专题突破：复数重点题型突破（9大题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题突破：复数重点题型突破 1.复数的概念： (1)解决复数概念问题的方法及注意事项： ①复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． ②解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)两个复数相等的充要条件是：两个复数的实部和虚部分别相等． (3)共轭复数的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数的两个复数模相同 2.复数的运算： （1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． （2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”． 除法的关键． （3）复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算速度和准确度都有很大的帮助．常见结论：(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 3．复数的几何意义： （1）复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． （2）复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. （3）复数z的方程在复平面上表示的图形 ①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； ②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 题型一　复数的概念 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 【答案】当时是实数；当时是纯虚数；当时是零 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的分类可列方程，即可得解. 【详解】当复数为实数时，，解得或，即当时是实数； 当复数为纯虚数时，，解得，即当时是纯虚数； 当复数为零时，，解得，即当时是零. 【变式1-1】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 【变式1-2】（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数类型，结合同角三角函数关系，即可求得结果. 【详解】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 题型二 复数的相等及其应用 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【知识点】复数的相等 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 【变式2-1】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或或或 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． 【变式2-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【知识点】复数的相等、根据相等条件求参数 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 题型三 复数的运算 【例3】（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）若复数，复数． (1)若，求实数的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的加法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式，即可求得实数的值； （2）当时，利用复数的除法可求得复数. 【详解】（1）解：由已知，则，解得. （2）解：当时，. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【详解】依题意，， 所以的实部为. 故选：A 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）若复数（为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数 ． 【答案】/ 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的除法化简复数求出实部、虚部可得答案. 【详解】． 由题意，知， 解得． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）（2）（3）根据复数的乘除法、乘方运算即可得到答案. 【详解】（1）， ； （2） . （3） . 题型四 共轭复数 【例4】（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 【变式4-1】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】依题意可得，根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其共轭复数. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：D 【变式4-2】（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】根据虚数单位的性质可得，进而可得以及的虚部. 【详解】因为，则， 所以的虚部为. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高一下·全国·单元测试）若（，）与互为共轭复数，则 ， ． 【答案】 3 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的乘法、除法运算，结合共轭复数的概念求参数的值. 【详解】，， （a，）与互为共轭复数，，． 故答案为：； 题型五 复数模的问题 【例5】（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】由复数的模长公式结合二次函数的最值求出结果即可. 【详解】， 当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】 根据复数的运算法则及几何意义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】（20-21高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】先对化简，然后利用其为纯虚数，求出，从而可求出的值 【详解】解：因为（，为虚数单位）， 所以， 因为为纯虚数，所以且，解得， 所以， 所以， 故答案为：2 【变式5-3】（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【知识点】复数的平方根与立方根、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 题型六 复数三角形式运算 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的三角表示、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可； （2）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可. 【详解】（1） ． （2） ． 【变式6-1】（2023·高一课时练习）计算：______． 【答案】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】由题意可得， 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 【变式6-3】（2023·高一课时练习）计算下列各式，并给出几何解释． (1)； (2)． 【答案】(1)，几何解释见解析 (2)，几何解释见解析 【分析】先利用复数三角形式的乘除法运算求值，再利用复数的三角形式进行几何解释即可. 【详解】（1） ， 几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个模为、辐角为的，则即为所对应的向量． （2） ， 因为， 同理：， 所以原式， 几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的，则即为所对应的向量． 题型七 复数的几何意义 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、求复数的模、复数的向量表示 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 【变式7-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解. 【详解】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 【变式7-3】（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【知识点】求复数的模、复数的三角形式、复数乘、除运算的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 题型八 实系数一元二次方程解的问题 【例8】（24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 【答案】(1)； (2)是方程的根. 【知识点】复数的相等、复数的乘方、复数范围内方程的根 【分析】（1）利用方程根的定义，结合复数相等求出. （2）把代入方程，计算判断方程成立. 【详解】（1）由是方程的根，得，即， 而b，c为实数，，解得， 所以. （2）由（1）知方程为， 把代入方程左边，得，因此方程成立， 所以是方程的根． 【变式8-1】（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【答案】 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解. 【详解】因为的一个根为， . 故答案为： 【变式8-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个复数的和为4、积为6，求这两个复数． 【答案】和 【知识点】方程与不等式、虚数单位i及其性质 【分析】由韦达定理可知，这两个数是方程的两个根，解方程即可得解. 【详解】设这两个数分别是，则， 由韦达定理可知，这两个数是方程的两个根， 解得， 所以这两个数是和． 【变式8-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解. 【详解】解：因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为， 所以， 所以，解得. 题型九 复数综合问题 【例9】（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义可得； （2）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且， 解得； （2）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 【变式9-1】（19-20高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先根据复数的除法运算求出复数值，然后结合复数性质逐一分析每个选项 【详解】， ，A选项错误， 的虚部是，B选项错误； ，C选项错误， 在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确. 故选：D 【变式9-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、复数的基本概念 【分析】根据复数的加法运算结合复数的概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示 【分析】（1）根据复数对应象限列不等式组计算即可； （2）根据复数对应的点在直线上求参. 【详解】（1）当点Z在第四象限时，解得 即.所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在第四象限. （2）当点Z在直线上时， ， 解得. 所以当时，复数z在复平面内对应的点Z在直线上. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：复数重点题型突破 1.复数的概念： (1)解决复数概念问题的方法及注意事项： ①复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． ②解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)两个复数相等的充要条件是：两个复数的实部和虚部分别相等． (3)共轭复数的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数的两个复数模相同 2.复数的运算： （1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． （2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”． 除法的关键． （3）复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算速度和准确度都有很大的帮助．常见结论：(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 3．复数的几何意义： （1）复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． （2）复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. （3）复数z的方程在复平面上表示的图形 ①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； ②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 题型一　复数的概念 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 【变式1-1】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【变式1-2】（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 题型二 复数的相等及其应用 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【变式2-1】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【变式2-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【变式2-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 题型三 复数的运算 【例3】（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）若复数，复数． (1)若，求实数的值； (2)若，求． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）若复数（为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数 ． 【变式3-3】（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 题型四 共轭复数 【例4】（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·全国·单元测试）若（，）与互为共轭复数，则 ， ． 题型五 复数模的问题 【例5】（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ． 【变式5-1】（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知，则 . 【变式5-2】（20-21高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则的值为 ． 【变式5-3】（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 题型六 复数三角形式运算 【例6】（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． ． 【变式6-1】（2023·高一课时练习）计算：______． 【变式6-2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式6-3】（2023·高一课时练习）计算下列各式，并给出几何解释． (1)； (2)． 题型七 复数的几何意义 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【变式7-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-3】（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 题型八 实系数一元二次方程解的问题 【例8】（24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 【变式8-1】（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【变式8-2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知两个复数的和为4、积为6，求这两个复数． 【变式8-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且．求的值． 题型九 复数综合问题 【例9】（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 【变式9-1】（19-20高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【变式9-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【变式9-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数x分别取什么值时，复数在复平面内对应的点Z满足下列条件： (1)在第四象限； (2)在直线上. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$