2.1 坐标法(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

▶导语:1.本章主要内容包括:直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。本单元的学习,可以帮助学生在平面直角坐标系中,认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征,建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。 2.由于解析几何的教学目标是运用代数的方法研究平面图形的方程与几何性质,所以在教学过程中,要让学生通过形与数的结合,体会几何直观与代数运算之间的融合,感悟数学知识间的关联,加强对数学知识的整体理解。重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。 要点精准概括 5个重要定义:直线,圆,椭圆,双曲线,抛物线 5类方程:直线的五种方程,圆的标准方程与一般方程,椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 3类重要性质:椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 3类位置关系:直线与直线的位置关系,圆与圆的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系 1种关系:曲线与方程的关系 3种求轨迹的常见方法:直接法,定义法,相关点代入法 第二章　平面解析几何 2.1　坐标法 情境导入 课程标准 　　 数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考,思考着如何确定事物的位置,这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上,蜘蛛迅速爬过去把它捉住,笛卡尔此时恍然大悟……同学们能说出笛卡尔的新想法吗? 1.通过对数轴复习,理解实数与数轴上点的对应关系。 2.掌握基本公式、理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题。 自主预习明新知 　 知识点一、数轴及基本公式 1.数轴。 给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的。 2.数轴上点的坐标。 数轴上点A对应的数为x1,即A的坐标为x1,记作A(x1)。 3.基本公式。 数轴上A(x1),B(x2)两点之间的距离公式为|AB|=||=|x2-x1|;如果M(x)是线段AB的中点,则=,AB的中点坐标公式为x=。 知识点二、平面直角坐标系中的基本公式 1.两点之间的距离公式。 A(x1,y1),B(x2,y2)两点之间的距离公式|AB|=||=; 当AB垂直于y轴时,|AB|=|x2-x1|; 当AB垂直于x轴时,|AB|=|y2-y1|; 当B为原点时,|AB|=。 2.中点坐标公式。 已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x=,y=。 知识点三、坐标法 通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题。这种解决问题的方法称为坐标法。 合作探究攻重难 　 类型一　数轴及基本公式的应用 　　【例1】　已知M,N,P是数轴上三点,若|MN|=5,|NP|=2,求|MP|。 解　因为M,N,P是数轴上三点,|MN|=5,|NP|=2,所以(1)当点P在点M,N之间时(如图所示), |MP|=|MN|-|NP|=5-2=3。 (2)当点P在点M,N之外时(如图所示), |MP|=|MN|+|NP|=5+2=7。 综上所述:|MP|=3或|MP|=7。 　　(1)如果两点的相对位置不确定,一定要注意分类讨论。 (2)注意|AB|=|xB-xA|,=xB-xA。 【变式训练】　已知数轴上的点A,B,C的坐标分别为-1,3,5。 (1)求,,|AB|,,|AC|; (2)若数轴上还有两点E,F,且=8,=-4,求点E,F的坐标。 解　(1)=3-(-1)=4;=-=-4;|AB|=|3-(-1)|=4;=5-3=2;|AC|=|5-(-1)|=6。 (2)设E,F点的坐标分别为xE,xF,因为=8,所以xE-(-1)=8,xE=7;因为=-4,所以xF-5=-4,xF=1。故E,F两点的坐标分别为7,1。 类型二　平面直角坐标系中的基本公式的应用 　　【例2】　(1)已知点A(2,1),B(6,3),C(1,3),求证:△ABC为直角三角形。 证明　由两点之间的距离公式得|AB|==;|AC|==;|BC|==。所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC为直角三角形。 (2)已知平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),求这个平行四边形第四个顶点D的坐标。 解　设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为四边形ABCD为平行四边形,所以由中点坐标公式得解得所以点D的坐标为(-4,-1),即平行四边形的第四个顶点D的坐标为(-4,-1)。 　　(1)解决此类问题时,常常需要结合图形,来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系,然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题。 (2)线段的中点问题是常见问题,中点法也是数形结合中常考查的方法,这一方法常借助于图像的线段中点特征加以研究,确定解题策略。 【变式训练】　已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分别为边AB,BC的中点,求线段CE,DE,AF,DF的长度。 解　设线段AB的中点为E(x,y),线段BC的中点为F(m,n),则x==-1,y==4,m==4,n==4,则|CE|==5,|DE|==2,|AF|==,|DF|==,即线段CE,DE,AF,DF的长度分别为5,2,。 类型三　坐标法的应用 　　【例3】　△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:|AE|=|CD|。 证明　如图所示,以B点为坐标原点,取AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系。设△ABD和△BCE的边长分别为a和c,则A(-a,0),E,C(c,0),D,于是|AE|===,|CD|===。所以|AE|=|CD|。 　　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算的结果翻译成几何结论。 【变式训练】　证明:直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等。 证明　如图,Rt△ABC中,C是直角顶点,令|CA|=2b,|CB|=2a,以C为原点,CB为x轴正半轴,CA为y轴正半轴建立平面直角坐标系。则C(0,0),A(0,2b),B(2a,0),所以AB的中点M(a,b),所以|MA|2=(0-a)2+(2b-b)2=a2+b2,|MB|2=(2a-a)2+(0-b)2=a2+b2,|MC|2=(0-a)2+(0-b)2=a2+b2。因为|MA|=|MB|=|MC|,所以直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等。 当堂检测提素养 　 1.在数轴上从点A(-2)引一线段到B(3),再延长同样的长度到C,则点C的坐标为 (C) A.13 B.0 C.8 D.-2 2.A,B为数轴上的两点,A点的坐标是-1,=6,那么B的坐标为 (A) A.5 B.-7 C.5或-7 D.-5或7 3.以A(1,5),B(5,1),C(-9,-9)为顶点的三角形是 (B) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定 解析　由已知得,|AB|==4,|AC|==2,|BC|==2,所以|BC|=|AC|≠|AB|,可得△ABC是以BC,AC为两腰的等腰三角形,故选B。 4.已知点A(a,6),B(-2,b),点P(2,3)平分线段AB,则a+b= 6 。  解析　因为点P平分线段AB,所以P为AB中点,则2=,3=,所以a=6,b=0,所以a+b=6。 5.已知平面内平行四边形的三个顶点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求第四个顶点D的坐标。 解　若构成平行四边形ABCD1,即AC为一条对角线,设D1(x,y),则由AC中点也是BD1中点可得解得故D1(2,2)。同理,若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2,则D2(-6,0);若构成以BC为对角线的平行四边形ACD3B,则D3(4,6)。所以第四个顶点D的坐标为(2,2)或(-6,0)或(4,6)。 学科网（北京）股份有限公司 $$