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布，即， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 【答案】/ 【知识点】特殊区间的概率 【分析】由得，利用得到，根据正态分布图象得到. 【详解】因为，所以，由，得， 由，知， 由正态分布图象知 ， 故答案为：. 题型五 区间上的概率计算 【例5】（24-25高二下·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】3δ原则、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】（1）（2）根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】（1）， ，， ． （2）， ． 【变式5-1】（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·河南焦作·期末）西峡猕猴桃是河南省的特产，是中国国家地理标志产品．据统计，西峡县某种植基地猕猴桃的单果质量（单位：克）近似服从正态分布，则估计该基地猕猴桃的单果质量在区间内的概率为（   ） 附：若，则，，． A．0.4545 B．0.1827 C．0.2718 D．0.1359 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性以及已知概率计算求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：D 【变式5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）某地为了美化环境，购买了棵杉树树苗，已知杉树树苗的高度近似服从正态分布，则树苗高度在以上（含）的约有 棵． 【答案】 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据原则可求得，由此可计算求得结果. 【详解】由题意知：，，， ， 树苗高度在以上（含）的约有棵. 故答案为：. 题型六 根据正态分布求参数 【例6】（24-25高二上·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】由可得，且， 则有：，解得：， 因为，所以，且， 则 当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为. 故答案为：. 【变式6-1】（2025·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 【变式6-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【知识点】正态曲线的性质、由函数对称性求函数值或参数、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】依题意可得，即可得到，再根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布对称性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【详解】因为随机变量，正数满足， 有对称性可知，即， 所以 ； 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9 题型七 正态分布的实际应用 【例7】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【答案】(1) (2)（i），（ii）方案2 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案.. 【详解】（1）因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . （2）， 所以，，，. 所以 . 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 【变式7-1】（24-25高二下·全国·课后作业）为检验某公司销售一种新产品的能力，对该公司100天的销售情况做了调查，统计数据如下表所示： 销售数量/件 48 49 52 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 天数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 经计算，这100天的销售数量的平均数，标准差，用频率估计概率． （1）表格中字母的值是 ； （2）为评判该公司的销售水平，从上述100天中随机抽取1天，记当天的销售数量为，并根据以下规则评判．评判规则：若同时满足下列三个不等式，则销售水平为优秀；若仅满足其中两个，则销售水平为良好；若仅满足其中一个，则销售水平为合格；若全部不满足，则销售水平为不合格．三个不等式分别为①，②，③．则该公司的销售水平为 ． 【答案】 51 合格 【知识点】根据平均数求参数、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据平均数的定义列方程可求出的值； （2）根据表中的数据分别计算，，，再根据题意分析判断即可. 【详解】（1）依题意，得 ， 解得． （2）由题意得，，， ，，． 于是由表格得， ， ． 故该公司的销售水平为合格． 故答案为：51，合格 【变式7-2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布. (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点； 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由， 可得，则， 所以分数在70分及以下的学生有， 所以学生小A被抽到的概率 （2）由， 可得： 所以甲校不低于130分的概率为， 得分不高于58分的概率为， 所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人， 故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少. 【变式7-3】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 题型八 3σ原则 【例8】（23-24高三下·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为. (2) 【分析】（1）因为，由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列，再由二项分布的均值公式求出； （2）康复的人数为随机变量，则，可得出，由正态分布的对称性结合原则求解即可. 【详解】（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则 ， 因此， ，， ， 则的分布列为： 的数学期望. （2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为， 记康复的人数为随机变量，则， 设，设， 所以整数的最大值为    【变式8-1】（20-21高二下·全国·课后作业）一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【答案】C 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】根据定义结合正态分布的概率得出结论. 【详解】依题意，所以， 所以，，， 因为， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】由题可得，即可求得. 【详解】小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布， ， 该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为， 故选：B 【变式8-3】（2024·广东佛山·二模）统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：g），某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，的最大值是 . 【答案】5 【分析】利用原则列出不等式，求解即得. 【详解】依题意，，由原则，得，解得， 所以的最大值是5. 故答案为：5 题型九 正态分布的期望、方差 【例9】（多选）（24-25高二上·广西桂林·期末）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【答案】ABD 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、二项分布的方差 【分析】根据二项分布的知识求得方差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，服从正态分布， 所以，A选项正确. 随机变量，所以， 所以，B选项正确. ，所以C选项错误. ， 估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确. 故选：ABD 【变式9-1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态分布的实际应用、二项分布的方差、二项分布的均值 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】由题可得，，，， 所以. 故选：D. 【变式9-2】（多选）（22-23高二下·辽宁·阶段练习）下列关于正态分布的叙述中，正确的是（    ） A．X的均值为0 B．X的方差为1 C．X的概率密度函数为， D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念与性质逐项分析判断. 【详解】因为，则X的均值为0，X的方差为1，故A、B正确； X的概率密度函数为，，故C错误； 对于可知：Y的均值为1，Y的方差为4，可得， 则，故D正确； 故选：ABD. 【变式9-3】（21-22高二·湖南·课后作业）如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 【答案】，均值为20，方差为； 【知识点】正态密度函数、概率分布曲线的认识、正态曲线的性质 【分析】由正态曲线得到正态曲线关直线对称，最大值为，由此求出，，从而求出概率密度函数的解析式，即可得到均值和方差． 【详解】解：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关直线对称，最大值为， 所以， 由，解得， 所以概率密度函数的解析式为， 则总体随机变量的均值为20，方差为． 题型十 概率分布的综合问题 【例10】（22-23高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)分； (2)5； (3)分布列详见解析； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）利用二项分布即可求得随机变量的期望； （3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该校预期的平均成绩大约是（分） （2）由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人， 该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故 （3）X的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以 【变式10-1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【知识点】二项分布的方差、3δ原则、特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 【变式10-2】（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)71分 (2)①②分布列见解析，13 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）①选出人的情况分三种：甲乙、甲丙、乙丙参加面试，计算每种情况下的概率相加即可得到结果；②分析的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该公司预期的平均成绩大约是（分）. （2）①记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件， 则，，， ②的可能取值为， 故，， ，， ，. 故的分布列为： 0 6 10 12 16 20 则. 【变式10-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】(1)74 (2)分布列见解析， 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、特殊区间的概率 【分析】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$