第三章 概率（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

第三章 概率（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西九江·期末）若随机变量，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 3．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 5．（24-25高二下·全国·开学考试）甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 8．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二下·全国·开学考试）下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 10．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 11．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 13．（19-20高二下·山东淄博·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 14．（24-25高二上·上海·期末）若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·天津滨海新·期中）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． (1)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 16．（15分）（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 17．（15分）（2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为． (1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； (2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费． 18．（17分）（23-24高二下·重庆·期末）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 19．（17分）（23-24高二下·山东聊城·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】利用离散型随机变量的分布列求出，再利用数学期望的性质即可求出. 【详解】， ． 故选：C. 2．（24-25高二上·江西九江·期末）若随机变量，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】二项分布的均值、均值的性质 【分析】根据二项分布求期望公式得到，从而由得到答案. 【详解】根据二项分布的知识，得， . 故选：B． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】条件概率性质的应用、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 4．（24-25高二上·河南焦作·期末）某学校只有甲、乙两个餐厅，某同学只在学校用午餐，他第1天随机选择一个餐厅用餐．如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.4；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为0.7．该同学第2天去甲餐厅用餐的概率是（   ） A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件“第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”， “第2天去甲餐厅用餐”，与互斥． 依题意得，，． 由全概率公式，得 ， 故选：A 5．（24-25高二下·全国·开学考试）甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件：甲射中10环，事件：乙射中10环，事件：10环被射中， 则，， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），且甲、乙、丙都打中的概率是，用表示甲、乙两人中靶的人数，则的数学期望是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】由独立事件乘法公式求得，进而结合分布列求解即可； 【详解】依题意，甲、乙、丙都打中的概率， 解得（负值已舍去）， 所以乙打中的概率为． 由题意可得，的可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以． 故选：D． 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为四个等级.若某同学考试成绩的等级为，则该同学的考试成绩可能为（    ）（参考数据：） A．120 B．90 C．80 D．60 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用、正态曲线的性质、3δ原则 【分析】根据题意分析可知，结合正态分布的对称性分析求解即可. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以， 又因为， 即， 故为A等级，为等级，为等级，为等级， 结合选项可知：该同学的考试成绩可能为90. 故选：B. 8．（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据已知条件求得，然后由来求得正确答案. 【详解】首先，根据随机变量的概率分布性质，， 即，所以. 已知期望. 将代入期望公式可得： . 因为，所以. 然后求： . 同样将代入可得： . 已知，且，即. 用减去可得： . ，即. 又因为，两式相减得： ，即. 所以，则， 把变形为， 将和代入得：，则， 所以. 根据方差公式. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二下·全国·开学考试）下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 【答案】ABD 【知识点】利用二项分布求分布列、均值的性质、方差的性质、超几何分布的分布列 【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的性质公式，以及二项分布与超几何分布的概念，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C错误； 对于D，根据超几何分布的概念可知随机变量服从超几何分布，故D正确． 故选：ABD． 10．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为1，可求a的值，判断A；由互斥事件的概率加法公式判断B；根据期望，方差的公式进行计算，判断C，D. 【详解】根据题意，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 11．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望 【答案】ACD 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】对于ACD，分别计算随机变量取不同值时对应的概率，即可求解期望值，对于B,，则可求. 【详解】对于A，的可能值:0，1，2，3， 则，故A正确; 对于B，的可能值:0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为， 因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果， 因此，,，故B错误; 对于C，的可能值:1，2，3，      则，故C正确; 对于D，的可能值:0，1，2，3， 因为对应的事件为:红或白红，所以， 因为对应的事件为:黑红或黑白红或白黑红， 所以， 因为对应的事件为:黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红， 所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【答案】 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 13．（19-20高二下·山东淄博·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 【答案】4 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由分布列的期望公式解得. 【详解】， 即，解得. 故答案为：4. 14．（24-25高二上·上海·期末）若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设事件包含的基本事件个数为（且），（且），根据题设得到或，再利用古典概率公式及条件，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·天津滨海新·期中）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． (1)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解， （2）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）的所以可能取值有， , , , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 故 （2）表示第一辆车遇到的红灯个数，表示第二辆车遇到的红灯个数， 则 16．（15分）（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【知识点】计算条件概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据条件概率公式，先求，，进而可得； （2）根据超几何分布求其分布列和期望即可. 【详解】（1）依题意，   所以. （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3， 所以， ，， 所以的分布列为 1 2 3 所以． 17．（15分）（2025·江苏南通·一模）近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为． (1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； (2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由二项分布求解概率； （2）记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为，求出分布列，找出均值，即可求出平均消费. 【详解】（1）记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件， ． （2）为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为． ， ， 的分布列如下： 1 2 3 4 则该顾客的平均花费为元． 18．（17分）（23-24高二下·重庆·期末）国家对化学元素镓（）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：）的监测数据，并记监测数据的平均数，标准差.设表示镓合金中镓含量（单位：），且，当为正整数时，令，根据表中的和值解答： 1 2 3 4 0.6827 0.9545 0.9973 0.9999 0.0015 0.4531 0.9551 0.9983 (1)记表示一天中抽取17次的镓含量的次数，求及的数学期望； (2)当一天中至少1次监测镓含量，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得.若用该天监测数据得的和分别估计为和且，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？ (3)若去掉一天中的监测结果，设余下的数据标准差为，请用数据表示. 【答案】(1)0.0449；0.0459 (2)必须作改进； (3). 【知识点】估计总体的方差、标准差、二项分布的均值、3δ原则 【分析】（1）根据正态分布求解的概率，以及的概率，再利用对立事件求，再根据二项分布求期望； （2）由可知，，即可作出判断； （3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解. 【详解】（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973， 镓含量的概率为0.0027 ， ； （2）由估计得， ，发现最小值， 该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进； （3）设余下的数据的平均数，则， 即. 19．（17分）（23-24高二下·山东聊城·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 【答案】(1) (2)，分布列见解析 (3) 【知识点】二项分布的均值、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据组合公式结合概率公式求解； （2）组合公式结合概率公式分别求出对应概率，再由分布列求出期望； （3）由，再结合函数解析式，得出的数学期望. 【详解】（1）解:记“第一次摸球就中奖”为事件，则 即第一次摸球就中奖的概率为. （2）若，且第一次摸球后将球均不放回袋中，直接进行第二次摸球， 则的可能取值为. 则 则的分布列为 所以的数学期望为 （3）若，且每次摸球后均将球放回袋中，再进行下一次摸球， 则每次中奖相互独立,且由(1)知每次中奖的概率均为，所以. 此时的可能取值为. 的可能取值为 当时，； 当时，，当时，. 因为， 所以 又， 所以 . 所以 . 即的数学期望为    . 【点睛】关键点睛：解决第三问时，关键在于对二项分布的识别与应用，会结合新情境，求出随机变量的数学期望. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$