2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·月考）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 2．（22-23九年级上·江西宜春·月考）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①；②抛物线的对称轴为；③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，；④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大，其中，所有正确的说法是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 3．（22-23八年级下·山东东营·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·月考）如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 二、填空题 7．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为 ． 8．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为 ． 9．（24-25九年级上·河南信阳·月考）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为 ． 10．（24-25九年级上·浙江湖州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ． 11．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1） ． （2）周长的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·江西·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，点在轴正半轴上，，为直线上一点，过点作直线轴，直线交抛物线于点，当的长为时，点的坐标为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 14．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接． (1)直接写出结果；_____，_____，_____； (2)在（1）中的抛物线上的第一象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若没有，请说明理由． (3)如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边上的动点，且，记的最小值为，求的值． 15．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，P为上方抛物线上一动点，过P作交x轴于点E，连接是直线上的动点（点M在点N的上方），且，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)如图2，在（2）中面积取得最大值的条件下，将直线上方的抛物线沿翻折，点P的对应点为点Q，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后的抛物线恰好经过点D，点K为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 16．（25-26九年级上·河南漯河·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当点在线段（点不与点A，O重合）上运动时，过点作，垂足为，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出长度的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出的取值范围． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点，抛物线经过点和，点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为． (1)求出抛物线的解析式： (2)若点在第四象限，线段的长度能否达到2个单位长度？若能，求出此时点坐标，若不能，说明理由． 18．（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，M，N是线段上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方． 2．D 【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得、的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点为直线与抛物线对称轴的交点时，点，，构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得的值，即可判断③；作轴，交与点，表示出点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得，故①说法正确； 令，则， 解得或1， 抛物线抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为，故②说法正确； 连接，交对称轴为，此时，， 是定值， 此时点，，构成的三角形的周长最小， ，， 直线为， 当时，， ， ，故③说法错误； 作轴，交与点， 点在抛物线上， ， 把代入直线的解析式得， ， ， 时，的面积最大，故④说法正确． 故选：D．    【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得、的坐标和对称轴是解题的关键． 3．A 【分析】连接交对称轴与点，根据，得到当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大，求出直线的解析式，与对称轴的交点即为点P的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴，对称轴为直线； 连接交对称轴与点，    设直线的解析式为：， 把，代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．设，，则，，于是四边形的周长，根据二次函数性质求解． 【详解】解：令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， 设，则，， 令四边形的周长为，则， ， 时，取最大值，为6． 故选：D． 5．C 【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴，， 的周长为，且是定值，所以只需最小； 如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，； ，，，，， ∴， 此时的周长为； 同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，， ，，，，， ∴， 此时△PMN的周长为； ，， ∴， ∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，要分类讨论比较后再判断． 6．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 7． 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 8． 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 9．/ 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，先求出顶点D的坐标为，对称轴为直线，再求出，则由对称性可得，利用勾股定理求出；作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接，则，，可推出当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线， 在中，当，， ∴， ∵点关于抛物线的对称轴的对称点为， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接， ∴，， ∴四边形的周长， ∴当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为， ∵， ∴四边形的周长最小值为． 故答案为：． 10． 【分析】连接、、，过点作于点，过点作于点，先利用抛物线解析式求出、，得到为等边三角形，，再利用角所对的直角边等于斜边一半求出，，根据垂直平分线的性质得到，推出当、、共线时，的值最小，最小值为的长，通过勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】如图，连接、、，过点作于点，过点作于点， 当时，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 又， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，学会转换线段解决问题是解题关键． 11． 8 【分析】（1）将代入得，计算即可得解； （2）由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，求出，得到，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，则，由轴对称的性质可得：，的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， 如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接， ， 则， 由轴对称的性质可得：， ∴的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小， ∵， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 12．或或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出直线的解析为，然后设，则，根据的长为可得，然后解方程即可求解． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴，即 ∴或， 对于，化简得， ∴， 当时，， 当时，， ∴P的坐标为或； 对于，化简为， ∴， ∴， 当时，， ∴P的坐标为， 综上，P的坐标为或或 13．(1) (2)点P (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. （1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 14．(1)，，； (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，即可得到值，由可得，根据正切定义可求出； （2）过点作轴于点，可求直线，设，则，，再由可建立起关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， 抛物线与轴交于、两点， ， ，， 在中，； 故答案为：，，； （2）解：存在， 过点作轴于点， 设直线， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时； （3）解：如图，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ∵，， ∴ ∴， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．(1) (2)； (3)点K的坐标为或 【分析】（1）设顶点式，将点C坐标代入即可求解； （2）先求得直线解析式，易证，过P作轴，交于点Q，设，则，表示出，得到关于t的二次函数表达式，进而得到最大值时点P的坐标；将点D沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，作点P关于直线对称点，易得，结合勾股定理即可求得答案； （3）先根据题意求得，，直线的解析式，然后分成当点K在右侧和当点K在左侧两种情况，先求得直线的解析式，再和抛物线解析式联立，求得交点． 【详解】（1）解：令，得， ∴， ∵抛物线的顶点为点， ∴设抛物线解析式为， 将代入得， ∴； （2）解：对于，令，得或3， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 代入点和点得， ，解得， ∴直线解析式为， 如图，连接，过P作轴，交于点Q， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， 当时，此时面积最大，最大为， 此时， ∴此时点； ∵，， ∴， ∴， ∴将点沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，如图所示， 则，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点P关于直线对称点，过点作轴，交于点T，连接，， 则，，， ∴，即， ∴轴， ∴点T的横坐标为， ∴点T的纵坐标为， ∴点的纵坐标为，， ∴点的横坐标为， ∴， 由对称可知，， ∴， 当且仅当、N、三点共线时取得等号，此时取得最小值， ∵， ∴的最小值为； （3）解：由（2）可知点， ∵，， ∴抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位得到抛物线， ∴， ∵， ∴， 如下图，连接，并延长交x轴于点R， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 、得， ，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ①当点K在右侧时，如图，设直线与x轴交于点H， ∵， ∴， ∴， 如图，过M作于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， 代入点和点得， ，解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（负值舍去）， ∴； ②当点K在左侧时，如图， 由（2）可知，，由①可知，， ∴点H与点A关于y轴对称， ∴， ∴此时点K在直线上， 同理可得， 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、二次函数点的坐标、二次函数与直线交点问题、最短路径问题、求一次函数解析式，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 16．(1) (2)①长度的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）①求出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，由题意可得，，，，则，证明为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出，从而可得为等腰直角三角形，求出，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得，，则，结合题意可得，从而得出或，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，的长度最大为， 此时， ∴长度的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解可得：或， 解可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，等腰三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 17．(1) (2)能，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）表示出，则，根据线段的长等于2，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）能， ∵点是抛物线上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为 ∴，则， ∴， 由题意，，解得或， ∴或． 18．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，求出，根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得； （3）过点作且，连接，则，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据可得的最小值为的长，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入 得：， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：将代入得：， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴与的边上的高之和为， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，； 当时，； 综上，满足条件的点的坐标为或． （3）解：如图，过点作且，连接， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当点共线时，等号成立， ∴的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $