3.4 乘法公式（一）同步练习 2024-2025学年浙教版数学七年级下册

3.4 乘法公式（一） 一．选择题（共8小题） 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 2．计算下列各式，其结果是4y2﹣1的是（　　） A．（﹣2y﹣1）（﹣2y+1） B．（2y﹣1）2 C．（4y﹣1）2 D．（2y+1）（﹣2y+1） 3．将2024×2026变形正确的是（　　） A．20252﹣1 B．20252+1 C．20252+2×2025+1 D．20252﹣2×2025+1 4．（﹣5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　） A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2 5．计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（　　） A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9 C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2 6．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（　　） A．8 B．3 C．﹣3 D．10 7．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 8．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 二．填空题（共6小题） 9．请你观察如图的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个非常熟悉的乘法公式，这个公式是　 　． 10．（﹣3x2+2y2）（　 　）＝9x4﹣4y4． 11．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝　 　． 12．若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝　 　． 13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，那么a+b的值为 　 　． 14．若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为　 　． 三．解答题（共4小题） 15．已知x2﹣x﹣1＝0，求代数式（x+3）（x﹣3）+x（x﹣2）的值． 16．问题1 阅读例题的解答过程，并解答（1）（2） 例：用简便方法计算195×205． 解：195×205 ＝（200﹣5）（200+5）① ＝2002﹣52 ② ＝39975 （1）例题求解过程中，第②步变形依据是　 　； （2）用简便方法计算：9×11×101． 17．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式． （1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣5+y）； （2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+6，求出整式“▲”； （3）若（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，请直接写出一组满足条件的“■”及“▲”． 18．[问题1]在学完平方差公式后，小滨出示了一串呈“数字”链的计算题：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1） 小梅根据算式的特点，结合平方差公式，发现：只要在算式最前面添上一个“引线”一一数字1，就可用平方差公式，像点鞭炮一样依次“点燃”整个“数字”链． （1）请根据小梅的思路，求出这个算式的值． （2）计算：（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）． 3.4 乘法公式（一） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C C C A B 一．选择题（共8小题） 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 2．计算下列各式，其结果是4y2﹣1的是（　　） A．（﹣2y﹣1）（﹣2y+1） B．（2y﹣1）2 C．（4y﹣1）2 D．（2y+1）（﹣2y+1） 【解答】解：A、（﹣2y﹣1）（﹣2y+1）＝4y2﹣1，故正确； B、应为（2y﹣1）2＝4y2﹣4y+1，故本选项错误； C、因为（4y﹣1）2＝16y2﹣8y+1，故本选项错误； D、应为（2y+1）（﹣2y+1）＝1﹣4y2，故本选项错误． 故选：A． 3．将2024×2026变形正确的是（　　） A．20252﹣1 B．20252+1 C．20252+2×2025+1 D．20252﹣2×2025+1 【解答】解：原式＝（2025﹣1）×（2025+1） ＝20252﹣1， 故选：A． 4．（﹣5a2+4b2）（　　）＝25a4﹣16b4，括号内应填（　　） A．5a2+4b2 B．5a2﹣4b2 C．﹣5a2﹣4b2 D．﹣5a2+4b2 【解答】解：∵（﹣5a2+4b2）（﹣5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4， ∴应填：﹣5a2﹣4b2． 故选：C． 5．计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（　　） A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9 C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2 【解答】解：原式＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）] ＝x2﹣（2y﹣3）2 故选：C． 6．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（　　） A．8 B．3 C．﹣3 D．10 【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3． 故选：C． 7．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 8．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（　　） A．3 B．6 C．±3 D．±6 【解答】解：∵（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35， ∴[（a2+b2）+1][（a2+b2）﹣1]＝35， （a2+b2）2﹣1＝35， （a2+b2）2＝36， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝6， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．请你观察如图的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个非常熟悉的乘法公式，这个公式是　（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2　． 【解答】解：如图，左图中A、B、C三块的面积和可以表示为x2﹣y2，将左图中的A、B、C可以拼成右图，即长为（x+y），宽为（x﹣y）的矩形，其面积为（x+y）（x﹣y）， 因此有（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2， 故答案为：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2． 10．（﹣3x2+2y2）（　﹣3x2﹣2y2　）＝9x4﹣4y4． 【解答】解：∵相同的项是含x的项，相反项是含y的项， ∴所填的式子是：﹣3x2﹣2y2． 11．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则m2﹣n2＝　6　． 【解答】解：m2﹣n2 ＝（m+n）（m﹣n） ＝3×2 ＝6． 故答案为：6． 12．若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝　3　． 【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， ∴2×（a﹣b）＝6， ∴a﹣b＝3． 故答案为：3． 13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，那么a+b的值为 　±4　． 【解答】解：∵（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63， ∴（2a+2b）2﹣12＝63， ∴（2a+2b）2＝64， 2a+2b＝±8， 两边同时除以2得，a+b＝±4． 14．若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为　1　． 【解答】解：因为a﹣b＝1， a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣2b＝a﹣b＝1， 故答案为：1． 三．解答题（共4小题） 15．已知x2﹣x﹣1＝0，求代数式（x+3）（x﹣3）+x（x﹣2）的值． 【解答】解：∵（x+3）（x﹣3）+x（x﹣2） ＝x2﹣9+x2﹣2x ＝2x2﹣2x﹣9 ＝2（x2﹣x）﹣9， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2﹣x＝1， ∴原式＝2×1﹣9 ＝2﹣9 ＝﹣7， ∴代数式（x+3）（x﹣3）+x（x﹣2）的值是﹣7． 16．问题1 阅读例题的解答过程，并解答（1）（2） 例：用简便方法计算195×205． 解：195×205 ＝（200﹣5）（200+5）① ＝2002﹣52 ② ＝39975 （1）例题求解过程中，第②步变形依据是　平方差公式　； （2）用简便方法计算：9×11×101． 【解答】解：（1）第②步变形依据是平方差公式； 故答案为：平方差公式； （2）9×11×101 ＝（10﹣1）（10+1）×101 ＝99×101 ＝（100﹣1）（100+1） ＝10000﹣1 ＝9999． 17．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式． （1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣5+y）； （2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+6，求出整式“▲”； （3）若（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，请直接写出一组满足条件的“■”及“▲”． 【解答】解：（1）原式＝x﹣2﹣x﹣2﹣5+y ＝y﹣9； （2）根据题意得：▲＝3x2+6﹣（x﹣2）（x+2） ＝3x2+6﹣（x2﹣4） ＝3x2+6﹣x2+4 ＝2x2+10； （3）∵计算结果是二次单项式， ∴若■表示的运算符号是×，则原式＝（x﹣2）（x+2）+▲＝x2﹣4+▲， ∵计算结果是二次单项式， ∴▲的值可以为4．（本题答案不唯一） 18．[问题1]在学完平方差公式后，小滨出示了一串呈“数字”链的计算题：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1） 小梅根据算式的特点，结合平方差公式，发现：只要在算式最前面添上一个“引线”一一数字1，就可用平方差公式，像点鞭炮一样依次“点燃”整个“数字”链． （1）请根据小梅的思路，求出这个算式的值． （2）计算：（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）． 【解答】解：（1）原式＝（2﹣1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1） ＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×（28+1） ＝（24﹣1）×（24+1）×（28+1） ＝（28﹣1）×（28+1） ＝216﹣1； （2）原式（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1） （32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1） … （332﹣1） 332． 考点卡片 1．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 2．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 3．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/13 13:25:20；用户：王强；邮箱：512289959@qq.com；学号：2619177 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$